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江苏省南京市2026年高考数学模拟练习卷
一、选择题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．设复数，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
3．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（　　）
A．3 B． C．4 D．或4
5．已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则该物体在时的瞬间速度为（　　）
A． B． C． D．
6．已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（　　）
A．a的值为0.030
B．抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间
C．2000名考生中约有10名成绩优秀
D．估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间
10．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．对，不等式总成立
D．对，且，总有
11．如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（　　）
A．曲线关于直线对称
B．曲线经过点，其方程为
C．曲线围成的图形面积小于
D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题
12．已知函数，则不等式的解集是　 　.
13．已知数列满足，，则数列的通项公式为　 　．
14．如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB PD于点E F（可与端点重合），则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是　 　.
四、解答题
15．小杜准备进行篮球定点投篮训练，有两种投篮方式，一种是跳投，投篮命中率为，另一种是颠投，投篮命中率为，每次投篮是否命中相互独立．
（1）若小杜连续颠投10次，记进球次数为，求随机变量的期望；
（2）小杜进行两种投篮方式的专项训练，第一种全部跳投，第二种全部颠投，每种训练中若没进就继续投，若投进则停止．记第一、二种训练投篮次数分别为．
①求的概率；
②求的概率；（当时，）
16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，为的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
17．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积；
（3）若，求的最大值.
19．已知椭圆，短轴长为，且经过点.过左焦点 的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线过定点，并求定点坐标；
（3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题意，可知，
所以.
（2）解：①由题意，得可能为，
则，
，
，
所以.
②因为
所以
，
又因为，
所以.
16．【答案】（1）证明：且是中点，直角中，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
又底面，平面底面.
（2）解：取中点，连接，，
且是中点，且
由（1）得平面底面，又平面底面，
底面，
分别以，为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系；
，，，，，
，，，，
若平面的一个法向量，
，令，则，
所以平面的一个法向量为，
若平面的一个法向量，
，令，则，
所以平面的一个法向量，
，
所以锐二面角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：当时，，
又，则，
所以曲线在处的切线方程为 .
（2）解：令，，易得在单调递增，
故，所以，
令，有，
又，，
令，则，
所以，
故在上单调递增，
当时，，此时在上单调递增，
即恒成立.
当时，，而在上单调递增，
且当时，，
故存在，使得，故当时，，
此时在单调递减，此时，与题设矛盾.
综上所述，.
所以实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：因为向量，且，
所以，
在中，
由正弦定理，得，
又因为，所以，
则，
又因为，
所以.
（2）解：由余弦定理，得，
则
所以，
又因为，解得，
所以的面积.
（3）解：由余弦定理，得，
则，
当且仅当时取等号，
解得，
则当时，取得最大值4.
19．【答案】（1）解：由题设，，可得，
故.
（2）证明：由点B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0，
设直线，联立椭圆，消去得，
由韦达定理得，且，
则中点，由，则代替m，得，
所以，故，
化简得，则过定点．
当时，取，，则过定点；
当时，取，，则过定点；
综上，直线MN过定点．
（3）解：由点M，N分别为AB，DE的中点，
由
，
由（2）知，
以代替m，得，
所以，
当且仅当，即时，．
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