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学科融合研究高中物理与数学
2.流体问题
【必备知识】
一、水流等流体问题的简化
真实的水流运动，特别是高速水流运动，问题十分复杂，因为水有表面张力，流动过程中
会形成湍流、漩涡…研究这些问题是流体力学的内容，非高中物理之所及（物理竞赛中会涉
及伯努利原理).
习题中出现的低速水流问题一般可做以下简化处理：
1.水不可压缩，
2.形成稳流后，各部分的体积和运动不随时间而改变，在与流动速度垂直的截面上各点
速度一致。
3.水流任意各部分间无相互作用，分析喷水问题时，可以选取一体积元为研究对象，将其
当作运动的“固体”，运用抛体运动规律分析.
二、流体问题的建模
1.竖直喷水问题
【经典例题1】在抽水机的作用下，水从截面积为S的管口竖直向上喷出，水离开管
W
口处的速度为，求抽水机的输出功率，
巧种建根思路，一种是建立水柱模型
一些解答中出现了错误.通过下面对解法正误的辨析，读者可以体会如何正确建模来分析喷
水问题。
模型法错解将水柱看作一圆柱体，研究距管h高处的水柱，在距离管口x高处取一质
量元△，分析其机械能，有
△E.=2△m,+△mg
2=v.2十2gx,
由此两式得△E,=
F2△m%2.
△E,与质量元△m所处的管口高度无关，这意味着对任一质量元△，机械能大小都是
·120
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号△mw2,则总质量为m的水柱的总机战能为E=mu2=司PSw2
此机械能来自抽水机微功，故输出功率为P=E=。
t2S2.
h
t
又因水在上升过程中做匀减速运动，有？-可=
21
代入上式得P=s
【错解分析】以上计算过程是严谨的，但错在开头所选的水柱模型，此点可用反证法证明：
形成稳流后，水流各部分的体积不随时间变化，假设水柱各高度截面积相同，在其中间载取一
定长的水柱，则在相同时间内此水柱下底流入的水多于上底流出的水.由于水不可压缩.截取
的水柱体积必定增大.此水柱模型的错误也出现于一些文献中，
模型法正解一由于水喷出后的运动状态与抽水机输出功率无关，可以假设水喷出后没
有受到重力作用，做匀速运动，取h长的水柱，分析其中任一质量元△m,有
故E=
2%2=
1
Shu
又有h=nt,
联立解得P=E-1
t20Sv3.
模型法正解二假设喷出的水流到达最高处速度为零后，被一蓄水装置收集，从总体上
看，是原来水池中静止的水被抽水机送上一高处，被抽上的水的势能增加了.
形成稳流后，△时间内，从水池进入抽水机的水量、从抽水机管口喷出的水量与在最高
处被收集的水量均相等，根据条件可得收集到的水的质量m=pS△t,
上升高度h=
2g1
△t时间内，这部分水增加的势能E,=mgh=
20Sw,34t,
抽水机的功率P=E=1
4t2oS,3.
微元法错解设抽水机对水产生的作用力为F,△t时间内通过喷水口的水质量为△，
则有F·△t=△m,
△m=pSo△t,
联立解得F=pSo,利用公式P=F℃得输出功率P=F=S3.
·121参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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