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学科融合研究高中物理与数学
八、近似计算与忽略处理的艺术
1.近似计算
【必备知识】
1.函数f(x)=(1十x)的泰勒展开式为1十咒x+m2》·x十…十
1×2
m(m-1)(m-n十1Dx“,
1X2X…Xxn
当x《1时，可以略去第3项起的以后各项，得近似式(1十x)"≈1十x,也可类似写成
1+5）}≈1+m
y
其中，m可以是正数、负数或分数，如1+x)≈1十x,1十，=(1十x)≈1一，
同理可得，当x《a时，略去高次项后有近似式x=a
≈
atx 1+z a
三个常用的简单近似计算式，当x《a时：a十x≈a,乙≈0，a十≈1，
a-x
当|x《1,y《1时，则有近似式(1十x)m(1十y)"≈1十mx+y.
2.sin x=x
3!5!7+…,
tanx=x+号+2g+17x+,
3+15+315
由于1am2≥sn8.各式除以sm0.得og产品g≥1，
倒数变形为c0s0长沿0≤1.
当0趋近于零时，0s0趋近于1，趋近于1，
i很小时，sini≈tani≈i,cosi≈l,sin icos i≈i.
黑【经典例题1】海平面并不平，而是球面的一部分.在风平浪静的海面上，一只航船的
桅杆尖头高出海平面约5m,估算被岸边的观察者发现时，距岸边的航程至多是多大？假设
观察者的双眼也高出岸边的海面约5m高.（地球半径取6400km)
·184
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【解析】如图甲所示，由于球面凸起而使中间部分高出水平视线的距离叫弓高（严格
说是海面上过海岸站立处与船底的大圆劣孤的弓高)
依题意，应形成5m高的弓高，如图乙所示，
下高
th
图甲
图乙
设航程为，由几何关系有
h=R1-cos号)=2Rsin是，
由于0很小，m名号代入可得Ag
8
又0=京，可得s=√8Ri=V8x6.4X10X5m=1.6×10'm=16km.
【经典例题2】试推导双缝干涉的路程差公式.
【解析】双缝干涉示意图如图所示，设从N、M两缝到屏上P点的距离（路程）分别为
r1、r2,双缝的中点O与P点的连线与OO'方向的夹角为0.作MC⊥NP,则由双缝射至P点
的两束光的路程差为
6=r2-n1≈dsin0,因为x=PO=ltan0≈lsin0,所以6=
d
a.
P
【经典例题3】如图所示，一根细绳绕过两个相距为1的光滑定滑轮，悬挂两个质量
均为m的物体，在绳的中点悬挂一个质量为o的物体，整个系统处于平衡状态，现将结点O
少许拉下一点后轻轻释放，则物体o将做什么运动？
·185参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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