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3.3 一次函数的图象
第3章 一次函数
第1课时 正比例函数的图象和性质
2. 函数有哪些表示方法
图象法、列表法、公式法
是一次函数的是 ，是正比例函数的是 .
(2)，(4)
(2)
三种方法可以相互转化
它们之间有什么关系
3. 你能根据函数表达式画出图象吗
什么是函数的图象
1. 在下列函数中：
； ； ； .
列表：在自变量的取值范围内，取自变量 x 的一些值，计算出相应的函数值，列成表格.
正比例函数的图象的画法
1
解：
例1 画出正比例函数 y = 2x 的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
描点：建立平面直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点.
连线：观察描出的这些点的分布，猜测函数的图象，然后用平滑的线连接各点.
y = 2x
画函数图象的一般步骤：
①列表
②描点
③连线
要点归纳
y = 2x
观察：函数的图象有什么特点
一般地，正比例函数 y = kx 的图象是一条经过原点 O 的直线.
要点归纳
思考：几个点可以确定一条直线 画一次函数的图象时，只需要取几个点
根据“两点确定一条直线”，要画正比例函数的图象，只需描出图象上的两个点即可. 又由于正比例函数的图象经过原点 O，因此，只要再描出图象上的一个点，然后过这点和原点就可作出这条直线. 通常把这条直线叫作“直线 y = kx”.
典例精析
例1 画出正比例函数 y = -2x 的图象.
解：函数 y = -2x 的图象经过原点 O.
当 x = 1 时，y = -2.
在平面直角坐标系中描出点A(1，-2)，过原点 O 和点 A 作直线，则这条直线是
y = -2x 的图象，如图所示.
y = -2x
O
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1) y = -3x；(2)
x 0 1
y = -3x
0
-3
0
y = -3x
画一画
思考
(1) 观察图中 y = 2x 的图象，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值 y 如何变化？
y = 2x
2
正比例函数的图象与性质
(1) 由图可知，发于 y = 2x，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值 y 由小变大.
观察发现：这个图象经过第 象限；
一、三
(2) 观察图中 y = -2x 的图象，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值 y 如何变化？
y = -2x
(2) 由图可知，对于 y = -2x ，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值 y 由大变小.
观察发现：这个图象经过第 象限；
二、四
(3) 对于正比例函数 y = kx，
当 k > 0 时，若 x > 0，则 y = kx > 0；
若 x < 0，则 y = kx < 0.
于是，当 k > 0 时，点 P(k，kx) (x≠0) 在第一、三象限.
(3) 一般地，对于正比例函数 y = kx，其图象应该经过哪些象限？函数值随自变量如何变化？
因此，直线 y = kx (k > 0)经过第三、一象限且从左向右上升，即函数值 y 随 x 取值的增大而增大，如图所示.
x
y
O
y = kx(k>0)
增大
增大
当 k < 0 时，若 x > 0，则 y = kx < 0；若 x < 0，则 y = kx > 0.
于是，当 k < 0 时，点 P(k，kx) (x≠0) 在第二、四象限.
x
y
O
y = kx(k<0)
减小
增大
因此，直线 y = kx (k < 0 )经过第二、四象限且从左向右下降，即函数值 y 随 x 取值的增大而减小，如图所示.
y = kx (k 是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线
k＞0 k＜0
图象
经过的象限
增减性
第二、四象限
第一、三象限
函数值 y 随 x 取值的增大而增大
函数值 y 随 x 取值的增大而减小
y
x
o
y = kx
1
k
(1, k)
y
x
o
y = kx
1
k
(1, k)
归纳总结
例2 已知正比例函数 y = (m + 1)xm2，它的图象经过第几象限？
m + 1 = 2＞0.
该函数是正比例函数
m2 =1.
{
根据正比例函数的性质，可知该图象经过第一、第三象限.
解：
(1) 若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值
范围是________.
变式1： 已知正比例函数 y = ( k + 1 )x.
k＞-1
(2) 若函数图象经过点（2，4），则 k_____.
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以
k + 1＞0，解得 k＞-1.
解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得
4 = (k + 1)·2，解得 k = 1.
= 1
变式2：当 x＞0 时，y 与 x 的函数表达式为 y = 2x，
当 x≤0 时，y 与 x 的函数表达式为 y = -2x，则在同一直角坐标系中的图象大致为 ( )
C
A B C D
例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点 (m，4)，且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值.
解：∵正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，
∴ 4 = m·m，解得 m = ±2.
又 y 的值随着 x 值的增大而减小，
∴ m＜0，故 m = －2.
例4 某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以 3 m/s 的速度匀速上升，运行总高度为 300 m.
(1) 求电梯运行高度 h (m) 随运行时间 t (s) 而变化的函数表达式；
解：(1) 由路程＝速度×时间，可知 h＝3t，0≤t≤100.
例4 某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以 3 m/s 的速度上升，运行总高度为 300 m.
(2) 画出这个函数的图象.
(2) 当 t＝0 时，h＝0；当 t＝100 时，h＝300.
在平面直角坐标系中描出点
A(100，300)，
再过原点和点 A 作线段 OA，
则线段 OA 即为函数 h＝3t
(0≤t≤100) 的图象，如图所示.
【总结】在有限路程内做匀速运动(即速度保持不变)的物体，路程与时间的函数图象一般是一条线段.
画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = - x 和 y = -4x 的图象.
这四个函数中，随着 x 的增大，y 的值分别如何变化
(1) 正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大，y的值都增大了，其中哪一个增大得更快？你能说明其中的道理吗？
(2) 正比例函数 y = - x 和 y = -4x 中，随着 x 值的增大，y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
| k | 越大，直线越陡，即越靠近 y 轴
议一议
1. 已知正比例函数 y = kx (k＜0) 的图象上有两点(x1，y1)，
(x2，y2)，若 x1＜x2 ，则 y1 y2.
＞
2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图象如图，则 k1 和 k2的大小关系是( )
A. k1＞k2 B. k1 = k2
C. k1＜k2 D. 不能确定
y=k1x
y=k2x
x
y
o
A
练一练
正比例函数的图象和性质
图象：经过原点的直线.
当 k＞0 时，经过第一、三象限；当 k＜0 时，经过第二、四象限
性质：当 k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；
当 k＜0 时，y 的值随 x 值的增大而减小
画正比例函数图象的一般步骤：列表、描点、连线
1. 下列图象哪个可能是函数 y = -x 的图象（ ）
B
　2. 对于正比例函数 y = (k - 2)x，当 x 增大时，y 随之增大，则 k 的取值范围是 ( )
　　A. k＜2　　　　　　 B. k≤2
　　C. k＞2　　　　　 　D. k≥2
C
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A B C D
3. 函数 y = -7x 的图象经过第_________象限，经过点
_______与点 ，y 随 x 的增大而_______.
二、四
（0，0）
（1，-7）
减小
4. 已知正比例函数 y = (2m + 4)x.
(1) 当 m 时，函数图象经过第一、三象限；
(2) 当 m 时，y 随 x 的增大而减小；
(3) 当 m 时，函数图象经过点(2，10).
＞-2
＜-2
= 0.5
5. 比较大小：
（1）k1 k2；（2）k3 k4；
　 （3）比较 k1， k2， k3， k4 的
的大小，并用不等号连接．
＜
解：k1＜k2 ＜k3 ＜k4.
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y =k4x
-4
-2
2
y =k3x
y = k2x
y = k1x
＜
6. 已知某种小汽车的耗油量是每 100 km 耗油 15 L．所使用的汽油为 5 元/ L ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程
x（km）之间的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象；
（3）计算该汽车行驶 220 km 所需油费是多少.
y/元
x/km
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
O
（1）
即 .
（2）
x 0 4
y 0 3
列表
（3）当 x = 220 时，
答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元．
描点
连线
（元）.
解：

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