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3.3 一次函数的图象
第3章 一次函数
第2课时 一次函数的图象和性质
　 (1) 什么叫一次函数？从表达式上看，一次函数与正比例函数有什么关系？
(2) 正比例函数的图象是什么？是怎样得到的？
(3) 正比例函数有哪些性质？是怎样得到这些性
质的？
正比例函数
表达式 y = kx（k≠0）
性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
一次函数
表达式 y = kx+b（k≠0）
针对函数 y = kx + b，要研究什么？怎样研究？
图象：经过原点和点
（1，k）的一条直线
x
y
O
k＞0
k＜0
x
y
O
图象： ？
性质： ？
一次函数的图象的画法
在上一课的学习中，我们学会了正比例函数图象的画法，分为三个步骤．
①列表
②描点
③连线
那么你能用同样的方法画出一次函数的图象吗？
1
探究
在平面直角坐标系中，先画出函数 y = 2x 的图象，然后探索 y = 2x + 3 的图象是什么样的图形，并由此猜测 y = 2x + 3 的图象与 y = 2x 的图象之间有什么关系.
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y= 2x ··· -6 -4 -2 0 2 4 6 ···
y= 2x+3 ··· -3 -1 1 3 5 7 9 ···
先取自变量的一些值，算出 y = 2x ，y = 2x + 3 对应的函数值，所列表格如下：
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y= 2x ··· -6 -4 -2 0 2 4 6 ···
y= 2x+3 ··· -3 -1 1 3 5 7 9 ···
从上表可以看出，横坐标相同，y = 2x + 3 的点的纵坐标比 y = 2x 的点的纵坐标大 3，于是将 y = 2x 的图象向上平移 3 个单位，就得到 y = 2x + 3 的图象，如图所示.
y = 2x
y=2x+3
比较上面两个函数的图象回答下列问题：
(2) 函数 y = 2x 的图象经过 ，
函数 y = 2x + 3 的图像与 y 轴交于点( )，即它可以看作由直线 y = 2x向 平移 个单位长度而得到.
(1) 这两个函数的图象形状都
是 ，并且倾斜程度 .
原点
0 ，3
上
3
一条直线
3. 比较三个函数的表达式，
相同，它们的图象的位置关系是 .
自变量系数 k
平行
相同
y = 2x
y=2x+3
要点总结
一次函数 y = kx + b(k≠0) 的图象经过点 (0，b)，可以由正比例函数 y = kx 的图象平移 个单位长度 (当 b＞0时，向 平移；当 b＜0 时，向 平移)而得到.
下
上
| b |
一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，它与正比例函数 y = kx 的图象平行 (当 b≠0 时)或重合 (当 b = 0 时).
一般过 (0，b) 和 ( ，0) 或 (1，k＋b).
(0，b)
( ，0)
一次函数 y = kx + b 的图象
也称为 直线 y = kx + b.
由于“两点确定一条直线”，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了.
归纳总结
与 y 轴的交点
与 x 轴的交点
横坐标是 1 的点
例1 画出一次函数 y = -2x - 3 的图象.
解：当 x = 0 时，y = -3；
当 x = 1 时，y = -5.
在平面直角坐标系中描出两点 A(0，-3)，B(1，-5)，过这两点作直线，则这条直线是一次函数 y = -2x - 3 的图象，如图所示.
典例精析
O
y = -2x-1
y = 0.5x+1
1. 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）y = - 2x - 1；（2）y = 0.5x + 1.
x 0 1
y = -2x -1
y = 0.5x +1
-1
-3
1
1.5
也可以先画直线 y = -2x 与 y = 0.5x，再分别平移它们，也能得到直线
y = -2x - 1 与 y = 0.5x + 1.
练一练
2. (1) 将直线 y ＝ 2x 向上平移 2 个单位后所得图象对应的函数表达式为(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝2x－2
C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2
(2) 将正比例函数 y＝－6x 的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是 _____________
(写出一个即可)．
D
y＝－6x＋3
（1）
（2）
（3）
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
y
1
思考：k，b 的值跟图象有什么关系？
一次函数的性质
画一画1：在同一坐标系中作出下列函数的图象.
2
画一画2： 在同一坐标系中作出下列函数的图象.
（1）
（2）
（3）
-3
o
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
y
1
思考：k，b 的值跟图象有什么关系？
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-2
x
y
1
-1
在一次函数 y = kx + b (k， b 为常数， k ≠ 0) 中，
当 k＞0 时，函数值 y 随着 x 值的增大而增大；
当 k＜0 时，函数值 y 的值随着 x 值的增大而减小.
由此得到一次函数的性质：
归纳总结
例2 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 是一次函数 y = -0.5x + 3 图象
上的两点，下列判断中，正确的是 ( )
A. y1＞y2 B. 当 x1＜x2 时，y1＜y2
C. y1＜y2 D. 当 x1＜x2 时，y1＞y2
D
解析：根据一次函数的性质，当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，所以 D 为正确答案．
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
思考：根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并说出直线经过的象限：
＞
＞
＞
＞
＜
=
＞
＜
＜
＜
＜
=
【总结】一次函数 y = kx＋b 中，k，b 的正负对函数图象及性质有什么影响？
当 k＞0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐上升，y 随 x 的增大而增大.
当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，y 随 x 的增大而减小.
① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限.
3. 两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是(　　)
C
练一练
例3 已知一次函数 y = (1 - 2m)x + m - 1，求满足下列条件的 m 的值：
（1）函数值 y 随 x 的增大而增大；
（2）函数图象与 y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限.
解：(1) 由题意得 1 - 2m＞0，解得
(2) 由题意得 1 - 2m≠0 且 m - 1 < 0，即
(3) 由题意得 1 - 2m < 0 且 m - 1 < 0，解得
例4 右图描述了某一天小华从家骑车去中国红色书店购书，然后又骑车回家的情况. 说出小华在路上的情形吗？
分析：小华骑车离家的距离 y 是时间 x 的函数，这个函数图象由 3 条线段组成，每一条线段代表一个阶段的活动.
解：第一段是从原点出发的线段OA. 从横坐标看出，小华路上花了 30 min，当横坐标从 0 变化到30 时，纵坐标均匀增加，这说明小华从家出发匀速前进 30 min，到达书店.
第二段是一条与 x 轴平行的线段 AB. 当横坐标从 30 变化到 60 时，纵坐标没有变化，这说明小华在书店购书停留了 30 min.
第三段是与 x 轴有交点的线段BC. 从横坐标看出，小华路上花了 40 min. 当横坐标从 60 变化到 100 时，纵坐标均匀减少，这说明小华从书店出发匀速前进 40 min，直到返回家中.
实际上，比较第一段与第三段线段，可以发现第一段更“陡”，这说明去书店的速度更快，而回家的速度要慢一些.
一次函数的图象和性质
当 k > 0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；
当 k < 0 时，y 的值随 x 值的增大而减小
与 y 轴的交点是（0，b），
与 x 轴的交点是（ ，0）；
当 k > 0， b > 0 时，经过一、二、三象限；
当 k > 0 ，b < 0 时，经过一、三、四象限；
当 k < 0 ，b > 0 时，经过一、二、四象限；
当 k < 0 ，b < 0 时，经过二、三、四象限
图象
性质
1. 一次函数y = x - 2 的大致图象为（ ）
C
A B C D
2.下列函数中，y 的值随 x 值的增大而增大的函数是 ( )
A. y = -2x B. y = -2x + 1
C. y = x - 2 D. y = -x - 2
C
3. 直线 y = 3x - 2 可由直线 y = 3x 向 平移 个单位得到.
4. 直线 y = x + 2 可由直线 y = x - 1向 平移 个单位得到.
下
2
上
3
5. 点 A(-1，y1)，B(3，y2) 是直线 y = kx + b(k < 0)上的两点，则 y1 - y2 0 (填“>”或“<”).
＞
6. 已知一次函数 y＝(3m - 8)x＋1 - m 图象与 y 轴交点在 x 轴下方，且 y 随 x 的增大而减小，其中 m 为整数，求 m 的值.
解: 由题意得
解得
又∵ m 为整数，
∴ m = 2.

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