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学科融合研究高中物理与数学
3.相似三角形
【必备知识】
一、相似三角形的判定
1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三
角形相似。
2.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么
这两个三角形相似.（简叙为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）
3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相
似.（简叙为三边对应成比例，两个三角形相似）
4.如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似.（简叙为两角对应相
等，两个三角形相似)
5.直角三角形相似的判定定理：
(1)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边
对应成比例，那么这两个直角三角形相似，
二、相似三角形的性质
1.相似三角形的对应角相等，
2.相似三角形的对应边成比例.
3.相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
4.相似三角形的周长比等于相似比.
5.相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6.两个相似三角形不必在同一平面内，
7.若8-名，即=ac,6称为a,c的比例中项。
8.相似比等于面积比的算术平方根.
【经典例题1】如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心0的
正上方M点固定一个小滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的
R
A点，另一端绕过小滑轮.现缓慢拉绳使小球从A点滑至半球顶点，在此
0
过程中，分析细绳对球的拉力T及球面对小球的支持力F、的大小变化情况：
·147
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【解析】小球在A点安重力mg、悬战的拉力T和球西对小球的弹力、三力作用而
平衡，MO的高度为h,由mg、T、F、三力构成的三角形与几何三角形MOA相似，如图所示，
方=AA其中M0为定值，mg为定值，故相似比为定值，小球在移动的过程中，A
减小，AO不变，故F、不变，T减小
墨【经典例题2】如图所示，光滑的半圆环沿竖直方向固定，M点为半圆环的最高点，
N点为半圆环上与半圆环的圆心等高的点，直径MH沿竖直方向，光滑的定滑轮固定在M
处，另一小圆环穿过半圆环用质量不计的轻绳拴接并跨过定滑轮.开始小圆环处在半圆环的
最低点H点，第1次拉小圆环使其缓慢地运动到N点，第2次以恒定的速率将小圆环拉到
N点.滑轮大小可以忽略，下列说法正确的是()
A.第1次轻绳的拉力逐渐增大
B.第1次半圆环受到的压力逐渐减小
C.小圆环第1次在N点与第2次在V点时，轻绳的拉力相等
D.小圆环第1次在V点与第2次在N点时，半圆环受到的压力相等
H
【思路点拨】区分缓慢运动与以恒定速率运动时小圆环的运动状态是此题的难点，小圆环
沿半圆环缓慢运动时，小圆环处于平衡状态，根据共点力的平衡条件，运用相似三角形法求出
轻绳的拉力和半圆环对小圆环的弹力大小.
器【解析】选C,小圆环沿半圆环缓授上移的过程中，受重力G、拉力
T、弹力FN三个力，并处于平衡状态，受力分析如图所示.由图可知△OMN
N
FN
∽△NBA,别紧-食-不（式中R为丰国环的丰径），在小司环缓楼上移
G
H
的过程中，半径R不变，MN的长度逐渐减小，故轻绳的拉力T逐渐减小，小圆环所受的支持
力的大小不变，由牛顿第三定律得半圆环所受的压力的大小不变，A、B错误；第1】次小圆环
缓慢上升到N点时，F、=G、T=√2G;第2次小圆环运动的过程中，假设小圆环速率恒为，
当小圆环运动到N点时，在水平方向上有Tcos45°-F'=mR,在竖直方向上有G=Tsn45,
解得了=EG,F、'=G一mR,再结合牛顿第三定律可知，C正确，D错误.
·148参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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