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4.7 统计的简单应用
第4章 数据的分析
观察与思考
在日常生活中， 我们经常遇到各种各样的“率”： 一个国家的森林覆盖率、一个省的婴儿出生率、一个电视栏目的收视率、一种产品的合格率等等. 那么这些“率”到底能够说明什么呢？
从统计的观点看， 一个“率” 就是总体中具有某些特性的个体在总体中所占的百分比.
当要考察的总体所含个体数量较多时，“率” 的计算就比较复杂，有什么方法来对“率” 作出合理的估计吗？
用样本的“率”估计总体的“率”
在实践中，我们常常通过简单随机抽样，用样本的“率” 去估计总体相应的“率”. 例如工厂为了估计一批产品的合格率， 常常从该批产品中随机抽取一部分进行检查，通过对样本进行分析，从而推断出这批产品的合格率.
可以通过简单随机抽样，先计算出样本的“率” ，再用样本的“率”去估计总体相应的“率”.
1
思考：某工厂生产了一批产品，有合格品和次品. 我们一般将次品的件数与 这批产品的总件数的比值称为次品率. 如何估计这批产品的次品率呢
一般地，当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的次品率作为总体 的次品率的一个估计值.
用简单随机抽样方法从这批产品中抽取一个容量为 n 的样本，设这个样本中有 m 件次品，则
称为这个样本的次品率.
例1 某工厂生产了一批产品，用简单随机抽样方法从这批产品中抽取 100 件检查，发现有 3 件次品，试估计这批产品的次品率.
解：抽取的 100 件产品组成一个样本，这个样本的次品率是 ， 因此这批产品的次品率的一个估计值是 3%.
典例精析
我们已经学习了频数和频率，可以用样本的频率估计总体的频率吗 如可以，对样本有什么要求
议一议
很自然地会想到用简单随机抽样方法从总体中抽取一个样本，用这个样本的频率去估计总体的频率.
一般地，当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的频率作为总体的频率的一个估计值.
例2 在除夕夜，全国收看《春节联欢晚会》的观众户数占全国观众总户数的比率称为《春节联欢晚会》的收视率. 2024年除夕夜， 一媒介研究公司采用简单随机抽样方法调查了 20000 户观众，其中有 6586 户观众收看了《春节联欢晚会》. 求这届《春节联欢晚会》的收视率的一个估计值.
解：从总体中用简单随机抽样方法抽取 20000 户观众，经调查，这个样本中收看《春节联欢晚会》的观众有6586户，从而这个样本的收视率是 .因此，32.93% 是这届《春节联欢晚会》收视率的一个估计值.
典例精析
1. 某市教育局为了解该市 5 万名九年级学生的身体素质情况，随机抽取了1000 名九年级学生进行检测. 已知被检测学生的身体素质达标率为 95%，请据此估计该市九年级学生中身体素质达标的学生人数.
解:由于是随机抽取，即总体中每一名九年级学生都有相同的机会被抽取，因此，随机抽取的 1000 名学生组成了一个简单随机样本.
练一练
因而可以用这个样本身体素质达标率 95% 去估计全市50000 名学生身体素质的达标率，从而该市九年级学生中身体素质达标的学生人数为
为了解某中学某班学生的身体发育情况，用简单随机抽样方法抽取 8 名学生，测量他们的身高和体重，得到下表所示数据：
做一做
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
身高x/cm 150 155 160 162 166 168 171 176
体重y/kg 40 45 53 57 55 57 58 65
在平面直角坐标系中，尝试用一个图形来描述他们的身高与体重的关系.
为了直观地表示他们的身高与体重 的关系，可以建立一个平面直角坐标系， 其中 x 轴表示身高， y 轴表示体重.
上述样本中每名学生的身高和体重组成一个 有序实数对，对应平面上的一个点.这些点组成的图形就是样本数据的散点图， 如图所示.
从散点图可以看出，这些散点大致分布在一条直线附近.这启发我们猜想，该班学生的体重 y (kg) 与身高 x (cm) 的关系趋势可以近似为一次函数关系， 于是猜测它们之间的关系式为
y≈a + bx，
其中 a，b 为常数，且需要由样本数据去估计 a，b 的值
一个想法是，找出一条直线 l ，使它能较好地描述散点图的分布趋势，即直线 l 与散点图中各个点总体上最接近，如图中的直线，称为该班学生的体重关于身高的趋势图.
问题1：如何估计 a，b 的值？
想一想
问题2：试从图中可以推测出学生体重的情况.
由图可以推断，从大体上看，在一定时期内，该班学生的体重随着身高的增加而增加.
假设我们求出了该班学生的体重 y 关于身高 x 的趋势图的表达式为 y≈ -90.439 + 0.882x，则对于该班的学生，可以利用这个表达式，求出已知身高的学生的一个体重预测值.
该班身高为 169 cm的学生，其体重的一个预测值为
-90.439 + 0.882×169≈58.6(kg).
问题3：假设该班有一名身高为 169 cm 的学生，试推测其体重的一个预测值.
利用样本来推断总体的过程是怎样的？
实际问题
收集数据
合理决策
表示数据
整理数据
统计分析
1. 要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的是（ ）
A．调查全体女生
B．调查全体男生
C．调查九年级全体学生
D．调查七、八、九年级各 50 名学生
D
2.某个学生网站进行的一次网上调查显示：中学生经常吃肯德鸡的比例超过80%，这个数据可信吗？为什么？
3.某高校在招生广告上称：本校研究生毕业就业率为100%，本科毕业生就业率为96%，专科毕业生就业率为90%，总的毕业生就业率为95%.这个数据可信吗？为什么？
答：只向网民了解，样本不具有代表性和广泛性.
答：计算方法错误，应是就业总人数除以毕业总人数.
4.小丽统计了最近一个星期李大爷每天平均能卖出的A、B、C、D、E 五个牌子的雪糕的数量，并绘制出下图.
根据小丽的统计结果，请你为李大爷设计一个进货方案.
平均每天平均能卖出的雪糕的数量
A
B
C
200
150
100
50
D
E
雪糕的品种
131
182
68
39
98
答：由条形图可知，雪糕销量按从大到小依次为 B、A、E、C、D，进货时要按销量比例，B最多，D 最少.
5.已知样本 10，8， 6，10，8，13，11，10，12，7，8，9，12，9， 11，12，9，10，11，11，那么频率为 0.2范围的是 ( )
5.5~7.5
7.5~9.5
C. 9.5~11.5
D. 11.5~13.5
分组 频数 频率
5.5~7.5 2 0.1
7.5~9.5 6 0.3
9.5~11.5 8 0.4
11.5~13.5 4 0.2
合计 20 1.0
D
6.以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据绘制统计图的一部分．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）2008 年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字）？
（2）补全条形统计图；
排量（L） 小于1.6 1.6 1.8 大于1.8
数量（辆） 29 75 31 15
（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关．如：一辆排量为 1.6 L 的轿车，如果一年行驶 1 万千米，这一年，它碳排放量约为 2.7 吨．于是他调查了他所居住小区的 150 辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示．
解：（1）146×(1+19%) = 173.74≈174（万辆），所以 2008 年北京市私人轿车拥有量约是 174 万辆.
（2）补全条形统计图：略
所以估计 2010 年北京市仅排量为 1.6 L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372.6 万吨.
（3）
如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010 年北京市仅排量为 1.6 L 的这类私人轿车（假设每辆车平均一行行驶 1 万千米）的碳排放总量约为多少万吨？
统计的简单应用
估计方法：对于简单的随机抽样，可以用样本频率去估计总体的频率，对于简单的随机抽样，也可以用样本百分率去估计总体的百分率
用样本的“率”估计总体的“率”
基本步骤
统计的简单应用
基本步骤
调查和收集资料
统计各组的情况
分析统计结果
进行合理推断及预测

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