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3.2 一次函数
第3章 一次函数
1. 什么是函数？
如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数.
2. 函数有哪些表示方式？
图象法、列表法、公式法
一次函数与正比例函数
在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子
1
(1) 一列“复兴号”高铁 (如下图) 自上海站出发，运行 40 km 到达 A 地后，便以 350 km/h的速度匀速行驶.如果从离开 A 地后开始计时，请用表达式表示该列车离开 A 地的距离 y ( km ) 与时间 x ( h ) 之间的函数关系.
思考
分析：时间 x ( h ) 是自变量，距离 y (km) 是 x 的函数，它们之间的数量关系为
距离＝速度×时间，
即 y＝350x. ①
(2) 下图是弹簧秤称重示意图. 某弹簧秤能称不超过 10 kg 的物体，弹簧的原长为 10 cm，每挂 1 kg 物体，弹簧伸长 0.5 cm. 挂上重物后弹簧的长度为 y (cm)，所挂物体的质量为 x (kg). 请用表达式表示该弹簧秤的弹簧长度 y 与所挂物体质量 x (不超过能称重的范围) 之间的函数关系.
分析：所挂物体的质量为 x (kg) 是自变量，弹簧的长度 y (cm) 是 x 的函数，它们之间的数量关系为 弹簧长度＝原长＋弹簧伸长量，
即 y＝10＋0.5x. ②
形如 y = kx + b ( k，b 为常数，k≠0)的函数称为一次函数.
特别地， 当 b = 0 时，一次函数 y = kx ( k 为常数， k≠0) 也叫作正比例函数， 其中 k 叫作比例系数.
函数①②有什么共同的特征？
y＝350x ①
y＝10＋0.5x ②
它们的右边都是关于自变量 x 的一次式；
议一议
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx；
(6) y＝8x2＋x(1－8x).
解：(1) 是一次函数，不是正比例函数；
(2) 不是一次函数，也不是正比例函数；
(3) 是一次函数，也是正比例函数；
(4) 是一次函数，也是正比例函数；
(5) 不是一次函数，也不是正比例函数；
(6) 是一次函数，也是正比例函数．
议一议
1.判定一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判定一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
方法总结
想一想：问题 (2) 中，每挂上 1 kg 物体，弹簧伸长0.5 cm. 其因变量是如何随着自变量而变化的呢？
自变量x 0 1 2 3 4 ··· 9 10
因变量y 10 10.5 11 11.5 12 ··· 14.5 15
+1
+0.5
+1
+1
+1
+1
+0.5
+0.5
+0.5
+0.5
仿照上图，将问题(1)中的自变量与因变量的变化过程表示出来，
做一做
自变量x 0 1 2 3 4 ···
因变量y 0 350 700 1050 1400 ···
+1
+350
+1
+1
+1
+350
+350
+350
可以看出，一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的(即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或都减少)相同的数量).
归纳总结
一次函数 y = kx + b ( k，b 为常数，k≠0) 的自变量取值范围是全体实数.但是在实际问题中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围.
例如，在问题 (1) 中，自变量的取值范围是 x≥0
(假设不限制匀速运行时间)；
在问题 (2) 中，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤10.
例 科学研究发现，一般情况下，海拔每升高 1 km，气温下降约 6 ℃. 某时刻，若甲地地面气温为 20 ℃，设高出地面 x km 处的气温为 y ℃.
(1) 求 y 随 x 变化而变化的函数表达式.
解：(1) 由于高出地面 x km处的气温随离地面的高度而变化，因此 y 是 x 的函数，它们之间的数量关系为
即 y＝20－6x.
甲地高出地面 x km处的气温＝地面气温－下降的气温，
例 科学研究发现，一般情况下，海拔每升高 1 km，气温下降约 6 ℃. 某时刻，若甲地地面气温为 20 ℃，设高出地面 x km 处的气温为 y ℃.
(2) 若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为 －34 ℃，求飞机离地面的高度.
(2)当 y＝－34 时，即 20－6x＝－34，
解得 x＝9.
答：此时飞机离地面的高度为 9 km.
【练一练】 1. 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km) 与行驶时间 x (h)之间的关系；
解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x，
y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得 y = πx2，
y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数.
(2) 圆的面积 y (cm2 ) 与它的半径 x (cm) 之间的关系.
解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水，
因而 y = 15 + 5x.
y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数.
(3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3.
2. 已知函数
(1) 若它是一次函数，求 m 的值；
解：∵ 是一次函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0.
∴ m＝±5 且 m≠5.
∴ m＝－5.
∴ 当 m＝－5 时，函数
是一次函数．
解：∵ 是正比例函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0.
∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1.
这样的 m 不存在，
∴ 不可能是正比例函数.
【方法总结】若 y = kxn + b 是一次函数，则 k ≠ 0，且 n = 1；当 k ≠ 0，且 b＝0 时，该函数为正比例函数．
2. 已知函数
(2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值．
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定
1. 判断正误：
(1) y = 2.2x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. （ ）
(2) y = 80x + 100 ，y 是 x 的一次函数. （ ）
√
√
2. 在函数 y = (m - 2)x + (m2 - 4) 中，当 m 时，y 是 x 的一次函数；当 m 时，y 是 x 的正比例函数.
≠2
= -2
3. 已知函数 y = (m - 1)x|m|+1 是一次函数，求 m 的值.
4. 若函数 y = (m + 3)x + m2 - 9 是正比例函数，求 m 的值.
解：根据题意，得∣m∣=1，
解得 m = ±1.
又∵ m - 1≠0，即 m≠1，
∴ m = -1.
解：根据题意，得 m2 - 9 = 0，
解得 m = ±3.
又∵ m + 3≠0，即 m≠-3，
∴ m = 3.
5. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费 1 元，另一种是会员卡收费，卡费每月 12 元，租书每本 0.4 元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x 本.
(1) 写出零星租书方式应付金额 y1 (元) 与租书数量 x (本) 之间的函数关系式；
(2) 写出会员卡租书方式应付金额 y2 (元) 与租书数量 x (本)之间的函数关系式；
(3) 小彬选择哪种租书方式更合算？为什么
y1 = x.
y2 = 0.4x + 12.
由 x = 0.4x + 12 知，当 x＜20 时，零星租书方式合算；当 x = 20 时，两种租书方式一样；当 x＞20 时，会员卡租书方式合算.
6. 为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过 5 t 的部分，自来水公司按每吨 2 元收费；超过 5 t 的部分，按每吨 2.6 元收费.设某用户月用水量 x t，自来水公司应收的水费为 y 元.
(1) 试写出 y (元) 与 x (t) 之间的函数关系式.
(2) 该户今年 5 月份的用水量为 8 t，自来水公司应收水费多少元？
解：当 x≤5 时，y＝2x；
当 x＞5 时，y＝10＋(x－5)×2.6＝2.6x－3.
解：∵ x＝8＞5，∴ y＝2.6×8－3＝17.8 (元).
7.如图，△ABC 是边长为 x 的等边三角形.
(1) 求 BC 边上的高 h 与 x 之间的函数表达式. h 是 x 的一次函数吗？如果是，请指出相应的 k 与 b 的值.
解：∵ BC 边上的高 AD 也是 BC 边上的中线，
∴ 由勾股定理，得
即
∴ h 是 x 的一次函数，且
（2）当 h = 时，求 x 的值.
（3）求△ABC 的面积 S 与 x 的函数表达式. S 是 x 的一次函数吗？
解:
（2）当 h = 时，有 .
解得 x = 2.
（3）∵
即 ∴ S 不是 x 的一次函数.

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