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浙江省杭州市观成教育集团2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025七下·杭州期中）目前，我国北斗芯片尺寸已可达0.000000012米．数据0.000000012米用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·杭州期中）下列运算结果为m4的是（　　）
A．m2+m2 B．m6-m2 C．（-m2）2 D．m8÷m2
3．（2025七下·杭州期中）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·杭州期中）若是方程的解，则a的值是（　　）
A．4 B．－1 C．1 D．－4
5．（2025七下·杭州期中）如图，把一块三角尺角的顶点放在直尺的一边上，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·杭州期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·杭州期中）我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·杭州期中）已知实数，满足，．若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·杭州期中）如图，有型、型、型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有2块；型是长为，宽为的长方形，共有4块：型为边长为的正方形，共有3块．现用这9块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠、不留空隙），则下列操作可行的是（　　）
A．用全部9块纸板 B．拿掉1块型纸板
C．拿掉1块B型纸板 D．加上1块C型纸板
10．（2025七下·杭州期中）如图，已知，，点E在上，点G，F在上，点H在之间，连接，，，．平分交于点K，，平分，平分，，交于点M，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025七下·杭州期中）计算：（﹣7）0＝　 　，8﹣1＝　 　.
12．（2025七下·杭州期中）若，，则　 　．
13．（2025七下·杭州期中）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则的度数等于　 　
14．（2025七下·杭州期中）如果是一个完全平方式，则　 　．
15．（2025七下·杭州期中）如图，在中，，，，，将沿直线向右平移3个单位得到，连接，则下列结论正确的是　 　 ．①；②；③；④四边形的周长为30．
16．（2025七下·杭州期中）已知，．
（1）若，则c与a的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　．（用含k，t的代数式表示）
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·杭州期中）计算与化简：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·杭州期中）因式分解：
（1）；
（2）．
19．（2025七下·杭州期中）解下列方程（组）：
（1）；
（2）．
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知，平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，且，求的度数．
21．（2025七下·杭州期中）关于的代数式化简后不含有项和常数项
（1）求和的值．
（2）若，求：代数式的值．
22．（2025七下·杭州期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元．
（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若“五一”搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．
23．（2025七下·杭州期中）已知关于，的方程组（是常数）．
（1）当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
（2）当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
24．（2025七下·杭州期中）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接．
（1）如图①，若点在线段上，，，求的度数．
（2）如图②，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．
（3）当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000012米用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、不能进行计算，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 不能分解因式，错误；
B、 ，正确；
C、 不能分解因式，错误；
D、 不能分解因式，错误.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化成几个因式连乘积的形式叫分解因式，根据定义先判断是否是分解因式；平方差公式是：a2-b2=(a+b)(a-b)，依此分解并判断即可.
4．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程，
得：，即，
，
故答案为：B．
【分析】能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是该二元一次方程的解，据此将x=1、y=-2代入3x+ay=5可得关于字母a的一元一次方程，求解即可得出a的值.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】解：如图，
∵AB∥CD（已知），
∴(对顶角相等），
∵（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
∴，即
∠2=40°
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据对顶角相等，可得，已知，，然后两直线平行、同旁内角互补可得，再代入得。求出∠2=40°，继而求出∠1=80°
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念；多项式相等
【解析】【解答】解：∵关于x的二次三项式分解因式的结果为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】将一个多项式变形为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此根据多项式乘以多项式法则求出(x-4)(x-2)的积，则该积应该与原多项式相等，从而根据多项式相等性质可求出m、n的值.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 设甲有羊x只，乙有羊y只， 如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：D．
【分析】 设甲有羊x只，乙有羊y只；如果乙给甲9只羊，则甲此时有羊的数量为x+9，乙有羊的数量为y-9，然后根据此时甲的羊数为乙的2倍列出方程x+9=2(y-9)； 如果甲给乙9只羊，则甲此时有羊的数量为x-9，乙有羊的数量为y+9，然后根据此时甲的羊数与乙的羊数相等列出方程x-9=y+9，联立两方程即可.
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】将等式a+b=4两边同时平方，展开后结合a2+b2=10可求出ab=3，然后根据完全平方公式将(a-b)2展开后整体代入计算可得答案.
9．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：A，全部用上，面积之和是，此式不能进行因式分解，故不能拼成大的长方形。B，拿掉1块A，面积之和是，此式能进行因式分解，故能拼成大的长方形。
C，拿掉1块B，面积之和是，此式不能进行因式分解，故不能拼成大的长方形。
D，加上1块C，面积之和是，此式不能进行因式分解，故不能拼成大的长方形。
故答案为：B．
【分析】根据选项条件表示出面积，如果能够进行因式分解则拼接方法可行，否则就不能拼成长方形。
10．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作．
由题意可设，则．
∵，平分，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，解得：，
∴．
故答案为：A．
【分析】过M作MN∥AB， 由题意设，则 ，由角平分线定义得，由二直线平行，内错角相等得∠EKF=∠AFK=my，由二直线平行，同位角相等得∠DEH=EKF=my，再由角平分线的定义得 ；由平行于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得 ；由角平分线的定义得出， 由平角表示出∠AGH；由二直线平行，内错角相等得 ，然后根据角的构成可得出① ；由二直线平行，内错角相等得 ，结合已知推出 ，即②，联立①与②求解得出my与ny的值，从而即可求出m与n的比值.
11．【答案】1；
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：1，
【分析】根据a0=1(a≠0），a-p=（a≠0）计算即可.
12．【答案】10
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：10．
【分析】由同底数幂的乘法的逆运算将待求式子变形为am×an，然后整体代入计算可得答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，标注顶点，
根据题意得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】根据题意得：，，根据直线平行性质可得，，再根据折叠性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∵，
∴，
解得；
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式：可列出关于k的一元一次方程，即可解出k的值.
15．【答案】①③④
【知识点】平移的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接，，
∴，，，，，故①正确；
∵，
∴，，
∵，
∴，故②错误；
∵，，
∴，故③正确；
∵，，
∴四边形的周长
，故④正确.
故答案为：①③④．
【分析】根据平移前后图形对应线段相等平行（或同一直线）得AC∥DF，AC=DF=8，BC=EF=10，AB∥DE，AD=BE=CF=3，据此可直接判断①；然后根据线段算出CE=7，BF=13，可直接判断②；根据二直线平行同位角相等可推出AC⊥DE，可判断③；最后根据四边形周长计算方法计算可判断④.
16．【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）已知，，
，
，
，，
，，
则，
那么，
故答案为：；
（2）已知，，
则，，
，
，
，
则
，
故答案为：．
【分析】
（1）把t和k的值代入，运用代入消元法去掉字母b解答即可；
（2）把式子变形表示a和c，然后整体代入化简解答即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先根据积的乘方运算法则计算乘方，再根据单项式乘以单项式法则计算出结果即可；
（2）先利用单项式乘多项式法则积单项式除以单项式法则分别计算，再合并同类项即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）把a-b看成一个整体，先提取各项的公因式a-b，再合并一个因式中的同类项即可；
（2）先提各项的公因式，再利用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
（1）解：
；
（2）解：
．
19．【答案】（1）解：，
由得：，
解得，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组的两个方程中未知数y的系数互为相反数，故直接利用方程①+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程算出y的值，即可得到原方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中未知数y的系数呈倍数关系，故直接利用方程①+②×4消去y求出x的值，再将x的值代入②方程算出y的值，即可得到原方程组的解.
（1）解：，
由得：，
解得，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
20．【答案】（1）解：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴
∵，
∴，
∴，
，
，
，
即，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得到，然后根据同位角相等，两直线平行解答即可；
（2）根据平行线可得，即可得到，根据垂直得到，即可求出的度数解题．
21．【答案】（1）解：
，
∵代数式中不含项与常数项，
，，
，；
（2）解：∵，，，
，
∴，
解得，
．
【知识点】整式的混合运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开括号，然后将a与m作为常数，合并同类项，进而根据化简后的式子不含x2项及常数项可得x2项的系数与常数项都为零，据此列出关于字母a、m的方程，求解即可得出答案；
（2）结合（1）的结论可求出2n+3n=-5，求解得出n=-1，最后将n及m的值代入待求式子根据含乘方的有理数混合运算的运算顺序计算即可.
（1）解：
，
因代数式中不含项与常数项，
，，
，；
（2）解：∵，，，
，
∴，
解得，
．
22．【答案】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：每辆A型汽车的进价为80万元，每辆B型汽车的进价为100万元；
（2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，
根据题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购进15辆A型汽车，4辆B型汽车；
方案2：购进10辆A型汽车，8辆B型汽车；
方案3：购进5辆A型汽车，12辆B型汽车．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据单价乘以数量等于总价及“购进6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；购进3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量及购进m辆A型汽车的费用+购进n辆B型汽车的费用=960万元可列出关于m，n的二元一次方程，求出该方程的正整数解，即可得出各购买方案．
（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：每辆A型汽车的进价为80万元，每辆B型汽车的进价为100万元；
（2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，
根据题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购进15辆A型汽车，4辆B型汽车；
方案2：购进10辆A型汽车，8辆B型汽车；
方案3：购进5辆A型汽车，12辆B型汽车．
23．【答案】（1）解：①方程x+2y=3的非负整数解为：，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
得1-2×1+m=-5
解得；
（2）解：当时，原方程组可化为，
由，可得，
整理可得，
∵方程组有整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：①∵x+2y=3，
∴x=3-2y，
∵x、y都为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
【分析】（1）①首先将方程变形为x=3-2y，然后根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；
②先解方程组，然后将，的值，然后根据方程解的定义将x与y的值代入方程可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值；
（2）将n=3代入原方程组，利用加减消元法得到，由方程组有整数解，且为整数可得5+2m=±1与5+2m=±5，然后分四种情况分别求出m的值及方程组的解，最后根据方程组的解为整数判断得出符合题意的m的值.
（1）解：①∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得；
（2）当时，原方程组可化为，
由，可得，
整理可得，
∵方程组由整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
24．【答案】（1）解：如图所示，过点作，
∵，
∴AB∥PT∥CD，
又∵，，
∴，，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
又∵，即，
解得：，
∴；
（3）解：或
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：当在下方时，如图所示，
∵
∴
∵，
∴
由（1）可得
∴
∵
∴，
∵
∴
∴．
当在上方时，如图所示，过点作
∵
∴
∵，
∴，
∵，AB∥CD，
∴ST∥CD∥AB，
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴．
【分析】（1）过点P作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥PT∥CD，根据二直线平行，内错角相等得出，由二直线平行，同旁内角互补得，再由角的构成得，从而代值计算即可；
（2）设，根据二直线平行，内错角相等得出，由二直线平行，同位角相等得，由角平分线的定义得，再根据二直线平行，内错角相等得出，由二直线平行，同位角相等得，由角平分线的定义得，则，结合平角的定义，即可求解；
（3）当在下方时，如图所示，由（1）可得，则，由二直线平行，内错角相等可得出，，然后根据角的构成可求出答案；当在上方时，过点P作ST∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥ST，由二直线平行，内错角相等得， ，由平角表示出∠TPG=180°-，由角的构成表示出，再根据二直线平行，同位角相等得，最后由邻补角可求出.
（1）解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
又∵，即，
解得：，
∴；
（3）解：当在下方时，如图所示，
∵
∴
∵，
∴
由（1）可得
∴
∵
∴，
∵
∴
∴．
当在上方时，如图所示，过点作
∵
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州市观成教育集团2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025七下·杭州期中）目前，我国北斗芯片尺寸已可达0.000000012米．数据0.000000012米用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000012米用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
2．（2025七下·杭州期中）下列运算结果为m4的是（　　）
A．m2+m2 B．m6-m2 C．（-m2）2 D．m8÷m2
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、不能进行计算，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
3．（2025七下·杭州期中）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 不能分解因式，错误；
B、 ，正确；
C、 不能分解因式，错误；
D、 不能分解因式，错误.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化成几个因式连乘积的形式叫分解因式，根据定义先判断是否是分解因式；平方差公式是：a2-b2=(a+b)(a-b)，依此分解并判断即可.
4．（2025七下·杭州期中）若是方程的解，则a的值是（　　）
A．4 B．－1 C．1 D．－4
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程，
得：，即，
，
故答案为：B．
【分析】能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是该二元一次方程的解，据此将x=1、y=-2代入3x+ay=5可得关于字母a的一元一次方程，求解即可得出a的值.
5．（2025七下·杭州期中）如图，把一块三角尺角的顶点放在直尺的一边上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】解：如图，
∵AB∥CD（已知），
∴(对顶角相等），
∵（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
∴，即
∠2=40°
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据对顶角相等，可得，已知，，然后两直线平行、同旁内角互补可得，再代入得。求出∠2=40°，继而求出∠1=80°
6．（2025七下·杭州期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念；多项式相等
【解析】【解答】解：∵关于x的二次三项式分解因式的结果为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】将一个多项式变形为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此根据多项式乘以多项式法则求出(x-4)(x-2)的积，则该积应该与原多项式相等，从而根据多项式相等性质可求出m、n的值.
7．（2025七下·杭州期中）我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 设甲有羊x只，乙有羊y只， 如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：D．
【分析】 设甲有羊x只，乙有羊y只；如果乙给甲9只羊，则甲此时有羊的数量为x+9，乙有羊的数量为y-9，然后根据此时甲的羊数为乙的2倍列出方程x+9=2(y-9)； 如果甲给乙9只羊，则甲此时有羊的数量为x-9，乙有羊的数量为y+9，然后根据此时甲的羊数与乙的羊数相等列出方程x-9=y+9，联立两方程即可.
8．（2025七下·杭州期中）已知实数，满足，．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】将等式a+b=4两边同时平方，展开后结合a2+b2=10可求出ab=3，然后根据完全平方公式将(a-b)2展开后整体代入计算可得答案.
9．（2025七下·杭州期中）如图，有型、型、型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有2块；型是长为，宽为的长方形，共有4块：型为边长为的正方形，共有3块．现用这9块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠、不留空隙），则下列操作可行的是（　　）
A．用全部9块纸板 B．拿掉1块型纸板
C．拿掉1块B型纸板 D．加上1块C型纸板
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：A，全部用上，面积之和是，此式不能进行因式分解，故不能拼成大的长方形。B，拿掉1块A，面积之和是，此式能进行因式分解，故能拼成大的长方形。
C，拿掉1块B，面积之和是，此式不能进行因式分解，故不能拼成大的长方形。
D，加上1块C，面积之和是，此式不能进行因式分解，故不能拼成大的长方形。
故答案为：B．
【分析】根据选项条件表示出面积，如果能够进行因式分解则拼接方法可行，否则就不能拼成长方形。
10．（2025七下·杭州期中）如图，已知，，点E在上，点G，F在上，点H在之间，连接，，，．平分交于点K，，平分，平分，，交于点M，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作．
由题意可设，则．
∵，平分，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，解得：，
∴．
故答案为：A．
【分析】过M作MN∥AB， 由题意设，则 ，由角平分线定义得，由二直线平行，内错角相等得∠EKF=∠AFK=my，由二直线平行，同位角相等得∠DEH=EKF=my，再由角平分线的定义得 ；由平行于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得 ；由角平分线的定义得出， 由平角表示出∠AGH；由二直线平行，内错角相等得 ，然后根据角的构成可得出① ；由二直线平行，内错角相等得 ，结合已知推出 ，即②，联立①与②求解得出my与ny的值，从而即可求出m与n的比值.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025七下·杭州期中）计算：（﹣7）0＝　 　，8﹣1＝　 　.
【答案】1；
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：1，
【分析】根据a0=1(a≠0），a-p=（a≠0）计算即可.
12．（2025七下·杭州期中）若，，则　 　．
【答案】10
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：10．
【分析】由同底数幂的乘法的逆运算将待求式子变形为am×an，然后整体代入计算可得答案.
13．（2025七下·杭州期中）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则的度数等于　 　
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，标注顶点，
根据题意得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】根据题意得：，，根据直线平行性质可得，，再根据折叠性质即可求出答案.
14．（2025七下·杭州期中）如果是一个完全平方式，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∵，
∴，
解得；
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式：可列出关于k的一元一次方程，即可解出k的值.
15．（2025七下·杭州期中）如图，在中，，，，，将沿直线向右平移3个单位得到，连接，则下列结论正确的是　 　 ．①；②；③；④四边形的周长为30．
【答案】①③④
【知识点】平移的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接，，
∴，，，，，故①正确；
∵，
∴，，
∵，
∴，故②错误；
∵，，
∴，故③正确；
∵，，
∴四边形的周长
，故④正确.
故答案为：①③④．
【分析】根据平移前后图形对应线段相等平行（或同一直线）得AC∥DF，AC=DF=8，BC=EF=10，AB∥DE，AD=BE=CF=3，据此可直接判断①；然后根据线段算出CE=7，BF=13，可直接判断②；根据二直线平行同位角相等可推出AC⊥DE，可判断③；最后根据四边形周长计算方法计算可判断④.
16．（2025七下·杭州期中）已知，．
（1）若，则c与a的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　．（用含k，t的代数式表示）
【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）已知，，
，
，
，，
，，
则，
那么，
故答案为：；
（2）已知，，
则，，
，
，
，
则
，
故答案为：．
【分析】
（1）把t和k的值代入，运用代入消元法去掉字母b解答即可；
（2）把式子变形表示a和c，然后整体代入化简解答即可．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·杭州期中）计算与化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先根据积的乘方运算法则计算乘方，再根据单项式乘以单项式法则计算出结果即可；
（2）先利用单项式乘多项式法则积单项式除以单项式法则分别计算，再合并同类项即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·杭州期中）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）把a-b看成一个整体，先提取各项的公因式a-b，再合并一个因式中的同类项即可；
（2）先提各项的公因式，再利用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
（1）解：
；
（2）解：
．
19．（2025七下·杭州期中）解下列方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
由得：，
解得，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组的两个方程中未知数y的系数互为相反数，故直接利用方程①+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程算出y的值，即可得到原方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中未知数y的系数呈倍数关系，故直接利用方程①+②×4消去y求出x的值，再将x的值代入②方程算出y的值，即可得到原方程组的解.
（1）解：，
由得：，
解得，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知，平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，且，求的度数．
【答案】（1）解：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴
∵，
∴，
∴，
，
，
，
即，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得到，然后根据同位角相等，两直线平行解答即可；
（2）根据平行线可得，即可得到，根据垂直得到，即可求出的度数解题．
21．（2025七下·杭州期中）关于的代数式化简后不含有项和常数项
（1）求和的值．
（2）若，求：代数式的值．
【答案】（1）解：
，
∵代数式中不含项与常数项，
，，
，；
（2）解：∵，，，
，
∴，
解得，
．
【知识点】整式的混合运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开括号，然后将a与m作为常数，合并同类项，进而根据化简后的式子不含x2项及常数项可得x2项的系数与常数项都为零，据此列出关于字母a、m的方程，求解即可得出答案；
（2）结合（1）的结论可求出2n+3n=-5，求解得出n=-1，最后将n及m的值代入待求式子根据含乘方的有理数混合运算的运算顺序计算即可.
（1）解：
，
因代数式中不含项与常数项，
，，
，；
（2）解：∵，，，
，
∴，
解得，
．
22．（2025七下·杭州期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元．
（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若“五一”搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．
【答案】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：每辆A型汽车的进价为80万元，每辆B型汽车的进价为100万元；
（2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，
根据题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购进15辆A型汽车，4辆B型汽车；
方案2：购进10辆A型汽车，8辆B型汽车；
方案3：购进5辆A型汽车，12辆B型汽车．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据单价乘以数量等于总价及“购进6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；购进3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量及购进m辆A型汽车的费用+购进n辆B型汽车的费用=960万元可列出关于m，n的二元一次方程，求出该方程的正整数解，即可得出各购买方案．
（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：每辆A型汽车的进价为80万元，每辆B型汽车的进价为100万元；
（2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，
根据题意得：，
∴，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购进15辆A型汽车，4辆B型汽车；
方案2：购进10辆A型汽车，8辆B型汽车；
方案3：购进5辆A型汽车，12辆B型汽车．
23．（2025七下·杭州期中）已知关于，的方程组（是常数）．
（1）当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
（2）当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
【答案】（1）解：①方程x+2y=3的非负整数解为：，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
得1-2×1+m=-5
解得；
（2）解：当时，原方程组可化为，
由，可得，
整理可得，
∵方程组有整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：①∵x+2y=3，
∴x=3-2y，
∵x、y都为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
【分析】（1）①首先将方程变形为x=3-2y，然后根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；
②先解方程组，然后将，的值，然后根据方程解的定义将x与y的值代入方程可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值；
（2）将n=3代入原方程组，利用加减消元法得到，由方程组有整数解，且为整数可得5+2m=±1与5+2m=±5，然后分四种情况分别求出m的值及方程组的解，最后根据方程组的解为整数判断得出符合题意的m的值.
（1）解：①∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得；
（2）当时，原方程组可化为，
由，可得，
整理可得，
∵方程组由整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
24．（2025七下·杭州期中）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接．
（1）如图①，若点在线段上，，，求的度数．
（2）如图②，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．
（3）当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：如图所示，过点作，
∵，
∴AB∥PT∥CD，
又∵，，
∴，，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
又∵，即，
解得：，
∴；
（3）解：或
【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：当在下方时，如图所示，
∵
∴
∵，
∴
由（1）可得
∴
∵
∴，
∵
∴
∴．
当在上方时，如图所示，过点作
∵
∴
∵，
∴，
∵，AB∥CD，
∴ST∥CD∥AB，
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴．
【分析】（1）过点P作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥PT∥CD，根据二直线平行，内错角相等得出，由二直线平行，同旁内角互补得，再由角的构成得，从而代值计算即可；
（2）设，根据二直线平行，内错角相等得出，由二直线平行，同位角相等得，由角平分线的定义得，再根据二直线平行，内错角相等得出，由二直线平行，同位角相等得，由角平分线的定义得，则，结合平角的定义，即可求解；
（3）当在下方时，如图所示，由（1）可得，则，由二直线平行，内错角相等可得出，，然后根据角的构成可求出答案；当在上方时，过点P作ST∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥ST，由二直线平行，内错角相等得， ，由平角表示出∠TPG=180°-，由角的构成表示出，再根据二直线平行，同位角相等得，最后由邻补角可求出.
（1）解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
又∵，即，
解得：，
∴；
（3）解：当在下方时，如图所示，
∵
∴
∵，
∴
由（1）可得
∴
∵
∴，
∵
∴
∴．
当在上方时，如图所示，过点作
∵
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴．
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