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3.6 一次函数的应用
第3章 一次函数
第2课时 分段函数
小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小明离家的距离．
该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
1
做一做
在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑竿跳高的纪录如下表所示：
建模预测问题
年份 1900 1904 1908
高度 /m 3.3 3.5 3.71
观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑竿跳高纪录与所在年份的关系建立一个函数模型.
年份 1900 1904 1908
高度 y/m 3.3 3.5 3.71
用 t 表示从 1900 年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑竿跳高的纪录 y (m) 与 t 之间的一次函数表达式为 y＝kt＋b (k，b为常数，k≠0).
上表中每一届的纪录比上一届都大约提高了 0.2 m，于是可以尝试建立一次函数模型来刻画.
由于 t＝0 (即 1900 年) 时，男子撑竿跳高的纪录为 3.3 m，t＝4 (即 1904 年) 时，纪录为 3.5 m，因此
解得 b = 3.3，k = 0.05.
当 t = 8 时，y = 3.7，这说明 1908 年奥运会的男子撑竿跳高纪录基本符合①式.
b = 3.3，
4k + b = 3.5.
于是，①式可以大致反映上述三届奥运会男子撑竿跳高纪录与所在年份之间函数关系．
当 t = 12 时，y = 3.9. 经查询可知，1912年奥运会的男子撑竿跳高纪录为 3.95 m，这一纪录也接近符合①式.
于是 y = 0.05t + 3.3. ①
议一议
(1) 利用①式估计 1988 年奥运会的男子撑竿跳高纪录.
(1) 由于t = 88，由①式可得 y = 0.05×88 + 3.3 = 7.7.
y = 0.05t + 3.3. ①
(2) 查阅相关纪录，与(1)中结果比较，你能发现什么？
(2) 经查询可知，1988 年奥运会的男子撑竿跳高纪录是 5.90 m，远低于 7.7 m. 这表明：用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的.
在利用已建立的函数模型去预测变量的变化规律时，有一定的范围限制和一定程度上的误差. 因此在利用函数模型对邻近已知数据作预测是可行的，但对远离已知数据作预测是不可靠的.
归纳总结
例1 某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过 200 kW·h时，按 0.6 元/(kW·h) 收费；若超过 200 kW·h，则超出部分每 1 kW·h 加收 0.3 元.
(1) 写出某户居民某月应缴纳的电费 y (元) 与用电量 x (kW·h) 之间的函数表达式；
(2) 画出这个函数的图象；
(3) 小玲家 3 月份、4 月份分别用电 150 kW·h和 220 kW·h，各应缴纳电费多少元
2
分段函数
y 与 x 之间的函数表达式也可以合起来表示为
解 (1) 由生活常识可知，电费与用电量相关.
当 0≤x≤200 时，y＝0.6x；
当 x＞200 时，y＝200×0.6＋(x－200)×(0.6＋0.3)
＝0.9x－60.
(1) 写出某户居民某月应缴纳的电费 y (元) 与用电量 x (kW·h) 之间的函数表达式；
0.6x ( 0≤x≤200 )，
0.9x－60 ( x＞200 ).
y＝
(2) 画出这个函数的图象；
该函数图象由两个一次函数的图象拼接在一起.
50
100
150
200
250
40
80
120
160
200
y/元
x/(km/h)
0.6x ( 0≤x≤200 )，
0.9x－60 ( x＞200 ).
y＝
(3) 小玲家 3 月份、4 月份分别用电 150 kW·h 和 220 kW·h，各应缴纳电费多少元
(3) 当 x＝150 时，y＝0.6×150＝90，
故小玲家 3 月份应缴纳电费 90 元.
当 x＝220 时，y＝0.9×220－60＝138，
故小玲家 4 月份应缴纳电费 138 元.
购买种子 质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 …
【练一练】1. “黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/千克，如果一次购买 2 千克以上的种子，超过 2 千克部分的种子的价格打 8 折.
（1）填写下表：
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
(2) 写出付款金额关于购买量的函数表达式，并画出函数图象.
分析：从题目可知，种子总价与 有关.
若购买种子量为 x＞2 时，种子总价 y 满足
.
若购买种子量为 0≤x≤2 时，种子总价 y 满足 ；
购买种子量
y = 5x
y = 0.8×5(x - 2) + 10 = 4x + 2
解：设购买量为 x 千克，付款金额为 y 元.
当 x＞2 时，
y = 0.8×5(x - 2) + 10 = 4x + 2.
当 0≤x≤2 时，y = 5x；
y = 5x (0≤x≤2)
y = 4x+2(x>2)
∴ y =
5x (0≤x≤2)，
4x + 2 (x＞2).
其函数图象如右.
(3) 写出付款金额关于购买量的函数表达式，并画出函数图象.
这种函数叫作分段函数.
注意：1. 它是一个函数；
2. 要写明各段的自变量取值范围.
y
x
O
1
2
10
3
14
思考：你能由上面的函数表达式或函数图象解决以下问题吗？　
（1）一次购买 1.5 千克种子，需付款多少元？
（2）30 元最多能购买多少种子？
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用.
归纳总结
2. 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过 8 立方米，每立方米收取 1 元外加 0.3 元的污水处理费；超过 8 立方米时，超过部分每立方米收取 1.5 元外加 1.2 元污水处理费，现设一户每月用水 x 立方米，应缴水费 y 元.
(1) 求出 y 关于 x 的函数关系式；
解：y 关于 x 的函数关系式为
(1 + 0.3) x = 1.3x (0≤x≤8)，
(1.5 + 1.2)(x - 8) + 1.3×8 = 2.7x - 11.2 (x＞8).
y =
(3) 当 x = 5 m3 时，
y = 1.3×5 = 6.5 (元)；
当 x = 10 m3 时，y = 2.7×10 - 11.2 = 15.8 (元).
即当用水量为 5 m3 时，该户应缴水费 6.5 元；当用水量为 10 m3 时，该户应缴水费 15.8 元.
(2) 函数图象如图所示.
(2) 画出上述函数图象；
(3) 该市某户某月若用水 x = 5 立方米和 x = 10 立方米时，求应缴水费；
30
20
10
8
16
O
.
.
(8，10.4)
(16，32)
y/元
x/m3
解：y = 26.6 > 1.3×8，可知该户这月用水超过 8 m3，
因此，2.7x - 11.2 = 26.6，
解方程，得 x = 14.
即该户本月用水量为 14 m3.
【方法总结】要能根据函数图象的形状和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论；看函数的图象时首先要理解横、纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．
（4）该市某户某月缴水费 26.6 元，求该户这月用水量.
例2 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游. 当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100 元. 经协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000 元后，给予每位游客六折优惠. 问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？
分析：假设该单位参加旅游人数为 x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用 80x (元)；按乙旅行社的优惠条件，应付费用(60x + 1000)(元)．问题变为比较 80x 与 60x + 1000 的大小了.
建立数学模型解决实际问题
3
解法一：设该单位参加旅游人数为 x. 那么选甲旅行社，应付费用 80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元).
记 y1= 80x，y2= 60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象， y1 与 y2 的图象交于点(50，4000).
x/人
50
60
y/元
800
1600
3200
2400
4000
4800
5600
O
10
20
30
40
70
80
90
y1= 80x
y2= 60x+1000
观察图象，可知：
当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
当人数为少于 50 时，选择甲旅行社费用较少；
当人数为 50 以上时，选择乙旅行社费用较少.
x/人
50
60
y/元
800
1600
3200
2400
4000
4800
5600
O
10
20
30
40
70
80
90
y1 = 80x
y2= 60x+1000
甲
乙
解法二：设选择甲、乙旅行社费用之差为 y，
则 y = y1 - y2 = 80x - (60x + 1000) = 20x - 1000.
　　画出一次函数 y = 20x - 1000 的图象如下图.
O
20
40
60
-200
-400
-600
-800
-1000
y
x
y= 20x-1000
它与 x 轴交点为 (50，0)，由图知：
(1) 当 x＝50 时，y＝0，即 y1＝y2；
(2) 当 x＞50 时，y＞0，即 y1＞y2；
(3) 当 x＜50 时，y＜0，即 y1＜y2.
解法三：
（1）当 y1 = y2，即 80x = 60x + 1000 时，x = 50.
∴ 当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
（2）当 y1＞y2，即 80x＞60x+1000 时，解得 x＞50.
∴ 当人数为 50 以上时 ，选择乙旅行社费用较少；
（3）当 y1＜y2，即 80x＜60x+1000 时，解得 x＜50.
∴ 当人数少于 50 时，选择甲旅行社费用较少.
【练一练】3.某县大力发展猕猴桃产业，预计今年
A 地将采摘 200 t，B 地将采摘 300 t．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存 240 t，乙仓库可储存 260 t，从 A 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 A 地运往甲仓库的猕猴桃为 x t，A、B 两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为 yA 元和 yB 元.
(1) 分别求出 yA、yB 与 x 之间的函数关系式；
解： yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680.
(2) 试讨论这次 A、B 两地的运输中，哪个的运费较少；
解：∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，
∴当－8x＋320＞0，即 x＜40 时，B 地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即 x＝40 时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即 x＞40 时，A 地的运费较少.
(3) 考虑 B 地的经济承受能力，B 地的猕猴桃运费
不得超过 4830 元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
(3) 设两地运费之和为 y 元，则 y＝yA＋yB
＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.
由题意得 yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50.
∵ y 随 x 的增大而减小，x 最大为 50，
∴ y最小＝－2×50＋9680＝9580.
∴在此情况下，当 A 地运往甲、乙两仓库分别为 50 t、150 t；B 地运往甲、乙两仓库分别为 190 t、110 t时，才能使两地运费之和最少，最少是 9580 元．
方法总结：阅读理解题的解题关键是读懂题意．
第(2)小题比较大小要注意分类讨论，第(3)小题是利用一次函数的方案设计问题，一般先根据数量之间的关系建立函数模型，然后再利用一次函数的增减性确定出符合要求的最佳方案．
一次函数的应用
建立一次函数模型解决实际问题
对分段函数图象的理解及运用
1. 一个试验室在 0:00-2:00 保持 20℃ 的恒温，在 2:00-4:00
匀速升温，每小时升高 5℃. 写出试验室的温度 T (单位：℃)关于时间 t (单位：h)的函数表达式，并画出函数图象.
解：(1) 由题意得
当 0≤t≤2 时，T = 20；
当 2∴函数表达式为
T =
20 (0≤t≤2)，
5t + 10 (2T = 20 (0≤t≤2)
T=5t+10(220
10
40
T/℃
t/h
O
1
2
30
4
3
(2)函数图象如右图.
2. 近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多. 为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量 x（度）与应付电费 y（元）的关系如图所示.
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元)
x(度)
75
(1) 请你根据图象所描述的信息，分别求出当 0≤x≤50 和 x＞50 时，y 与 x 的函数表达式；
解：当 0≤x≤50 时，由图象可设 y = k1x，
∵其经过(50，25)，代入得 25 = 50k1，
∴k1 = 0.5，∴y = 0.5x ；
当 x＞50 时，由图象可设 y = k2x+b，
∵其经过(50，25)、(100，70)，
得 k2 = 0.9，b = -20，∴ y = 0.9x - 20.
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元)
x(度)
75
(2) 根据你的分析：当每月用电量不超过 50 度时，收费标准是多少？当每月用电量超过 50 度时，收费标准是多少？
解：不超过 50 度部分按 0.5 元/度计算，超过部分按 0.9 元/度计算.
（1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？
3.“五一”黄金周的某一 天，小明全家上午 8 时自驾小汽车从家里出发，到距离 180 千米的某著名旅游景点游玩.该小汽车离家的距离 s (千米)与时间 t (时)的关系可以用图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息，解答下列问题：
解：由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了 4 小时.
5
10
15
120
180
s（千米）
t（时）
O
A
B
C
D
8
14
（2）求出返程途中，s (千米) 与时间 t (时)的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间.
解：设 s = kx + b，由图象过(14，180)、(15，120)，
∴ s = -60t + 1020.
令 s = 0，得 t = 17.
∴返程途中 s 与时间 t 的函数关系是
s = -60t + 1020 (14≤x≤17)，
小明全家当天 17:00 到家.
5
10
15
120
180
s(千米)
t(时)
O
A
B
C
D
8
14

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