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学科融合研究高中物理与数学
二、深入解析判别式与不等式
1.判别式的多张面孔
【必备知识】
用根与系数的关系判断方程的根，在一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)中：
(1)若b一4ac<0,则方程没有实数根.
(2)若b2一4ac=0,则方程有两个相等的实数根.
(3)若b2一4ac>0,则方程有两个不相等的实数根
利用判别式解答物理问题，要根据题目所给条件，把某物理量跟自变量之间的函数关系
转化成a,x2十bx十y=0的形式.解不等式△=b2一4ay≥0，找出y的最大值或最小值，把所求
出的最值代入原式中，找出最大值或最小值的条件，
量【经典例题1】如图所示，甲、乙两小车相距为，甲在后，乙在
前，沿着同一条直线同时开始向前运动，甲以速度。匀速运动，乙由静止开始以加速度α匀
加速运动，试讨论甲、乙能否相遇及相遇的时间.
幕【解析】解法1：利用判别式解谷。
从乙开始运动计时，以甲起始位置为坐标原点，向右为正方向，则有
sp=ot,sz=s十7at2,
两车相遇时，有s甲=$乙，
联立以上式子可得at2一2t十2s=0.
这是一个关于t的二次方程，是否有解要从判别式来讨论：
①若△=42一8as<0,即m2<2as,则方程无解，不存在t值使方程成立，即甲追不上乙.
②若△=4,2一8a5=0,即2=2as,则方程有两个相同的解，即开始后t=时刻，甲追
a
上乙，此时两车等速
③若△=4-8a>0,即2>2as,则方程有两个不同的解，两个解为1=-√-2a时
2=6十Vw2-2as
开始后1时刻甲追上乙，此后甲超过乙，但乙的速度继续增大，当乙的速度大于甲的速
·030
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度后，甲、乙之间的间距开始变小，到2时刻乙又追上甲并超过甲.
解法2：物理角度分析
采用物理的角度分析，以体会题中所给条件的实际意义：甲车匀速运动，其速度不变；
乙车具有加速度，乙车的速度越来越快，甲要追上乙，必须在乙的速度比它的速度大之前，否
则甲就没有追上乙的希望，
甲、乙两车等速所需要的时间为=
E这个时间内追上乙或超过乙，所以有防
解得2≥2as.
墨【经典例题2】火车甲以速率向前行驶，司机忽然发现，在正前方同一轨道上距车
、处有另一火车乙，正沿同方向以较小的速率2做匀速运动.他立即使火车做匀减速运动，加
速度大小为a,为了使火车不至相撞，则加速度a应该满足什么条件？
【解析】两列火车分别做匀减速运动和匀速运动，经时间：位移分别头
x=vt-
2a1,x2=2t,
由两车刚好相接时的位移条件=十，得1一2a=购1十s,
化简得at2一2(1一2)t十2s=0.
这是一个关于的一元二次方程，如果没有两个不同的实数解，说明两车就会相撞，因
此，要求其判别式△=4(-2)2一8as≤0，
所以，要求加速度为a≥（一）
2s
【说明】应该注意本题中仅要求两车不相撞，因此只需满足一个位移条件，如果要求两车
相遇不相撞，则必须同时满足位移条件和速度条件，即后车速度应不大于前车速度，临界情况
下两车等速，题中解法仅作为利用判别式求极值的一个实例，并非最佳解法，实际解题时，可
以利用t图像，或选取做匀速运动的火车为参考系等方法，都可以更迅速地解答，
【经典例题3】在光滑的水平轨道上，有两个半径都是，的小球A和B,质量分别为
m和2m,当两球心间的距离大于(l比2r大得多)时，两球之间无相互
作用力，当两球心间距等于或小于1时，两球间存在相互作用的恒定斥
力F,设A球从离B球很远处以速度沿两球心连线向静止的B球运动，如图所示，求两球
不发生接触，必须满足的条件
·031参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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