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4.6 总体平均数与方差的估计
第4章 数据的分析
（1）要想知道一锅汤的味道怎么办？
（2）要想知道一座矿山（铁矿）的含铁量怎么办
（3）要想知道一批炮弹的杀伤力该怎么办？
（4）合肥市明年的中考，要想估计这届学生的整体水平，应该怎样做？
总体平均数与方差的估计
我们知道，当研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体)，就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差，在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，我们把根据样本数据计算得到的平均数（或方差），叫作样本平均数（或样本方差），
1
有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差，这种做法合理吗
议一议
简单随机抽样方法能使得每次抽取时，总体中每个个体都有同等的机会被取到，并且在整个抽样过程中，前面取到的个体不影响后面的个体被取到的机会，于是上述做法合理，数学上已经证明：
当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值.
例1 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件，为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度，把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取 100 个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265
零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2
(1)求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值；
解：用简单随机抽样方法从总体中抽取的 100 个零件的质量是一个样本，
将这个样本的平均数记作 ，方差记作 .
甲
甲
甲
＝ (238×1 + 241×5 + 244×9 + 247×19 + 250×24 + 253×22 + 256×11 + 259×6 + 262×1 + 265×2)
＝250.6
于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是 250.6 g.
(2) 求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值.
甲
＝ [(238 - 250.6) ×1 + (241 - 250.6) ×5 +
(244 - 250.6) ×9 + (247 - 250.6) ×19 +
(250 - 250.6) ×24+(253 - 250.6) ×22+
(256 - 250.6) ×11+(259 - 250.6) ×6+(262 - 250.6) ×1
+(265 - 250.6) ×2]＝26.82
于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是 26.82.
思考：在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取 100 个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268
零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1
比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定
分析：把甲车间试生产的零件质量作为第一个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的 100 个零件的质量是这个总体的一个样本.
由上例可知，甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 250.6 g，方差的一个估计值是 26.82.
质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268
零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1
于是第二个总体的样本的平均数为
乙
＝ (236×2 + 240×7 + 242×8 + 245×16 + 250×23 + 252×21 + 254×12 + 256×7 + 260×3 + 268×1)
＝249.38
把乙车间试生产的零件质量作为第二个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的 100 个零件的质量是这个总体的一个样本.
甲
＝ [(236 - 249.38) ×2 + (240 - 249.38) ×7 +
(242 - 249.38) ×8 + (245 - 249.38) ×16 +
(250 - 249.38) ×23 + (252 - 249.38) ×21+
(254 - 249.38) ×12 + (256 - 249.38) ×7
+(260 - 249.38) ×3 + (268 - 249.38) ×1 ]＝31.1756
方差为
于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 249.38 g，方差的一个估计值是 31.1756. 由于26.82<31.1756，因此甲车间试生产的零件质量更稳定.
经过计算，甲进球的平均数为 x甲 = 8，方差为 .
【练一练】某篮球队对运动员进行 3 分球投篮成绩测试，每人每天投 3 分球 10 次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：
队员 每人每天进球数 甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
(1)求乙进球的平均数和方差；
(2)现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加 3 分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小．
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小， 可用样本方差估计总体方差．
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
　先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
知识要点
某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛.下表是这两名运动员 10 次测验成绩（单位：m）：
甲 5.85 5.93 6.07 5.91 5.99
6.13 5.98 6.05 6.00 6.19
乙 6.11 6.08 5.83 5.92 5.84
5.81 6.18 6.17 5.85 6.21
你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
做一做
解：甲、乙测验成绩的平均数分别是
x甲 = 6.01 (m) ，x乙 = 6 (m).
方差分别是
s2甲≈0.009 54，s2乙≈0.024 34.
s2甲＜s2乙，
因此，甲成绩较稳定，应该选甲参加比赛.
例2 为了比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取了五块具有相同条件的试验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：t）：
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
(2)哪个品种的产量较稳定？
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
∴ 甲、乙两个品种平均每公顷的产量一样高.
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(2)哪个品种的产量较稳定？
例5 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近 10 次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．
解：　　　
(585+596+610+ 598+612+597+604+600+613+601)
= 601.6(cm)， s2甲 ≈ 65.84；
(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)
= 599.3(cm)，s2乙 ≈ 284.21．
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对不稳定．但乙队员和甲队员的成绩相比乙队员的成绩比较突出．
（2）历届比赛表明，成绩达到 5.96 m 就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m 就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．
解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
1.某灯泡厂为了测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了 50 只灯泡，它们的使用寿命如下表所示．这批灯泡的平均使用寿命是多少？
解：据上表得各小组的组中值，于是　
使用寿命 x/h
800
1200
1600
2000
2400
灯泡只数
5
10
12
17
6
因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命是 1672 h．
2.为了解某小区居民 7 月份的用水情况，任意抽查了20 户家庭的月用水量，结果如下：
如果该小区有 200 户家庭，估计该小区居民7月份的用水总量.
用水量/m3 10 12 13 14 15 16 17 18
户数 3 5 2 3 3 2 1 1
解：每户用水量的平均数为：
200 户家庭的用水量约为13.5×200＝2700 m3.
3.6月5日是“世界环境日”，某校“绿色”小组进入明光社区进行一次有关“白色污染”方面的抽样调查，调查结果如下：
如果该社区有 500 户居民，请你估计该社区居民每天要丢弃多少个废塑料袋？
每户居民平均每天丢弃废塑料袋/个 0 3 4 5 6
户数 2 9 28 16 5
解：每户居民每天丢弃废塑料袋的的平均个数为：
500 户居民每天丢弃塑料袋个数约为：
4.15×500 ＝ 2075个.
解：根据以上数据，得
= 22.351 (mm)
答：这批零件的平均长度大约是 22.351 mm.
4.为了检查一批零件的质量，从中随机抽取 10 件，
测得它们的长度（单位：mm）如下： 22.36 22.35 22.33 22.35 22.37 22.34 22.38 22.36 22.32 22.35
根据以上数据，估计这批零件的平均长度.
5. 检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取 15 个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
解：样本数据的平均数分别是：　
样本平均数相当，
估计这批鸡腿的平均质量相近．
甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
(g)，
(g).
　解：样本数据的方差分别是：　　　
由　　　可知，两家加工厂的鸡腿平均质量相当；
由 ＜ 　可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．
6.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
（1）填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90
0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是 84分，两人成绩一样好；
从众数看，甲成绩的众数为 84 分，乙成绩的众数是 90 分，乙的成绩比甲好；
从方差看，s2甲=14.4， s2乙=34，甲的成绩比乙相对稳定；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
用样本平均数估计总体平均数
理解样本平均数估计总体平均数意义
运用样本平均数估计总体平均数解决问题
根据方差做决策方差
方差的作用：比较数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差

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