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第3章 一次函数
3.1.2 函数的表示法
3.1 函数的概念和表示法
下列各式中的变量 y 是不是 x 的函数？
是
（1） y = 2x
（2） y + 2x = 3
是
（3） y =
不是
（6）
是
（7）
（4） y = x2
（5） y2 = x
（8） y = ±x + 5
是
是
不是
不是
(x≥0)
1
函数的三种表示方法
说一说
上一小节“思考”中的问题 (1) (2) (3) 分别是怎样表示因变量与自变量之间的函数关系的？
问题 (1) 用平面直角坐标系中的一个图形来表示；问题 (2) 用一张表来表示
问题 (3) 用一个式子 у＝120x 来表示.
像上一小节问题 (1) 那样，建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值(即因变量的对应值) 为纵坐标，描出每一个点，由这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法.
函数 y = f (x) 的图象上任一点的坐标是 (a，f (a) ) 其中 a 在自变量的取值范围内.
反之，坐标为 (a，f (a) )的点都在函数 y = f (x) 的图象上.
知识要点
像上一小节问题 (2) 那样，列一张表格，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表东函数关系的方法称为列表法.
知识要点
像上一小节问题 (3) 那样，用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样的式子称为函数表达式(或函数解析式).
у＝120x
由此可以看到，用图象法、列表法、公式法均可以表示两个变量之间的函数关系.
知识要点
列表法
公式法
图象法
定义
实例
优点
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法
问题2
可以很清楚地看出自变量取值与因变量的对应值
用数学式子表示函数关系的方法
问题3
可以方便地计算函数值
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法
问题1
可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化
函数三种表示方法的区别
知识要点
思考
用边长为 1 的等边三角形拼成如图所示的图形，用 y 表示拼成的图形的周长，用 n 表示其中等边三角形的数目，显然拼成的图形的周长 y 是 n 的函数.
(1) 填写下表：
(2) 试用公式法表示这个函数关系.
(3) 试用图象法表示这个函数关系.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 ···
y ···
(1) 填写下表：
(2) 试用公式法表示这个函数关系.
(1) 当只有 1 个等边三角形时，图形的周长为 3，每增加 1 个三角形，周长就增加 1，因此可得下表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 ···
y 3 4 5 6 7 8 9 10 ···
(2) 由(1)可知，周长 y 是三角形个数 n 的函数，其中 n 是自变量，y 是因变量，且 y 与 n 之间的函数表达式是 y = n + 2( n为正整数).
(3) 因为自变量 n 为正整数，于是根据表达式 y = n + 2，可以在平面直角坐标系中可以描出无数个点，这些点组成了函数 y = n + 2 的图象，如图所示.
(3) 试用图象法表示这个函数关系.
　1. 如图，要做一个面积为 12 m2 的小花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
（1）变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；
（2）写出这个问题中的函数表达式.
x
解：（1）y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是 x＞0.
　（2）y = 2(x + ).　
练一练
（3）当 x 的值分别为 1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量之间的对应关系；
（4）能画出函数的图象吗？
x/m 1 2 3 4 5 6
y/m 26 16 14 14 14.8 16
40
35
30
25
20
15
10
5
5
10
O
x
y
（3）
（4）
如右图所示.
例2 某天7时，小楠从家骑自行车上学，途中到一家早餐店吃早餐花了一段时间，然后继续骑行，按时到达学校，下图反映了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题：
(1) 小楠停车进早餐店是在什么时间？此时离家有多远？
解：(1) 从横坐标看出，小楠停车进早餐店的时间是 7 : 05； 从纵坐标看出，此时离家
1 000 m.
典例精析
从横坐标看出，小楠吃早餐花了 15 min；小楠吃完早餐后又花了10 min到达学校.
(2) 小楠吃早餐花了多长时间？吃完早餐后又花了多长时间到达学校？
(3) 从纵坐标看出，小楠家离学校 2 100 m；
从横坐标看出， 他在路上共花了 30 min，
因此， 他从家到学校的平均速度是
2100÷30 = 70 (m / min).
(3) 小楠从家到学校的平均速度是多少？
【练一练】2. 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．
看图回答下列问题：
O
解：由图象可知：（1）小强出发 0 分钟时，爷爷已经爬山 60 米，因此小强让爷爷先上 60 米.
解：两人各爬了 300 米，小强先爬上山.
（1）小强让爷爷先上多少米？
（2）两人各爬了多少米？谁先到终点？
O
（3）小强用了多长时间追上爷爷？
O
解：因为小强和爷爷路程相等时是 8 分钟，所以小强用了 8 分钟追上爷爷.
（4）谁的速度快？快多少？
O
小强爬山 300 米用了 10 分钟，速度为 30 米/分；
爷爷爬山（300 - 60）米 = 240 米，用了 10.5 分钟，
速度为 米/分．
因此小强的速度快，
快 米/分.
例3 已知等腰三角形的周长为 10，底边长为 y，腰长为 x.
(1)求 y 关于 x 的函数表达式，以及自变量 x 的取值范围；
(2) 当腰长为 4 时，求底边长.
解 (1) 由已知得 y＋2x＝10，则 y＝10－2x.
由于 x，y 为该等腰三角形的边长，
所以 x＞0，y＞0，2x＞y.
于是 10－2x＞0 且 2x＞10－2x.
解上述两个不等式组成的不等式组，可得 2.5＜x＜5.
(2) 当腰长 x＝4 时，
底边长 y＝10－2×4＝2.
【练一练】3. 一个游泳池内有水 300 m3，现打开排水管以每小时 25 m3 的排出量排水.
（1）写出游泳池内剩余水量 Q m3 与排水时间 t h间的函数表达式；
（2）写出自变量 t 的取值范围.
Q = -25t + 300.
池中共有 300 m3 水，每小时排水 25 m3，故全部排完只需 300÷25 = 12 (h)，故自变量 t 的取值范围是 0≤t≤12.
（3）开始排水后的第 5 h 末，游泳池中还有多少水？
（4）当游泳池中还剩 150 m3 水时，已经排水多长时
间？
将 t = 5 代入上式，得 Q = -5×25+300 = 175，
即第 5 h 末池中还有水 175 m3.
当 Q = 150 m3 时，由 150 = -25t +300，得 t = 6，
即还剩 150 m3 水时，已经排水 6 h.
函数的表示方法
公式法：反映了函数与自变量之间的等量关系
列表法：反映了函数与自变量的数值对应关系
图象法：反映了函数随自变量的变化而变化的趋势
1. 小明所在学校与家距离为 2 千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了 5 分钟后，因故停留 10 分钟，继续骑了 5 分钟到家. 如图，能大致描述他回家过程中离家的距离 s (千米) 与所用时间 t (分) 之间的关系图象的是( )
D
s
s
s
2. 某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，共用 2 小时. 已知摩托车行驶的路程 s（千米）与行驶的时间 t（小时）的关系如下图所示. 假设这辆摩托车每行驶 100 千米的耗油量为 2 升，根据图中提供的信息，这辆摩托车从甲地到乙地共耗油_______升，请你用语言简单描述这辆摩托车行驶的过程.
0.9
解：先以 30 千米/时的速度行驶 1 小时，然后休息半小时，再以同样的速度行驶半小时到达乙地.
3. 用列表法与公式法表示 n 边形的内角和 m (单位：度)与边数 n 的函数关系.
解：∵ n 表示的是多边形的边数，
∴ n 是大于等于 3 的自然数．列表如下：
n 3 4 5 6 …
m(度) …
∴ m = (n - 2)·180°（n≥3，且 n 为自然数）．
180
360
540
720
4. 一条小船沿直线向码头匀速前进. 在时间 t = 0 min ，2 min，4 min，6 min 时，测得小船与码头的距离 s 分别为 200 m，150 m，100 m，50 m.
（1）小船与码头的距离 s 是时间 t 的函数吗？
（2）如果是，写出函数的表达式，并画出函数图象.
函数表达式为： .
列表：
t/min 0 2 4 6 …
s/m 200 150 100 50 …
是
s = 200 - 25t
小船速度为 (200 - 150) ÷ 2 = 25 m/min，
s = 200 - 25t
t/min
s/m
O
1
2
3
4
5
6
7
50
100
150
200
画图：

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