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学科融合研究高中物理与数学
一、基础函数理解
1.线性探索
【必备知识】
1.函数y=kx十b(k、b均为常数，k≠0)就是一次函数，其图像是直线，k叫作直线的斜
率，反映直线的倾斜程度（注意，这些内容初中并没有进行系统的学习）.
(1)切线斜率k=Ay=二丛
△xx2一x1
如图甲所示，图像上P点的切线斜率为及=它表示物理量y对另一个物理量x的导
数，它与函数y对x的求导结果是一致的，其实际意义就是变化的快慢，即变化率.
1Δy
图甲
图乙
(2)割线斜率k=
x
如图乙所示，取图像上一点P,连接OP,OP为割线，它的斜率为k=y,即图像上某点和
坐标原点连线的斜率.显然，只有物理图像为过原点的一条直线时，切线斜率才与割线斜率
相等.
(3)切线和割线两类斜率的意义.
如果图像中的纵轴物理量y与横轴物理量x的比值与高中阶段的某个物理量的定义相
同或者单位相同，那么这个斜率就有明确的物理意义，反之图像斜率就没有意义.但是切线斜
率和割线斜率描述物理意义的形式不尽相同.
用微小变化量的比值来反映的物理量可以用切线的斜率表示，在数学上，k=tan0,其中
0是直线与x轴正方向之间的夹角.但在物理上，只能说k与tan0成正比，即k=xtan0(x>
0).在物理中的一次函数图像中，求斜率k时更看重于物理图像所描述的物理意义，更多的时
候求解斜率k要使用k=Ay=二少，而不再使用k=tan0,主要是物理图像与数学图像是
△xx2一x1
有较大的差别.
·001
学科融合研究高中物理与数学
两类斜率表达的物理形式和意义是不同的，不能混为一谈.在具体应用时，根据图像y轴
和x轴所表示的物理量，结合所学的物理知识，分析k=A义和k=亗哪个具有物理意义，就选
△.x
用哪个形式对应的斜率进行解题.
(4)图线上某点的斜率.
①斜率为正时，表示斜率代表的物理量方向与所取正方向同向；
②斜率为负时，表示斜率代表的物理量方向与所取正方向反向.
△1
0
0
O t t2 1s 1a
2.基础类运动图像。
血平行于轴的直线：静止
↑m平岩于轴的直线：匀速直线运动
d/m·s
,倾斜直线：加速度均匀
倾斜直线：匀速直线运动
倾斜直线：匀变速直线运动
变化的直线运动
、-一
平行于轴的直线：
匀变速直线运动
、Vt/s
"t/s
tis
曲线：变速直线运动
曲线：变速直线运动
(1)在t图像中，图线上某点的斜率表示对应时刻的加速度大小，正、负号表示方向，如
图所示
,=0
a=0
a>0
0
a=0
-7n
匀速
匀减速匀加速<0
加速度减小加速度增大
运动
运动
运动
的诚速运动！的加速运动}
,≠0
U.=0
=0
,≠0
-Un
加速度减小加速度增大
加速度增大加速度减小
的加速运动！的诚速运动！
的减速运动！的加速运动
·002参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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