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3.1 函数的概念和表示法
第3章 一次函数
3.1.1 变量与函数
万物皆变
行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化.
气温随海拔的变化而变化.
汽车匀速行驶，行驶路程随行驶时间的变化而变化.
世界处在不停地运动变化中，如何研究这些运动变化规律呢 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化。
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变量与函数
思考：(1) 下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，当天的气温 T 随时间 t 的变化而变化吗？
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T/ ℃
t / 时
(1) 由图可知，当天的气温 T 随着时间的变化而变化.
(2) 研究者研究声音在空气中传播的速度 (简称声速) 与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温 x 与声速 y 对应的数值：
由上表可以发现，声速随气温的变化而变化吗？
x /℃ -10 -5 0 5 10 15 20
y/(m/s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36
(2) 由上表可知，声速 y 随气温 x 的变化而变化.
(3) 某型无人机 120 km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程 y (km) 与飞行时间 x ( h )之间的关系式为 у＝120x，该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？
(3) 由 у＝120x 可知，飞行的路程 y 随飞行时间 x 的变化而变化.
(4) 上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
(4) 问题 (1) 中时间 t、气温 T，问题 (2) 中气温 x 、声速 y，问题 (3) 中飞行时间 t 、飞行的路程 y 等都是会发生变化的量，问题 (3) 中无人机匀速飞行的速度是固定不变的量.
注意：
判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中，这个量是否可以取不同的数值；
知识要点
在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，
取值固定不变的量称为常量(或常数).
由上可知，可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系.
议一议
如图，△ABC 底边 BC (设 BC = а) 上的高是 h. 当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积 S 会发生变化吗？
若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？
哪些是变量？
B
C
A
C
C
C
在上述变化过程中，高 h 是常量，
底边长 a 和面积 S 都是变量，
并且面积随底边长的变化而变化.
例1 指出下列事件过程中的常量与变量.
(1) 某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千克橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ；
(2) 圆的周长 C 与半径 r 之间的关系式是 C ＝ 2πr，其中常量是 ，变量是 ；
(3) 三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 .
5
a，m
2，π
C， r
注意：π 是一个确定的数，是常量
S，h
典例精析
【练一练】指出下列变化过程中的变量和常量：
　 （1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元；
（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说用了 t 天，平均每天所看的页数为 n；
（3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2．
（4）若直角三角形中的一个锐角的度数为 α，则另一个锐角 β (度)与 α 间的关系式是 β = 90°－α.
观察本节开篇思考中问题 (1) (2) 的图和表格：
(1) 以上每个变化过程中都有几个变量？
(2) 变量间是怎样在变化的？
由问题 (1) 的图可知，对于时间 t 的每一个取值，气温 T 都有唯一的一个值与它对应；
由问题(2)中的表格可知，对于实验中气温 x 的每一个取值，声速 y 都有唯一的一个值与它对应.
一般地，如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 取的每一个取值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作 y = f (x).
其中， x 叫作自变量，把 y 叫作因变量.
对于自变量 x 取的每一个取值 a，因变量 y 的对应值称为函数值，记作 f (a).
知识要点
1.在问题 (1) 中，________是________的函数，其中_____是自变量，_____是因变量．
2.在问题 (2) 中，________是________的函数，其中_____是自变量，_____是因变量．
3.在问题 (3) 中，__________是___________的函数，其中_____是自变量，_____是因变量．
t
气温T
时间t
声速y
x
y
x
在考虑两个变量间的函数时，还要注意自变量的取值范围. 如问题 (1) 中的函数，自变量 t 的取值范围是0≤t≤24.
填一填
T
气温x
y
飞行路程y
飞行时间x
说一说
下列各组给出了两个变量 x 和 y，判断 y 是不是 x 的函数.
(1) y：正方形的周长；x：这个正方形的边长.
(2) y：矩形的面积；x：这个矩形的宽.
(3) y：一个正数的平方根；x：这个正数.
(4) y：一个正数的算术平方根；x：这个正数，
(1)(4) 中，y 是 x 的函数；
(2)(3) 中，y 不是 x 的函数.
例2 下列关于变量 x ，y 的关系式： y = 2x + 3； y = x2 + 3； y = 2|x|；④ ；⑤y2 - 3x = 10，其中表示 y 是 x 的函数关系的是 ．

方法：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
一个 x 值有两个 y 值与它相对应
典例精析
变量与函数
常量与变量：在一个变化的过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量.
函数：一般地，如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作：y = f (x).
1. 设路程为 s，时间为 t，速度为 v，当 v = 60 时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量，
是变量， 是 的函数.
60
s = 60t
t 和 s
s
t
2.油箱中有油 30 kg，油从管道中匀速流出，1 h 流完，则油箱中剩余油量 Q（kg）与流出时间 t（min）之间的函数关系式是 .
Q = 30 - 0.5t
3. 写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数.
(1) 运动员在 200 米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间 t (秒)与跑步的速度 v (米/秒) 的关系式；
(2) n(n＞3) 边形的对角线条数 s 与边数 n 之间的关系式.
解：(1) ，其中 200 是常量，v、t 是变量，v 是自变量，t 是 v 的函数.
(2) ，其中 ，-3 是常量，s、n 是变量，n 是自变量，s 是 n 的函数.
4.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
　（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
（2）某村的耕地面积是 106 m2，这个村人均占有耕地
面积 y （单位：m2）随该村人数 n 的变化而变化；
（3）P 是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，
它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是 x 的函数，其中 x 是自变量.
（2）y 是 n 的函数，其中 n 是自变量.
（3）y 不是 x 的函数.
例如，到原点的距离为 1 的点对应实数 1 或 -1.

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