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学科融合研究高中物理与数学
2.不等式的秘密
【必备知识】
在高中阶段，均值不等式中最常用的是“对于若干个非负实数，它们的算术平均数不小于
几何平均数，表达式为a十a十…+a≥a14,…a
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),a+b≥2√ab(a,b∈R+).
(2)2+8≥2a6eR):
(3)
≥6eR[或≥受攻<(a6eR)小
2
(4)调和不等式1十1、2
2
la2+b
-(a,b∈R+).
(5)最值定理：
①设、y都是正数，若十y=s(和为定值)，则当x=y时，积y取得最大值；
②设x、y都是正数，若xy=(积为定值)，则当x=y时，和x十y取得最小值2√p.
(6)(a2+b)(c2+d)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R+),当且仅当ad-bc=0时等号成立.
(7)a3+b3+c3≥3abc,a十b十c≥3abc(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时，等号成立，
证明：a3+b3+c3-3abc=(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab)
=(a+b)(a2-ab+82)+c(c2-3ab+a2-ab+b2-a2+ab-b2)
=(a+b)(a2-ab+b2)+c[(c2-a2-2ab-b2)+(a2-ab+b)]
=(a+b)(a2-ab+b2)+c[c2-(a+b)2]+c(a2-ab+b2)
=(a+b+c)(a2-ab+62)+c(a+6+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a2+62+c2-ab-bc-ac)
因为a,b,c>0,所以a+b+c>0.
a+b+e2-ab-be-ac-2a'+26:+2c-2ab-26c-2ac
2
_(a-b)+(ac)2+(6-c)'≥0，
2
所以a3+b2+c3-3abc≥0，
所以a3十b3十c3≥3abc,当且仅当a=b=c时，等号成立.
·036
学科融合研究高中物理与数学
【经奥例题1门已知正数工，)的和为定值m,水号十的极小值
得折1屏法1：+--红十2
y2 x2y2
x2y2
多品京g-
显然m>1,故当xy取得最大值时，上式有最小值，
xy
而x-此时=y
代入式可得十>
m21
解法2：借助调和不等式11≤√2
2
a2+b2
求解
a'b
1,1
令4三b一代入上式可得2
2=2一0，所以
122,所以+8
y
x十ym
十ym
【经典例题2】如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m=0.5kg的小物块，
它与水平台阶表面间的动摩擦因数：=0.5，且与台阶边缘O点的距离s=5m.在台阶右侧周
定了一个以O点为圆心的圆弧形挡板，现用F=5N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤
去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板.(g取10m/s2)
(1)若小物块恰能击中挡板的上边缘P点，P点的坐标为
F
1.6
LCCCCCCCCC0CC00060
0.8
x/m
(1.6m,0.8m),求其离开O点时的速度大小：
(2)为使小物块击中挡板，求拉力F作用的距离范围；
(3)改变拉力F的作用距离，使小物块击中挡板的不同位
y/m
置，求击中挡板时小物块速度的最小值和此时物块下落的高度.（结果可保留根式）
票【解析1)授小物块高开0点时的建度为，由平把运功规律有
在水平方向有x=t,
在竖直方向有y=8,
其中x'=1.6m,y=0.8m,解得=4m/s.
(2)为使小物块击中挡板，小物块必须能运动到O点，设拉力F作用的最短距离为x1,由
动能定理得Fx1一mgs=0,解得x1=2.5m.
·037参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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