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3.4 用待定系数法确定一次
函数表达式
第3章 一次函数
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数表达式吗？如何画出它们的图象？
　　思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的表达式吗？
两点法——两点确定一条直线
引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s) 与其下滑时间 t (s) 的关系如图所示．
(1) 请写出 v 与 t 的关系式；
(2) 下滑第 3 s 末物体的速度是多少？
v (m/s)
t(s)
O
5
2
解：(1) v = 2.5t.
(2) v = 2.5×3 = 7.5 (m/s).
确定正比例函数的表达式
1
例1 求正比例函数 的表达式．
解：由正比例函数的定义知
m2－15＝1 且 m－4≠0，
∴ m＝－4.
∴ y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0，常数项为 0.
典例精析
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
一个
两个
【合作探究】
如图，已知一次函数的图象经过 P（0，-1），
Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？
确定一次函数的表达式
2
一次函数的一般形式是 y = kx + b（k，b为常数，k ≠ 0），要求出一次函数的表达式，关键是要确定 k 和 b 的值（即待定的系数）.
函数表达式
y = kx + b
满足条件的两点
(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数的图象
直线 l
选取
解出
画出
选取
∵ 点 P (0，-1) 和 Q (1，1) 都在该函数图象上，
∴ 它们的坐标应满足 y = kx + b，将这两点的坐标代入该式中，得到一个关于 k，b 的二元一次方程组：
∴ 该一次函数的表达式为 y = 2x - 1.
k·0 + b = -1，
k + b = 1.
解这个方程组，得
k = 2，
b = -1.
像这样，通过先设出函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数表达式的方法称为待定系数法.
知识要点
解：∵ y 是 x 的一次函数，设其表达式为 y = kx + b，
由题意得 解得
4k + b = 5，
5k + b = 2，
例2 已知一个一次函数，当自变量 x = 4
时，函数值 y = 5；当 x = 5 时，y = 2. 你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？
∴函数表达式为 y = -3x + 17，其图象如图所示.
k = -3，
b = 17.
y
x
o
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1. 设出含字母系数的一次函数表达式：y = kx + b；
2. 将已知条件代入上述表达式中，得到关于 k，b 的二元一次方程组；
3. 解这个二元一次方程组，得 k，b 的值；
4. 写出一次函数的表达式.
归纳总结
1. 已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点(-1，2)，则
k =_____.
2. 已知函数 y = 2x + b 的图象经过点 (a，7) 和 (-2，a)，
则这个函数的表达式为____________.
3
y = 2x + 5
练一练
例2 世界上大多数国家（包括我国）都采用摄氏温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标，已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系.
摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度y/℉ 32 50 68 86 104 122
解：由上表可知，摄氏温度每增加 10 ℃，华氏温度都增加 18 ℉，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示.
由已知条件，得
b = 32，
10k + b = 50.
因此华氏温度与摄氏温度的函数表达式为
因此可以设所求函数表达式为 y = kx + b ( k，b为常数，k≠0).
解得
有了这个表达式就可以将摄氏温度换算成华氏温度了.
摄氏温度与对应的华氏温度的
值有相等的可能吗？为什么？
例3 某种收割机的油箱可储油 40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量 y (L)与工作时间 x (h)之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 一箱油可供收割机工作几小时？
解 (1) 设一次函数的表达式为 y = kx + b (k，b为常数，k≠0).
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
2k + b = 30，
6k + b = 10.
解得
k = -5，
b = 40.
所以函数表达式为 y = -5x + 40.
由于点 P (2，30)，Q (6，10) 都在一次函数图象上，将这两点的坐标代入表达式，得
(2) 一箱油可供拖拉机工作几小时？
解：当剩余油量为 0 时，即 y = 0 时，
得 -5x + 40 = 0，x = 8.
所以一箱油可供拖拉机工作 8 h.
【练一练】3. 在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数. 一根弹簧不挂物体时长 14.5 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米. 请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度.
解：设 y = kx + b (k ≠ 0)，
由题意，得 14.5 = b，16 = 3k + b，解得 b=14.5，k=0.5.
∴在弹性限度内，y = 0.5x + 14.5.
当 x = 4 时，y＝0.5×4＋14.5 = 16.5 (厘米).
故当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度为 16.5 厘米.
根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中，解方程组求出待定系数，从而得到函数的表达式．
归纳总结
用待定系数法求一次函数的解析式
2. 根据已知条件列出关于 k，b 的方程组；
1. 设所求的一次函数表达式为 y = kx + b；
3. 解方程组，求出 k，b 值；
4. 把求出的 k，b 代回表达式即可.
1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象如图，则下列结论正确的是 ( )
A．k = 2　　　 B．k = 3　　　
C．b = 2　 　 D．b = 3
D
y
x
O
2
3
2. 如图，直线 l 是一次函数 y = kx + b 的图象，填空：
　(1) b = ______，k =______；
(2) 当 x = 30 时，y =______；
(3) 当 y = 30 时，x =______.
2
-18
-42
l
x
y
3. 已知一次函数的图象经过 (0，5)、(2，－5) 两点，求一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为 y＝kx＋b，根据题意，得
－5＝2k＋b，5＝b，
解得 b＝5，k＝－5.
∴一次函数的表达式为 y＝－5x＋5.
解：设直线 l 为 y = kx + b，
　∵ l 与直线 y = -2x 平行，∴ k = -2.
又∵ 直线过点 (0，2)，
∴ 2 = -2×0 + b.
∴ b = 2.
∴直线 l 的表达式为 y = -2x + 2.
4. 已知直线 l 与直线 y = -2x 平行，且与 y 轴交于点 (0，2)，求直线 l 的表达式.
5. 已知一次函数的图象过点 (0，2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，求此一次函数的表达式.
解：设一次函数的表达式为 y = kx + b (k ≠ 0).
∵ 一次函数 y = kx + b 的图象过点 (0，2)，
∴ b = 2.
∵ 一次函数的图象与 x 轴的交点是( ，0)， 则 解得 k = 1 或 -1.
故此一次函数的表达式为 y = x + 2 或 y = -x + 2.

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