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学科融合研究高中物理与数学
2.直角三角形
【必备知识】
在直角三角形中，要求解三边与角度之间的关系，不仅要利用数学所学的正弦、余弦、正
切等三角函数的定义，有时候还要使用勾股定理.
(1)平抛运动中的水平位移和竖直位移在直角三角形中的关系：
小球由斜面外抛出落到
小球离开斜面又落到斜面
斜面且位移最小
1
//0y
tan 0=y=
28u
gt
tan 0=I=
t=2
X-
2Up
y
282
1
gt
入
(2)平抛运动中的水平速度和竖直速度在直角三角形中的关系：
0
A●
00
B a to
y
C
小球垂直落到斜面
小球离斜面最远
小球恰好从顶端O点沿斜
小球恰好从B点沿
tan 0=v0=o
tan 0=%=gt
面运动
弧面进入圆弧轨道
vy gt
tan0=飞=g匙
tana=必=gt
VoVo
Vo Vo
【经典例题1】如图，某人在斜坡滑雪，从最高点水平滑出，先后落在M、V两点，所
用时间分别为tM、tN,初速度大小分别为UM、vw,则(
A.tMB.tM=tN
C.UM>UN
D.UM【解析】选C人在空中做手抛运动，在竖直方向做自由落体运动，由y一得1=
1
②y,所以m>,故AB错误；设斜坡的倾角为0，人落在斜坡上时，有tan0=兰=
2812
·141
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器，解得w=2品由于w>,所以w>,故C正确，D错误。
gt
2
【经典例题2】如图所示，斜面底端上方高五处有一小球以水平初速度。抛出，恰好
垂直打在斜面上，斜面的倾角为30°，重力加速度为g.下列说法不
正确的是(
A.小球打到斜面上的时间为B
g
30°7入
B.要让小球始终垂直打到斜面上，应满足h和。成正比关系
C.要让小球始终垂直打到斜面上，应满足h和v。的平方成正比关系
D.若高度h一定，现小球以不同的速度平抛，落到斜面上的速度最小值为
√（√21-3）gh
【解析】选B,设小球格好垂直打在斜面上的时间为，根据连度矢量三角形关系可得
a30°==，解得！=B,A正确：小球做平抛运动的水平位移和竖直位移分别为工
v gt
1和y=2gr,要让小球始终垂直打到斜面上，根据几何关系得am30°=h,y,代入1=
1
,解得h=5
g
2g,h和的平方成正比关系，B错误；C正确；
小球落在斜面上时的竖直分速度V,=√2gy,水平速度.=
=x2y
,由于tan30°=h二，小球的速度0=√@十u,,联
「30
g+g-3,根据教学知识可知.十g≥
立解得=√g2y
3
2
2y
2
2
歌·，当且仅当-时，等号成立，故最小值等于。=V(√@I-3)gh,D正确.故
2y2
选B.
【经典例题3】如图所示，斜面AB的倾角为30°，小球从A
点以初速度。水平抛出，恰好落在B点.求：
(1)AB间的距离；
30
(2)小球在空中飞行的时间.
解析]小球做干抛运功，在水平方向上低匀连直线运动，在竖直方向上做自由落
·142参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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