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第4章 数据的分析
4.3 数据分类
设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2.
即
2. 方差的概念
各个数据与平均数　 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 s2.
即
1. 离差平方和的概念：
某田径队10名运动员跳远的最好成绩如下：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
成绩/m 5.85 6.13 6.11 6.01 5.91 6.19 5.81 5.84 6.22 5.98
教练组拟根据这组数据将队员分为两组进行分层训练，应当如何划分呢？
一种划分的方法是，使得每一组的数据比较稳定，即每一组数据的组内差异小，组间差异大.
1
数据分类
一般地，设一组数据为 x1，x2，…，xn，它的平均数为 ，离差平方和为 S2. 如果把这组数据分为两组，前 m 个数据为第一组，后 (n－m) 个数据为第二组，第一组的平均数记作 ，第二组的平均数记作 ， 令
知识要点
其中 为组内离差平方和，反映承两个组内数据的离散程度，
为组间离差平方和，反映了两组数据之间的差异程度.
数学上已经证明
＝＋.
x1，x2，…，xm，xm+1，xm+2，…，xn
m个
(n－m)个
平均数
平均数
将上述 10 名运动员跳远的最好成绩的数据从小到大排列，得 5.81，5.84，5.85，5.91，5.98，6.01，6.11，6.13，6.19，6.22.
于是可以尝试把前 5 个数据作为第一组，后5个数据作为第二组，且将第一组数据的平均数记作 ，第二组数据的平均数记作 ，将这10个数据的平均数记作 .
观察上述数据，前 5 个数据相差不多，后 5 个数据也相差不多.
5.81，5.84，5.85，5.91，5.98，
6.01，6.11，6.13，6.19，6.22.
= (5.81 + 5.84 + 5.85 + 5.91 + 5.98) = 5.878，
= ( 6.01 + 6.11 + 6.13 + 6.19 + 6.22) = 6.132，
= ( 5.81 + 5.84 + 5.85 + 5.91 + 5.98 + 6.01 + 6.11
+ 6.13 + 6.19 + 6.22)
= 6.005.
= (5.81 - 5.878) + (5.84 - 5.878) + (5.85 - 5.878)
+(5.91 - 5.878) + (5.98 - 5.878) +(6.01 - 6.132)
+(6.11 - 6.132) +(6. 13 - 6.132) +(6.19 - 6.132)
+(6.22 - 6.132)
= 0.04476.
组间离差平方和 为
因此组间离差平方和 为
= 5×(5.878 - 6.005) + 5×(6.132 - 6.005)
= 0.16129.
S2 = (5.81 - 6.005) + (5.84 - 6.005) +(5.85 - 6.005)
+(5.91 - 6.005) +(5.98 - 6.005) +(6.01 - 6.005)
+(6.11 - 6.005) +(6.13 - 6.005) +(6.19 - 6.005)
+(6.22 - 6.005)
= 0.206 05.
于是
又
在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一.虽然可以有多种方法对数据进行分组，但是，使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是 非常合理的.
思考：上述分组符合“组内离差平方和最小”的原则吗
按照组内离差平方和最小的原则，应保证跳远最好成绩相差不多的运动员在一个组.将从小到大排列后的 10 个数据依次分为两组，有下面 9 种情况：
对上面的分组，可以利用计算机设计算法、编写程序，然后依次计算组内 离差平方和(前面已经计算出第一组、第二组各5个数据的组内离差平方和), 得到下表(结果保留四位小数):
第一组 1 个数据，第二组 9 个数据；
第一组 2 个数据，第二组 8 个数据；
···；
第一组 9 个数据，第二组 1 个数据.
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 0.163 8
第一组2个，第二组8个 0.125 1
第一组3个，第二组7个 0.079 8
第一组4个，第二组6个 0.051 0
第一组5个，第二组5个 0.044 8
第一组6个，第二组4个 0.040 7
第一组7个，第二组3个 0.074 8
第一组8个，第二组2个 0.106 1
第一组9个，第二组1个 0.154 7
计算结果表明，将排序后的前 6 个数据分为一组，后 4 个数据分为另一组， 可以使组内离差平方和最小. 即应将编号为 ①④⑤⑦⑧⑩的运动员分为一组， 其他运动员为另一组进行分层训练.通过数据也可以看到，这样的分组是合理的.
【归纳总结】
数据分组的步骤：
①数据排序：从小到大排列原始数据；
②确定切割点：在排序后数据的间隔处分组
[n 个数据有 (n－1) 个间隔]；
③计算比较：对每个切割点计算组内离差平方和，选择组内离差平方和最小对应的分组.
例1 10 个城市某月的每日最高温度的平均数(简称平均高温)如表所示.
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组.
解：将表中的数据按从小到大排列，可得
-11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22
将它们分成两组共有 9 种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和(结果保留小数点后一位)，如表所示.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0. 5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
观察最后一列组内离差平方和可以发现，
当第 4 个间隔分组时，组内离差平方和最小，
因此，按组内离差平方和最小的分法为
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
数据的分组
组内离差平方和
组间离差平方和
分组原则
1. 已知一组数据：3， 10， 1， 20.
(1)将数据从小到大排序为： ；
(2)按“第一个间隔”分组(即切割点在数字
和 之间)，计算组内离差平方和为 ；
(3)按“第二个间隔”分组(即切割点在数字
和 之间)，计算组内离差平方和为 ；
1，3，10，20　
1　
3　
146　
3　
10　
52　
(5)按“第 个间隔”分组，组内离差平方和
最小.
三　
1. 已知一组数据：3， 10， 1， 20.
(4)按“第三个间隔”分组(即切割点在数字
和 之间)，计算组内离差平方和为 ；
10　
20　
2. 已知6名学生的成绩为 70， 75， 80， 85， 90，
95(单位：分).
将数据分为两组，使组内离差平方和最小化(即组内
成绩差异最小)，计算最小组内离差平方和(保留 1
位小数).
解：最小组内离差平方和为 100.0，对应切割点在
80 和 85 之间，数据分组为 {70，75，80} 和 {85，
90，95}.
解：最小组内离差平方和为 100.0，对应切割点在
80 和 85 之间，数据分组为 {70，75，80} 和 {85，
90，95}.

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