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学科融合研究高中物理与数学
5.环形磁约束
【必备知识】
环形磁约束
临界圆
R2
R
R
临界
勾股定理
r=R:+R:
R2-R
半径
2
2
(R-r)2=R2+2,得，=R,R
2R2
【经典例题1】如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域内具有自由运动的带电粒
子，但由于环状磁场的束缚，速度在某一范围内都不会穿出磁场的外边缘.设环状磁场的内半
径R1=0.5m,R2=1.0m,磁场的磁感应强度B=1.0T.若被束缚的带电
X×
粒子的荷质比9=4×10？C/kg,中空区域中带电粒子具有各个方向的
速度
(1)求粒子沿环状的半径方向射人磁场，不能穿越磁场的最大速度；
(2)求所有粒子不能穿越磁场的最大速度，
票【解析1)如图所示，假设粒子带正电，并取向下进入环形磁场的一个入射点0的
粒子为研究对象，以入射，点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立平面直角坐标系.
当粒子沿环状的半径方向射入磁场运动时，假设其在环形磁场
中做圆周运动时的半径为r,则其圆心C的坐标是C(r,0),圆C的
轨迹方程为(x一r)2十y2=r2.
若与外环相切，就达到不能穿越磁场的最大速度.由几何关系得
(R2一r)2=R12十r2,代入数据得r=0.375m.
由B=m号，有=5=1.5X10m/s
·164
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(2)要使所有粒子都不能穿越磁场，考虑临界情况，当粒子的速度沿与内圆相切方向射入
磁场且轨道与外圆相切时，如图所示，此时的速度为不能穿越磁场的最大速度，有'=
尽一R=0.25m,由r="mg得0'==1X10m/s,所以最大速度为1×10m/s
2
m
x
【关键能力】两圆位置关系的判定方法：判定两圆位置关系的三个关键参数是两圆心间
距、两圆半径差、两圆半径和，设大圆半径为R,小圆半径为，如图是两圆关系与圆心距大小
关系的数轴记忆法，
心
相交
切外离
R-r
R+r
【经典例题2】受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上
的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内.现有一个环形区域，其截面内圆半径
R1=√3m,外圆半径R2=3m,区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，如图所示.已知磁感应
强度大小B=1.0T,被束缚的带正电粒子的比荷=4.0×10C/kg,中空区域中的带电粒子
由内、外圆的圆心O点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作
用，且不考虑相对论效应.
(1)求带电粒子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外
边界的最大速度o;
●●
R
1●
(2)若中空区域中的带电粒子以(1)中的最大速度沿圆环半径方
0
向射人磁场，求带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的
R2
、●
、
时间；
y1
(3)若要使束缚效果最好，应在半径为R,的圆内也加上磁场，则该磁场的磁感应强度B
要与B的方向相同还是相反？在取得最大束缚效果的情况下，若B=2B,为使粒子不能射出
半径为R2的圆形区域，求粒子速度的最大值'
【解析1)带电粒子在胜场中做匀速圆周运功，根据牛频第二定律有=m
,又
得带电粒子在磁场中运动的周期T
·165参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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