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学科融合研究高中物理与数学
2.曲线的韵律
【必备知识】
西数y4十6十a是帝数，且a≠0.其图像的原点坐标为一么，如。)，对
称轴为x=一2a
b
(1)利用二次函数求最值时，其攻略一为
①写出二次函数的解析式并化为顶点式.
②确定自变量的取值范围，画出函数图像的大致形状，范围内的用实线，范围外的用
虚线
③判定对称辅x=一是否在其范围内若在，则最值为顶点纵坐标：若不在，就要根据
其增减性求最值.
(2)利用二次函数求最值时，其攻略二为
将函数y=ax2十bx十c表达式整理为ax2十bx十c一y=0,此式为关于x的一元二次方
程，若此方程有解，根据判别式△=b2一4α(c一y)≥0，求得y的取值范围，但在求解时需要注
意讨论a>0和a<0的情况.将取等号时的y值代人ax2十bx十c一y=0,进而求出x的值.
★韦达定理
一元二次方程a.x2十bx十c=0(a,b,c是常数，a≠0，且△=b2一4ac≥0)中，设两个根为
x2,则十x2=一6
a=
a
【经典例题1】竖直上抛的物体，分别在ts末和t2s末两次通过空中某一点，求该
点离地面的高度和物体被抛出时的速度（不计空气阻力）.
【解析】设物体先后两次通过的点高地面的高度为，物体被把出时的初建度为，由
竖直上抛运动的位移公式可知，有h=1g。
此式可整理为关于1的一元二次方程4-2+2业=0，易得4=48≥0。
gg
gg
由根与系数的关系知1十2=2，
g
626
g
解得=28十)，h=
84112.
·012
学科融合研究高中物理与数学
☆温馨提示：本题的通常解法是根据竖直上抛的运动规律，可以列出两个方程：
h=ot1一
28412,①
h=ot2一
2842,②
1
联立两式得ot一
212=o27gt22
1
因此(6-)三2842t)三28)6+
1
得w=2g(1十t红)，
将①式代入②式得h=
2841t2.
【经典例题2】如图所示，质量为2kg的木块A上部是半径为R的四分之一圆弧形
光滑轨道，木块A以初速度4m/s在光滑水平面上匀速运动，有一质量为1kg的小球B以8
/s的速度从圆弧轨道底端上滑，求小球B上滑后再次回到轨道底端时两者的速度.
B
【解析】整个过程中木块和小球组成的系统在水平方向上动量守恒，系统动能守恒，
设木块和小球最后的速度分别为，，列出方程组：
mAV0十B=AUA十BB,
①
w+mw=m+e2,
②
16=2va+,③
代入数值可得到
96=2wa2+2,④
联立③④两式消去阳得到关于v的一元二次方程6v2一64十160=0，
注意到木块A原速度4m/s必是这个方程的一个解，
应用根与系教的关系，另一个解必满足趴十4=3
31
20
解得A三m/s,代入③式得%=名ms
【经典例题3】在水平地面某处，某人以相同的速率、不同的抛射角分别抛射两个
小球A和B,它们的射程相同.已知小球A在空中运行的时间为TA,求小球B在空中运行的
·013参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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