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3.6 一次函数的应用
第3章 一次函数
第 1 课时 建模问题及行程问题
乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事. 故事梗概为：“一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水.”告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解
的道理. 数学问题也一样哦.
如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口吗？说说你的做法！
10 cm
9 cm
建模预测问题
现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义.
下面有一个实际问题，你能否利用已学的知识给予解决？
1
伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系：
指尖距 x (cm) 19 20 21
身高 y (cm) 151 160 169
(1) 身高 y 与指尖距 x 之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？
思考
(2) 若李华的指距为 22 cm 时，你能估计他的身高吗？
指尖距 x (cm) 19 20 21
身高 y (cm) 151 160 169
解：(1) 由上表三组数据可知，身高 y 与指尖距 x 之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加 1 cm，身高对应增加 9 cm，于是可以尝试用一次函数来刻画.
设身高 y 与指尖距 x 之间的一次函数表达式为 y＝kx＋b
(k，b 为常数，k≠0).
19k + b = 151，
20k + b = 160.
解得 k＝9，b＝-20. 于是 y＝9x - 20.
将 x＝21，y＝169 代入上式，也符合.
故 y＝9x - 20就是身高 y 与指尖距 x 之间的函数表达式.
将 x＝19，y＝151 与 x＝20，y＝160 代人上式，得
(2) 当 x = 22 时， y = 9×22 - 20 = 178.
因此，李华的身高大约是 178 cm.
(2) 若李华的指距为 22 cm 时，你能估计他的身高吗？
建立一次函数模型步骤：
(1) 确定自变量和因变量(用两个字母)；
(2) 根据自变量和因变量的关系设解析式；
(3) 找点列方程或方程组；
(4) 求出待定的系数；
(5) 写出解析式；
(6) 代值检验.
归纳总结
1.小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时，通过调查获得下表数据：
x (厘米) … 22 23 24 25 26 …
y (码) … 34 36 38 40 42 …
问1：根据表中提供的信息，在同一直角坐标系中描出相应的点，你能发现这些点的分布有什么规律吗？
练一练
30
32
38
36
34
42
40
23
25
24
21
22
27
26
y (码)
x(厘米)
问2：据说某篮球巨人的鞋子长 31 cm，那么你知道他穿多大码的鞋子吗？
这些点在一条直线上，
如图所示.
O
我们选取点（22，34）及
点（25，40）的坐标代入
y = kx + b中，得
22k + b = 34，
25k + b = 40.
解得 k = 2，b = -10.
∴ 一次函数的表达式为 y = 2x - 10.
把 x = 31 代入上式，得 y = 2×31 - 10 = 52.
∴可以得到某篮球巨人穿 52 码的鞋子.
利用一次函数解决行程问题
2
例1 已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8∶00 骑自
行车由甲地去乙地，平均车速为 8 km/h；小李10∶00 坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为 40 km/h.设小徐所用的时间为 x h，小徐离甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为 y2 km.
(1) 分别写出 y1， y2 与 x 之间的函数解析式；
解 (1) 由“路程＝速度×时间”可知 y1＝8x，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤5.
由于小李比小徐晚出发 2 h，因此小李所用时间为(x－2) h，
从而 y2＝40(x－2)，自变量 x 的取值范围是 2≤x≤3.
(1) 分别写出 y1， y2 与 x 之间的函数解析式；
1
2
3
4
5
8
16
24
32
40
y2＝40(x-2)
y1＝8x
(2) 在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.
(2) 将以上两个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，如图所示.
过点 M(0，40) 作射线 l 与 x轴平行，它先与 y2＝40(x－2)相交，这表明小李先到达乙地.
l
M
2. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图
象，下列结论错误的是(　C　)
A. 乙前4s行驶的路程为48m
B. 在0到8s内甲的速度每秒增加4m/s
C. 两车到第3s时行驶的路程相等
D. 在4至8s内甲的速度都大于乙的速度
第2题图
C
练一练
解析：设小明的速度为 a 米/秒，小刚的速度为
b 米/秒，由题意得
1600 + 100a = 1400 + 100b，
1600 + 300a = 1400 + 200b.
解得 a = 2，b = 4.
故这次越野跑的全程为
1600 + 300×2 = 2200 (米)．
2. 一次越野跑中，当小明跑了1600 米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程 y (米) 与时间 t (秒) 之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米.
2200
t (秒)
y (米)
100
200
300
1400
1600
O
1.下图是用棋子摆成的“上”字 ，则第 n 个图共有多少枚棋子？
图1
图2
图3
图4
解：先列表：
x 1 2 3 …
y 6 10 14 …
描点：如图所示.
我们发现图形的形状为一条直线，故可设该直线为 y = kx + b.
选取点（1，6）及
点（2，10）的坐标代入
y = kx + b 中，
得
k+b=6，
2k+b=10.
解得 k = 4，b = 2.
∴一次函数的表达式为 y = 4x + 2.
令 x = n，则 y = 4n + 2.
∴ 第 n 个图形有 (4n+2) 棋子.
2. 世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(℉)计量法. 两种计量法之间有如下的对应关系：
x/℃ 0 10 20 30 40 50
y/℉ 32 50 68 86 104 122
(1)在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想 y 与 x 之间的函数关系；
(2) 确定 y 与 x 之间的函数表达式，并检验；
(3) 华氏 0 度时的温度应是多少摄氏度？
(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？
(1) 在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想 y 与 x 之间的函数关系；
解：(1)如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y 与 x 之间的函数关系为一次函数.
(2) 确定 y 与 x 之间的函数表达式，并检验；
解：设 y ＝ kx＋b，把 (0，32) 和 (10，50) 代入得
解得
经检验，点 (20，68)，(30，86)，
(40，104)，(50，122) 的坐标均
能满足上述表达式，
∴y 与 x 之间的函数表达式为
(3)华氏 0 度时的温度应是多少摄氏度？
解：当 y ＝ 0 时，
解得
∴华氏 0 度时的温度应是 ℃.
(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？
解：把 y ＝ x 代入，
解得
∴ 华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，此值为－40.
3. 如图，射线 OA、BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中 s、t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h.
解析：根据图象可得出：甲的速度为
120÷5 = 24 (km/h)，
乙的速度为(120﹣4)÷5 = 23.2 (km/h)，
速度差为 24 - 23.2 = 0.8 (km/h).
0.8
B
4. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y（厘米）与燃烧时间 x（时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的
高度分别是 ，
从点燃到燃尽所用的时间分别
是 .
30 厘米、25 厘米
2 小时、2.5 小时
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
y甲 = -15x + 30
y乙 = -10x + 25
当 x = 1 时，甲乙蜡烛高度相等.
当 1＜x＜2.5 时，甲蜡烛比乙蜡烛低.
当 0≤x＜1 时，甲蜡烛比乙蜡烛高.
一次函数模型的应用
①将实验得到的数据在平面直角坐标系中描出
②观察这些点的特征，确定选用的函数模型，并根据已知数据求出具体的函数表达式
③进行检验
④应用这个函数模型解决问题

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