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3.5 一次函数与二元一次方程的关系
第3章 一次函数
今天数学王国举行了家庭聚会，各个成员按照自己所在的家庭就坐，这时来了“x + y = 5”.
二元一次方程
一次函数
x + y = 5
到我这里来
到我这里来
这是怎么回事？ x + y = 5应该坐在哪里呢？
1
一次函数与二元一次方程(组)的关系
议一议
(1) (4，1) 与 (1，7) 是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个.
(1) 由七年级知识可知，(4，1) 与 (1，7) 都是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解，并且这个方程有无数个解，如 (-1，11)，(0，9)，等等.
(2) 给定一个二元一次方程 2x＋y－9＝0，若把方程中的未知数 y 用含未知数 x 的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？
(2) 对于二元一次方程 2x＋y－9＝0，整理可得
y＝－2x＋9. 若把 x 看作自变量，y 看作因变量，则得到一次函数 y＝－2x＋9.
反过来，一次函数 y＝－2x＋9 也可以写成二元一次方程 2x＋y－9＝0 的形式.
(1) 一次函数 y＝－2x＋9 的图象任一点的坐标都是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解吗？
思考
(1) 如图，一次函数 y＝－2x＋9 的图象上任一点的坐标可以表示为
(c，－2c＋9)，其中 c 为任意实数.
由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解.
(2) 以二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解为坐标的点组成的图形是一次函数 y＝－2x＋9 的图象吗？
(2) 又二元一次方程 2x＋y－9＝0 的所有解都可以表示为 (c，－2c＋9)，其中 c 为任意实数.
于是以二元一次方程 2x＋y－9＝0 的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数 y＝－2x＋9 的图象.
而所有点 (c，－2c＋9)都在一次函数
y＝－2x＋9 的图象(一条直线)上，如图所示.
归纳总结
一次函数
y＝kx＋b
二元一次方程
kx－y＋b＝0
图象上所有点坐标满足
解为坐标的点都在图象上
二元一次方程
ax＋by＋c＝0
(a≠0，b≠0)
一次函数
任意一个解为坐标的点都在其图象上
任意一点的坐标都是其一个解
知识要点
在平面直角坐标系中，关于 x，y 的二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数 图象.
二元一次方程与一次函数的关系
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程－2x＋3y－6＝0 表示的直线.
解 由 －2x＋3y－6＝0 可得一次函数 ，
从而当 x＝0 时，y＝2，当 x＝3 时，y＝4.
在平面直角坐标系，描出 A(0，2)，B(3，4) 两点，过这两点作直线，如图所示，则这条直线是一次函数
的图象，从而它是二元一次方程－2x＋3y－6＝0表示的直线.
A(0，2)
B(3，4)
归纳总结
给了一条与坐标轴不平行且不重合的直线，我们可以任选直线上的两点，用待定系数法求出一次函数 y＝kx＋b 的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线. 由于一次函数 y＝kx＋b 的图象就是二元一次方程 kx－y＋b＝0 表示的直线，因此，所给的直线就是二元一次方程 kx－y＋b＝0 表示的直线.
例2 如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过 P (0，－2)，Q(－4，5) 两点，哪个二元一次方程表示这条直线？
解 设直线 PQ 是一次函数y＝kx＋b ( k，b 为常数，k≠0) 的图象.
因为点 P (0，－2) 和点 Q(－4，5) 都在该函数的图象上，所以
b = －2，
k·(－4) + b = 5.
解得
因此，直线 PQ 是一次函数 的图象，从而它是二元一次方程 表示的直线
P(0，－2)
Q(－4，5)
关于 x，y 的二元一次方程 kx－y＋b＝0 (k≠0) 所表示的直线与 x 轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？
议一议
一次函数 y＝kx＋b 的图象上任一点的坐标是
(c，kc＋b). 由于函数的图象与 x 轴的交点的纵坐标为 0，因此交点的横坐标 c 满足 kc＋b＝0，于是 c＝ ，从而一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点坐标是( ，0).
因此，关于关于 x，y 的二元一次方程 kx－y＋b＝0 (k≠0)所表示的直线与 x 轴的交点坐标为( ，0).
直线与 x 轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当 y＝0 时的 x 值；直线与 y 轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当 x＝0 时 y 的值，注意数形结合．
归纳总结
例3 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x－2y＝2 的解的是 (　　)
解析：观察直线与坐标轴的交点坐标与二元一次方程的相应数值对应情况即可找到答案．对于二元一次方程
x－2y＝2，当 x＝0 时，y＝－1；当 y＝0 时，x＝2，故直线与两坐标轴的交点应该是(0，－1)，(2，0)．
C
1. 方程 x – y = 1 有一个解是 ，则一次函数 y = x – 1 的图象上必有一个点的坐标为 .
2. 一次函数y = 2x – 4的图象上有一个点的坐标为(3，2)，
则方程 2x – y = 4 必有一个解是________.
(2，1)
练一练
思考：对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
2x－y＝l，
3x＋5y＝8，
分析：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数 y＝2x－l 与 方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标，因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.
y
观察 在坐标系中分别画出两条直线 y＝2x－l 和 .
1.它们的交点坐标____________.
2.方程组 的解
是____________.
这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解.
(1，1)
y
2x－y＝1，
3x＋5y＝8
y＝2x－l
y
“数”的角度
“形”的角度
两个一次函数 y = k1x + b1 (k1≠0)，
y = k2x + b2 (k2≠0) 的自变量 x，y 的一组相同的值 二元一次方程组
的解
直线 y = k1x + b1 (k1≠0)，y = k2x + b2 (k2≠0)的交点坐标 (m，n)
二元一次方程组 的解为 x = m，y = n
一次函数与二元一次方程组的关系
例3 如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线 l1 与 l2 的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
解方程组
y = 2x + 2，
y = - x + 3，
解：因为直线 l1过点 (-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线 l1 的解析式为 y = 2x + 2. 同理
可求得直线 l2 的解析式为 y = - x + 3.
即直线 l1 与 l2 的交点坐标为
一次函数与一次方程
二元一次方程的解与相应一次函数图象上点的坐标一一对应
在平面直角坐标系中，关于 x，y 的二元一次方程 ax＋by＋c＝0 (a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数 图象
1. 如图所示的是一次函数 y＝ax－b 的图象，则关于x 的方程 ax－1＝b的解为 x＝ 　4　.
4 　
2．利用图象解一元一次方程 x + 3 = 0.
解：作直线 y = x + 3 如右图.
由图象知 y = x + 3 交 x 轴于点(-3，0)，
∴原方程的解为 x = 3.
3
y = x + 3
O
y
x
3

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