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第4章 数据的分析
4.4 四分位数与箱线图
一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数.
1. 什么是中位数
2.如何计算一组数据的中位数
将这组数据按从小到大排列，
这组数据如果有奇数个数据，则中位数为最中间的那个数据；如果为偶数个数据，则中位数为最中间两个数据的算术平均数.
1
四分位数
【说一说】北京市 2016—2024 年全年空气质量优良天数从小到大排列如下：
198，226，227，240，271，276，286，288，290.
这组数据的中位数是多少 小于或等于中位数的数据个数与这组数 据个数的比值、大于或等于中位数的数据个数与这组数据个数的比值是否都大于50%
中位数是271，比值都大于50%.
一般地，设一组数据的个数为 n，把这组数据从小到大排列：
(1)小于或等于中位数的数据个数与 n 的比值大于或等于 50%，大于或等于中位数的数据个数与 n 的比值大于或等于 50%，于是把中位数叫作第 50 百分位数，记作 m50.
198，226，227，240，271，276，286，288，290
因此 m50 也叫作第二四分位数.
由于 50% ，
(2) 如果有一个数满足“小于或等于这个数的数据个数与 n 的比值大于或等于 25%，大于或等于这个数的数据个数与 n 的比值大于或等于 75%”，那么称这个数是第 25 百分位数，记作 m25.
198，226，227，240，271，276，286，288，290
因此 m25 也叫作第一四分位数.
由于 25% ，
因此第 3 个数 227 是第一四分位数；
(3) 如果有一个数满足“小于或等于这个数的数据个数与 n 的比值大于或等于 75%，大于或等于这个数的数据个数与 n 的比值大于或等于 25%”，那么称这个数是第 75 百分位数，记作 m75.
198，226，227，240，271，276，286，288，290
因此 m75 也叫作第三四分位数.
由于 75% ，
因此第 7 个数 286 是第三四分位数；
第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数这三个数把一组数据分为四个部分，因此称为四分位数.
198，226，227，240，271，276，286，288，290
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
可以证明：
若 等于整数 k，则 m25 为第 k 个数与第 (k + 1)个数的平均数；
若 不是整数，用 l 表示比 大的最小整数，则m25 为第 l 个数.
类似地，若 等于整数 r，则 m75 为第 r 个数与第
(r + 1)个数的平均数；
若 不是整数，用 s 表示比 大的最小整数，则m75 为第 s 个数.
例1 一组男生的身高(单位：cm) 数据为 165，154，175，172，168，150，178，182，161，180.
求这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数.
典例精析
解：把这组数据从小到大排列：150，154，161，165，168，172，175，178，180，182.
因为 10 = 7.5， 所以第 8 个数 178 是第三四分位数.
因为 10 = 2.5，所以第 3 个数 161 是第一四分位数.
这组数据的中位数是 (168 + 172) = 170，即第二四分位数是 170.
例2 一组数据为：3.62，4.13，2.60，3.95，4.90，2.75，3.64，4.70，6.58，3.86，4.78，5.47.
求这组数据的四分位数.
解：把这组数据从小到大排列：
2.60，2.75，3.62，3.64，3.86，3.95，4.13，4.70，4.78，4.90，5.47，6.58.
这组数据的中位数是 ，即第二四分位数是4.04.
因为 12 = 3， 所以第 3 个数与第 4 个数的平均数是第一四分位数.
因为 12 = 9，所以第 9 个数与第 10 个数的平均数 是第三四分位数.
2.60，2.75，3.62，3.64，3.86，3.95，4.13，4.70，4.78，4.90，5.47，6.58.
【练一练】1. 某市 12 月 16—31 日每日的最高气温 ( 单位：℃ ) 依次如下：5，3，2，2，2，2，3，3，5，5， -2， -2，-5，-1，-1，-1.
求这组数据的四分位数.
解：将这 16 个数据由小到大排序：
-5 -2 -2 -1 -1 -1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 5
这组数据的中位数是 ，即第二四分位数是 2 ℃.
因为 16 = 4， 所以第 4 个数与第 5 个数的平均数(℃) 是第一四分位数.
因为 16 = 12，所以第 12 个数与第 13 个数的平均数 (℃)是第三四分位数.
-5 -2 -2 -1 -1 -1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 5
思考：一组数据的第一四分位数和第三四分位数有什么用处呢？
本节开篇“说一说”栏目中列出的北京市 2016—2024
年全年空气质量优良天数数据，其第一四分位数是227，第三四分位数是 286.
小于或等于 227 的数据有 198，226，227，则它的个数 3 与这组数据的总个数 9 的比值 .
大于或等于 286 的数据有 286，288，290，则它的个数 3 与这组数据的总个数 9 的比值 .
2
箱线图
从这个例子受到启发，可得下述结论：对于一组数据，将小于或等于第一四分位数的数据个数与大于或等于第三四分位数的数据个数相加，所得和与这组数据的总个数的比值大于或等于 50%，如图所示.
比值≥25%
比值≥25%
第一四分位数
第三四分位数
最小值
最大值
数学上已经证明上述结论成立. 由此可知：
一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差可以用来刻画这组数据的分散程度，第三四分位数减去第一四分位数的差越大，这组数据就越分散.
知识要点
例3 某工厂生产了一批某种型号的机械零件，从甲车间生产的零件中用 简单随机抽样方法抽取14个零件，测得它们的质量(单位： g) 如下：
257，243，249，245，253，248，256，
246，252，247，250，254，260，251.
从乙车间生产的零件中用简单随机抽样方法抽取14个零件，测得它们的质 量(单位：g) 如下：
249，253，241，251，243，250，246，256，262，258，247，259，239，240.
甲车间和乙车间生产的 14 个零件的质量数据，哪一组比较分散
解：将甲车间生产的 14 个零件的质量数据从小到大排列：
243，245，246，247，248，249，250，251，252，253，254，256，257，260.
因为 14 = 3.5， 所以第 4 个数 247 是第一四分位数.
所以 14 = 10.5，所以第 11 个数 254 是第三四分位数.
于是甲车间生产的 14 个零件的质量数据的第三四分位数减去第一四分位数的差是 254－247＝7.
将乙车间生产的 14 个零件的质量数据从小到大排列：
239，240，241，243，246，247，249，250，251，253，256，258，259，262.
又13>7，故乙车间生产的14个零件的质量数据比较分散.
于是乙车间生产的 14 个零件的质量数据的第三四分位数减去第一四分位数的差是 256－243＝13.
因为 14 = 10.5，所以第11个数 256 是第三四分位数.
因为 14 = 3.5，所以第 4 个数 243 是第一四分位数.
例3 中甲车间生产的 14 个零件的质量数据的中位数是 250.5，乙车间生产的 14 个零件的质量数据的中位数是 249.5，利用甲车间和乙车间生产的各 14 个零件的质量数据的最小值、第一四分位数、中位数、
第三四分位数、最大值，
可绘制出图.
264
260
256
252
248
244
240
零件的质量/g
最大值
最小值
第三四分位数
中位数
第一四分位数
最大值
第三四分位数
第一四分位数
最小值
中位数
由图可知，乙车间生产的14个零件的质量数据比甲车间的质量数据分散.
知识要点
像图中这样，由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三 四分位数、最大值这 5 个数绘制而成的图是这组数据的箱线图，它是由矩形“箱子”和从箱子延伸出的两条线段构成的图形，直观地表示了这组数据的分布状态.
将上述 5 个数画在一条水平数轴上，也可以作出这组数据的箱线图.
264
260
256
252
248
244
240
零件的质量/g
最大值
最小值
第三四分位数
中位数
第一四分位数
最大值
第三四分位数
第一四分位数
最小值
中位数
【练一练】2. [定义]把一组数据从小到大排序，用 m 表示中位数，则 m 把这组数据分为两部分，依次记为 S 和 T . 用 a 和b 分别表示 S 和 T 的中位数，则所有数据中小于或等于 a 的占 25% ，小于或等于 b 的占 75% . 这样 a ，m，b 把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数.
[应用]甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75， 96，80，92，95.
(1) 求甲组数据的四分位数 a ，m，b；
(2) 根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图.
解：(1) 把甲的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，
故 m =90, a = 70, b = 96.
四分位数与箱线图
五数概括：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值
应用：分析数据分布
计算步骤：排序→定位→取值
1. 一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上
四分位数是(　D　)
A. 14 B. 15
C. 23 D. 25
D
2. 如图是某班学生1min跳绳次数的箱线图，从中我
们可以得到信息，该班学生1min跳绳次数最多相
差 次.
47　
解：将这12个数据由小到大排序：
164，165，165，166，168，170，172，173，
173，174，175，178，
∴m25＝ ＝165.5，
m50＝ ＝171，
m75＝ ＝173.5.
3. 在某次高三体检中，12位同学的身高(单位：cm)
分别为173，174，166，172，170，165，165，168，164，173，175，178，求这组数据的四分位数.

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