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学科融合研究高中物理与数学
6.圆锥曲线
【必备知识】
近些年来，高考试题变得更加灵活，圆锥曲线方程在逐步深入物理试题中.其中椭圆方程
F=1(a>6>0):双曲线方程为名-常=1(a>0.b>0):抛物线方程为y2=2px(p≥
0)
【经典例题1】质量为m的物体由劲度系数为k的轻弹簧固定在天花板上.开始时
物体放在一个板上，弹簧未伸长，弹簧轴是竖直的，如图所示，求当板开始以加速度α下降时，
弹簧的最大伸长量为L.作出函数L-口的图像弹簧中的弹性势能E,=kr,x为形变量。
∠∠∠∠∠∠∠∠
【解析】当物体开拾下降的加造度a≤g时，物体m金到重力mg、弹簧弹力下，和扳
对物体的支持力F、的作用.当m与板恰好分离时，支持力F、=0,加速度a不变，设此时弹
簧的伸长量为l。,根据牛顿第二定律知mg一kl。=ma,
钻体m与版分高时，新休m的选度w=V2a=√2以(g一细，
物体与板分离后，在竖直方向做简谐运动，研究分离瞬间与下降到最低，点这段过
1
程，根据机械能守恒定律有mg(L-6)-2k(L2一，2)=0-2m2,
代入可得L=g[1+经(2-]
当板开始下降的加速度α>g时，刚开始运动，板与物体m便分离，m沿竖直方向做简谐
运动，振幅A=m3,因此弹簧的最大伸长量L=2A=2mg,
综上所运，当a≤g时，L=[1+√会(2-)门
当a>g时，L=2m3.
·171
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1-1+2-)]可化成1-能+(1-g=1,此式为腾同方程，画数上-a
的图像如图所示.
L
27m1g
mg
【经典例题2】在水平面上有相距为3R的两点A、B,A、B两点之间系着一条长为
5R的轻质不可伸长的绳子，在绳子上悬挂一个质量为m、半径为R的小球.
(1)若小球固定在绳子中点，垂直纸面做小幅振动的周期为T,求重力加速度g;
(2)若小球可在绳上自由地无摩擦滑动，求小球在AB所在竖直面内左右做小幅振动的
周期T'.
【解析1I)单摆模型，双线摆的有效摆长L=,侵R-(R+R=3R.
振动周期公式T=2x
L
则有T=2rg
,解得g=12mR
T2
(2)小球可在绳上自由地无摩擦滑动，小球的运动轨迹为椭圆轨道的一小部分，所以等效
摆长为此处的由率半径和小球半径之和，已知a=R,6=2R(一R。
所以p名-R,所以T=2,-2T.
V g 3
【经典例题3】海王星实际上沿圆轨道运动，在T1=165a时间内绕太阳转一圈.冥王
星沿椭圆轨道运行，其近日点到太阳的距离近似（精确度为0.2%）等于海王星轨道半径，在
T2=248a里绕太阳一圈.已知从1979年到1999年期间，即在t2=20a的时间内，冥王星比海
王星更靠近太阳，试根据这些信息近似确定在多长时间内天王星经过位于冥王星椭圆轨
道外面的一段轨道.假设这两个轨道平面相重合，已知椭圆面积公式S=πab,其中a和b分
别为椭圆的半长轴和半短轴.
·172参考答案
一、基础函数理解
根据数学知识可知图像应是过原点的抛
1.线性探索
物线，如图所示过B点作切线，根据瞬时速率
[达标演练1]
的定义可知，切线斜率表示物体经过B点的
将公式变形为=+，作出。九图
瞬时速度.连接AE,根据平均速度的定义可
像，为一条倾斜直线，如图所示.
知，割线AE的斜率表示物体在AE段的平均
fs·mm-
速度，显然割线AE段的斜率大于B点的切
线斜率，选项A正确.故选A.
20 h/mm
[达标演练3]
取微元发现其阴影面积代表t=∑△t=
由横、纵轴物理量，结合欧姆定律R=
可知，图像的割线斜率有意义，表示电阻的倒
数，所以选择割线斜率进行解题.显然选项A
代入数据，得t=60s.
正确，选项B错误.从图像上很容易得到随着
[达标演练2]
电压的增加，割线斜率变小，即电阻变大，选
根据题意可知，物体做匀加速直线运动，
项C正确.由P=UI可知，图像中矩形
满足x=a,画出物体的1图像。
PQOM所围的面积对应P点小灯泡的实际
↑x/m
功率，选项D正确.故选B.
tis
·197
2.曲线的韵律
将yx=尽·代人轨迹方程，相
=3、g
[达标演练1]
0=60°，即为最远发射角.故选AB.
如图所示.
[达标演练2]
(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受
合外力为零，根据牛顿第二定律，小球处于平
0
衡状态，小球所受支持力F、=mg=1N,根
以发射点为原点建立平面直角坐标系，
据牛顿第三定律，圆管对小球的支持力和小
设发射角为0，
球对圆管的压力是作用力与反作用力，大小
1
x=l·%cos0,y=t·%sin0-2g,
相等，方向相反，则小球对圆管的压力大小为
两式消去t得到轨迹方程y=x·tan0一
1N,方向竖直向下.
&x2
26·(tan20+1).
(2)小球从静止到C点，根据功能关系有
上式看作关于tan0的一元二次方程，方
2mv=mgX 2R-E.
程有唯一解的条件为△=x2一48x
22
解得E。=1.2J.
(3)小球从C点到E点，根据动能定理有
(+)=0.
2mg2、1
1
一mgh一umgL=
m%2,
即中
解得E=√60-20h.
将斜面的方程x=√3y代入，解得y=
过了E点小球做平抛运动，有h=
Γ2812，
,x=.w
3·
3 g
x=vEt
所以在斜面上的最远距离为√x十y·
联立得到x与h的关系为x=√12h一4h,
2.6=6000m.
当A=多m时，x有最大值x=3m
·198

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