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第4章 数据的分析
4.2 方 差
2022年某校篮球联赛开始了
刘教练
选 我
选 我
教练的烦恼
？
刘教练到我班选拔一名篮球队员，刘教练对李同学和陈同学两名学生进行 5 次投篮测试，每人每次投 10 个球，下图记录的是这两名同学 5 次投篮中所投中的个数.
队 员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
李同学 7 8 8 8 9
陈同学 10 6 10 6 8
（1）请求出以上两组数据的平均数、中位数、众数；
（3）若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？
（2）用复式折线统计图表示上述数据；
1
方差的意义
【思考】刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下：刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
(1) 两人的平均成绩分别是多少？
(1) 刘亮成绩的平均数是
李飞成绩的平均数是
即两人的平均成绩相同.
(2) 如何反映这两组数据与其平均数的偏离程度？
(2) 为了直观地看出这两组数据与其平构数的偏离程度，可以用图来表示数据的分布情况.
由上面两幅图可以发现，刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近，而李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大.
一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小.
如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？
探究
归纳总结
分析：设一组数据为 x1，x2，···，xn ，则这组数据的各个数据与平均数的偏差之和
为(x1－ )＋(x2－ )＋ ··· ＋(x2－ )＝0. 这时由于出现了正负偏差抵消的情况，因而无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度.
为解决这一问题，可以用各个数据与 的差的绝对值之和，或者利用各个数据与 的差的平方和来刻画这组数据的离散程度.
例如，有两组数据：
(1) 4，5，6，7，8； (2) 3，6，6，6，9.
| 4 - 6 | + | 5 - 6 | + | 6 - 6 | + | 7 - 6 | + | 8 - 6 | = 6，
(4 - 6) + (5 - 6) + (6 - 6) + (7 - 6) + (8 - 6) = 10.
对于 (1) ，这组数据的平均数 为 6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与 的差的平方和分别为
| 3 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 9 - 6 | = 6，
(3 - 6) + (6 - 6) + (6 - 6) + (6 - 6) + (9 - 6) = 18.
例如，有两组数据：(1) 4，5，6，7，8；
(2) 3，6，6，6，9.
对于(2)，这组数据的平均数 为 6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与元的差的平方和分别为
由此受到启发，我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度.
1. 离差平方和的概念：
设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2.
即
知识要点
离差平方和 S2 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度.
①
2. 方差的概念
为了刻画一组数据与其平均数 的平均离散程度，引入下述概念：
由①式和②式得，
设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 S2.
即
②
2. 方差的意义
方差可用来衡量一组数据的离散程度或波动大小(即这组数据偏离平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大，越不稳定；
方差越小，数据的波动越小，也就越稳定．
知识要点
例1 分别计算本节“思考”栏目中，刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定.
解 由前面的计算可知，刘亮和李飞的射击平均成绩均为8环，从而刘亮的射击成绩的离差平方和是
= (7 - 8) + (8 - 8) + (8 - 8) + (9 - 8) + (7 - 8) +
(8 - 8) + (8 - 8) + (9 - 8) + (7 - 8) + (9 - 8)
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
= 6，
于是 =
李飞的射击成绩的离差平方和是
= (6 - 8) + (8 - 8) + (7 - 8) + (7 - 8) + (8 - 8) + (9 - 8) + (10 - 8) + (7 - 8) + (9 - 8) + (9 - 8)
= 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1
= 14，
于是 =
计算结果表明， ，因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定.
＜
例2 有两个女生小合唱队，各由 5 名队员组成，她们的身高（单位：cm）为：
甲队：160，162，159，160，159；
乙队：169，165，157，150，164.
试判断哪队队员身高比较整齐，
甲队队员身高的离差平方和是
= (160 - 160) + (162 - 160) + (159 - 160)
+ (160 - 160) +(159 - 160) = 6.
解 甲队队员的平均身高是
甲
= ( 160 + 162 + 159 + 160 + 159) = 160 (cm).
于是方差
乙队队员的平均身高是
乙队队员身高的离差平方和是
= (160 - 160) + (162 - 160) + (159 - 160)
+ (160 - 160) + (159 - 160) = 226.
乙
= (169 + 165 + 157 + 150 + 164) = 161 (cm).
于是方差
计算结果表明， ，因此，甲队队员的身高比较整齐.
＜
知识要点
在计算一组数据 x1，x2，…，xn，的离差平方和 S2 时，除了可利用①式外，还可以利用下述公式：
又方差
答案：(1)平均数：6，方差：0；(2)平均数：6；方差：；
(3)平均数：6，方差： ；(4)平均数：6，方差： .
（1）6 6 6 6 6 6 6； （2）5 5 6 6 6 7 7；
（3）3 3 4 6 8 9 9； （4）3 3 3 6 9 9 9.
【练一练】1. 用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的.
2. 如图是甲、乙两射击运动员的 10 次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这 10 次射击成绩的方差哪个大？
【答】乙的射击成绩波动大，所以乙的方差大.
方差的简单应用
1
2
九班和三班
表演啦啦操
2
问题 在这次篮球联赛中，最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军，赛前两个班的拉拉队都表演了啦啦操，参加表演的女同学的身高 (单位:cm) 分别是：
九班 163 163 165 165 165 166 166 167
三班 163 164 164 164 165 166 167 167
哪个班拉拉队女同学的身高更整齐
（1）你是如何理解“整齐”的？
（2）从数据上看，你是如何判断哪个队更整齐的？
方法一：
方法二：
解：取 a = 165，将所有数据都减去 165，得
九班新数据为： -2，-2， 0， 0，0，1，1，2；
直接求原数据的方差.
（请一位同学在黑板上板书，其他同学在本上作答）
三班新数据为： -2，-1，-1，-1，0，1，2，2.
求两组新数据的方差：
方法拓展
取一个适当的基准数 a
将原数据都减去 a，得到一组新数据
求新数据的方差
1
2
3
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：① 甲、乙两班学生成绩平均水平相同；② 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150 个为优秀)；③ 甲班成绩的波动比乙班大. 上述结论正确的有 .
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
①②③
做一做
① 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3 的
平均数为 ，方差为 ；
② 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 的
平均数为 ，方差为 .
若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 ，方差为 s2，则
x
+ 3
x
- 3
x
s2
s2
知识拓展
③ 数据 x1±b，x2±b，…，xn±b 的平均数为 ， 方差为 ；
④ 数据 3x1，3x2，3x3，…，3xn 的平均数为 ，方差为 ；
9s2
3x
±b
x
s2
⑤ 数据 ax1，ax2，…，axn 的平均数为 ，方差为 ；
ax
a2s2
⑥ 数据 2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3 的平均数为
，方差为 .
-3
2x
4s2
1. 样本方差的作用是（ ）
A. 表示总体的平均水平
B. 表示样本的平均水平
C. 准确表示总体的波动大小
D. 表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
D
2. 人数相同的八年级（1）（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
， ， ，
则成绩较为稳定的班级是（ ）
A. 甲班 B. 乙班
C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定
B
3. 小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示，则他这五次成绩的方差为 .
100
4. 在样本方差的计算公式
中，数字 10 表示___________，数字 20 表示_______.
样本容量
平均数
5. 五个数 1，3，a，5，8 的平均数是 4，则 a =_____，这五个数的方差是_____.
3
5.6
6. 为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行 10 次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
（1）填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85 分以上的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90
0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为 84 分，乙成绩的众数是 90 分，乙的成绩比甲好；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是 84 分，两人成绩一样好；
从方差看，s2甲 = 14.4， s2乙 = 34，甲的成绩比乙相对稳定；
从频率看，乙得 85 分以上的次数比甲多，乙的成绩比甲好.
方差
方差的统计学意义(判断数据的波动大小)：
方差越大（小），数据的波动越大（小）
公式：

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