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湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·长沙期中）在这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025七下·长沙期中）下列四幅图中，和是同旁内角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·长沙期中）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·长沙期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2） B．（-6，3） C．（-4，-6） D．（3，-4）
5．（2025七下·长沙期中）古代有一首歌谣是这样说的：栖树一群鸦，鸦树不知数．三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有只，树有棵，则由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·长沙期中）下列命题中是假命题的是（　　）．
A．平移不改变图形的形状和大小 B．负数的平方根是负数
C．对顶角相等 D．若，那么
7．（2025七下·长沙期中）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（　　）
A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间
8．（2025七下·长沙期中）长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图，这是红一方面军的长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·长沙期中）如图，直线分别与直线，相交于、，已知，平分交直线于点．则等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·长沙期中）已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程的解，则；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式的值为定值．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七下·长沙期中） 的相反数是　 　.
12．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 　 　．
13．（2025七下·长沙期中）已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是　 　．
14．（2025七下·长沙期中）已知，则点在第　 　象限。
15．（2025七下·长沙期中）如图，直线与相交于点O，，，则等于　 　．
16．（2025七下·长沙期中）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·长沙期中）计算：．
18．（2025七下·长沙期中）解方程组：．
19．（2025七下·长沙期中）完成下面的证明．
已知：如图，在三角形中，于点，是上一点，．
求证：．
证明：（已知），
___________（　　）
___________，
（已知），
___________（_________）．
（___________）
20．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点．
（1）点的坐标________，的坐标________；
（2）请画出平移后的三角形；
（3）求三角形的面积．
21．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点B是点A的“a阶开心点”（其中a为常数，且），例如点的“2阶开心点”为，即．
（1）若点C的坐标为，求点C的“3阶开心点”D的坐标．
（2）若点的“阶开心点”N在第一象限，且到y轴的距离为5，求点N的坐标．
22．（2025七下·长沙期中）如图，点在线段上，点，在线段上，，．
（1）求证：；
（2）若于点，平分，，求的度数．
23．（2025七下·长沙期中）截至2025年3月19日，《哪吒2》累计报收票房（含点映、预售及海外票房）超151.80亿元，打破多项票房纪录．由于电影角色深受大家喜爱，某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，已知“哪吒”款手办每个进价为80元，售价为100元；“敖丙”款手办每个进价为100元，售价为130元．
（1）该商家两款手办分别购进多少个？（用二元一次方程组解答）
（2）当“敖丙”款手办卖掉20个之后，为了回馈广大国产动漫爱好者，该商家决定对“敖丙”款手办打九折进行销售，“哪吒”款手办按原价销售．两款手办全部销售完毕后该商家可以获利多少元？
24．（2025七下·长沙期中）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足则把点称作，两点的“附中点”；且把数值称作，两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点是，两点的“附中点”，则________，________，，两点的“唯一值”________（将正确的答案填写在相应的横线上）；
（2）已知点，且点是，两点的“附中点”，先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，，两点的“唯一值”，求点的坐标；
（3）已知点是，两点的“附中点”，是，两点的“唯一值”，
①请用含有字母的式子表示“唯一值”；
②若无论取何值，等式始终成立（其中，是常数），求代数式的值．
25．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接．
（1）若，求三角形的面积；
（2）如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标；
（3）在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的是，D选项符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查实数的大小比较，解题关键在于理解负数小于零的性质，以及负数的绝对值越大其值越小这一规律。通过直接比较各数的大小关系即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A.和是对顶角，A不合题意，
B.和是内错角，B不合题意，
C.和是同旁内角，C符合题意，
D.和不是同旁内角，D不合题意，
故选：C
【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的概念，掌握这些角的定义是解题的关键。通过逐项分析，结合同位角、内错角和同旁内角的定义进行判断。
3．【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B中，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了图形的平移，根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，结合选项，逐项分析判断，得到的图案B，即可求解．
4．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限，
A.（5，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
B.（-6，3）在第二象限，故本选项不符合题意；
C.（-4，-6）在第三象限，故本选项符合题意；
D.（3，-4）在第四象限，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故选：C．
【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组的能力，关键在于正确理解题意，找到等量关系，并准确建立方程组模型。根据题目描述的条件"三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树"，可以建立关于x和y的二元一次方程组。
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；平方根的概念与表示
【解析】【解答】根据平移的性质可知：平移不会改变图形的形状和大小，选项A正确。
负数在实数范围内没有平方根，选项B错误。
对顶角的性质决定了它们必然相等，选项C正确。
若两条直线平行（），且其中一条垂直于第三条直线（），则另一条也必然垂直于第三条直线（），选项D正确。
故选：B。
【分析】本题综合考查了平移变换的性质、平方根的定义、对顶角的性质以及平行线与垂线的关系。
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：当，时，，
∵，∴，
∴该微观粒子的能量的值在5和6之间．
故选：B．
【分析】本题主要考查了估算无理数大小。由题可知微观粒子的能量表达式为。根据不等式关系，可以推导出，由此得出最终结论。
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示会宁会师的点的坐标为；
故选：C
【分析】本题考查的是坐标系中点的位置确定。解题的关键是正确建立坐标系并确定原点位置。根据题目给出的已知点坐标，可以构建合适的平面直角坐标系，进而确定原点的位置，从而得出所求点的坐标。
主要步骤：
1. 根据已知点坐标建立坐标系
2. 确定坐标系原点位置
3. 在建立的坐标系中确定目标点坐标
9．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质。解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质。首先计算，再根据角平分线定义求出。接着通过平行线的判定得出，最后利用平行线的性质求解即可。
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把代入原方程组得：，
解得：，则①错误；
②把代入原方程组得：，
解得：，则②错误；
③把代入原方程组得：，
即：，则③错误；
④，
得：，
得：，即：，则④正确；
故答案为：D.
【分析】将代入原方程组求出的值可判断①；把代入原方程组求得a可判断②；把代入原方程组求出a可判断③；利用加减消元法将原方程组变形为的形式即可判断④．
11．【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-3的相反数是3.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案。
12．【答案】1
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在y轴上，
，
解得 ．
故答案为：1．
【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程，解得 ．
13．【答案】6
【知识点】二元一次方程的解；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：2m 6=6，
2m=6+6，
m=6．
故答案为：6．
【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念。方程的解是指能够使方程两边相等的未知数的取值，理解并掌握二元一次方程解的定义是解决此类问题的关键。将给定的解代入方程中，通过计算可以求得m的具体数值。
14．【答案】二
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
∴点P在第二象限．
故答案为：二．
【分析】根据平方和算术平方根的非负性求出，，再判断P所在的象限．
15．【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴（对顶角相等），
故答案为：．
【分析】本题主要考查角度的计算问题，解题的关键在于掌握直角的概念和对顶角相等的性质，运用这些知识即可解答题目。
16．【答案】
【知识点】解一元一次方程；平方根的性质
【解析】【解答】∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程。关键点在于理解一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。利用平方根的性质建立方程，然后通过解一元一次方程的方法求出未知数的值。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数混合运算的相关知识，掌握正确的运算顺序和运算法则是解题的关键。运算过程中需要先进行乘法、开方运算和绝对值计算，最后再进行加减运算。
18．【答案】解：
得，，解得
把 代入②得，，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可。
19．【答案】证明：（已知）
（垂线定义）
（已知）
（同角的余角相等）
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：；垂线定义；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；余角；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定方法。解题关键在于灵活运用相关判定定理。首先根据垂直定义及同角的余角相等性质，可推导出，再依据"内错角相等则两直线平行"的判定准则，即可证明，从而得出正确答案。
20．【答案】（1），
（2）如图，三角形即为所求
（3）。
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）∵点的对应点，
∴将三角形先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得三角形，
∵，，∴，．
故答案为：，；
【分析】 本题考查了图形平移变换的作图方法，其中关键在于确定平移后对应点的位置。
（1）通过已知点A(3，4)平移后的对应点A'( 2，2)，可以确定平移的规律，从而计算出点B'和C'的坐标。
（2）根据第(1)问得到的坐标结果，在坐标系中描出各点并连接成图形。
（3）采用分割填补法计算图形的面积。
（1）∵点的对应点，
∴将三角形先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得三角形，
∵，，
∴，．
故答案为：，；
（2）如图，三角形即为所求
（3）．
21．【答案】（1）解：依题意得，∴点的“3阶开心点”的坐标为．
（2）解：点的“阶开心点”为，点的坐标为，即．
点在第一象限，且到y轴的距离为5，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；点的坐标
【解析】【分析】本题考查新定义运算、整式的加减、解一元一次方程等知识点，解题关键在于正确理解题目中“a阶开心点”的定义。
（1）根据题目给出的“阶开心点”的定义直接求解即可；
（2）首先利用新定义求出点A的“阶开心点”坐标，然后根据该点到y轴的距离为5这一条件建立方程并求解。
（1）解：依题意得，
∴点的“3阶开心点”的坐标为．
（2）解：点的“阶开心点”为，
点的坐标为，即．
点在第一象限，且到y轴的距离为5，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
22．【答案】（1）证明：
∵，∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等结合题意得到，进而结合题意等量代换，根据内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）先根据两直线平行，同旁内角互补得到，再根据角平分线的定义即可得到∠4的度数，进而结合题意进行角的运算即可求解。
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
23．【答案】（1）设分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办个和个，由题意可列方程组得：
解得：
答：分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办60个和40个．
（2）（元），
答：两款手办全部销售完毕后该商家可以获利2140元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题关键在于准确找出题目中的等量关系并建立方程组。
（1）设购进“哪吒”款手办的数量为个，“敖丙”款手办的数量为个。根据题意，利用总数量和总金额建立方程组，通过解方程组即可求得两种手办的具体进货数量。
（2）在销售过程中，当“敖丙”款手办售出20个后，商家对该款手办实施九折促销策略，而“哪吒”款手办保持原价销售。根据这一销售方案进行计算，可得出最终的销售结果。
（1）设分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办个和个，由题意可列方程组得：
解得：
答：分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办60个和40个．
（2）（元），
答：两款手办全部销售完毕后该商家可以获利2140元．
24．【答案】（1）4；3；1
（2）设，∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∵先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，
∴，即，
当轴时，
，
∴．
∵，两点的“唯一值”，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
当轴时，同理可求点的坐标是．
综上可知，点的坐标是或；
（3）①∵点是，两点的“附中点”，∴，
∴，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
∴，
∵无论取何值，等式始终成立，
∴，
∴，
∴．
【知识点】整式的加减运算；点的坐标；加减消元法解二元一次方程组；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）∵，，∴，，
∵点是，两点的“附中点”，∴，
∴；，∴，，∴．
故答案为：4；3；1；
【分析】（1）化简运算：对题目中的立方根和算术平方根进行化简处理。
（2）概念应用：根据"附中点"的定义确定点P的坐标(x ， y )，利用平移性质推导出点Q的坐标(xQ， yQ)。
（3）分类讨论：
①：当轴时，直接计算坐标关系。
②：通过"附中点"定义建立方程组，用参数a表示变量m和n，得到关键点坐标：
和，最终根据"唯一值"条件求解参数。
4. 恒等式分析：对方程的成立条件进行讨论，确定t和s的值，并计算目标代数式的值。
（1）∵，，
∴，，
∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴；
∴，，
∴．
故答案为：4；3；1；
（2）设，
∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∵先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，
∴，即，
当轴时，
，
∴．
∵，两点的“唯一值”，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
当轴时，同理可求点的坐标是．
综上可知，点的坐标是或；
（3）①∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
∴，
∵无论取何值，等式始终成立，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）由题意可得：解得又，在第一象限，
所以，
于是：，，
∴．
（2）∵点的纵坐标是，∴，
∵，
∴，
整理得：，
又，
联立解得：
∴，，
∴．
（3）点的坐标是或．
【知识点】坐标与图形性质；平行线之间的距离；三角形的面积；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（3）如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
当时（即点在线段上时），
∵，
∴，
解得：，
所以：的坐标是．
当时（即点在线段的延长线上时），
同理可求得：的坐标是，
综上所述：点的坐标是或．
【分析】（1）利用非负数的性质建立方程组：，解得参数m=4后，应用三角形面积公式求解。
（2）通过面积关系式：，推导出2m=3t，结合方程2t m=1
解得：，再根据OE=2OC=4，确定点E坐标。
（3）连接OP、CP、CF，利用面积相等关系：，求得AF=18，
再由：，解得xP=±4。
分两种情况讨论：
①xP=4时（P在EF线段上）；
②xP=-4时（P在FE延长线上）分别求解。
（1）由题意可得：解得
又，在第一象限，
所以，
于是：，，
∴．
（2）∵点的纵坐标是，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
又，
联立解得：
∴，，
∴．
（3）如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
当时（即点在线段上时），
∵，
∴，
解得：，
所以：的坐标是．
当时（即点在线段的延长线上时），
同理可求得：的坐标是，
综上所述：点的坐标是或．
1 / 1湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·长沙期中）在这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的是，D选项符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查实数的大小比较，解题关键在于理解负数小于零的性质，以及负数的绝对值越大其值越小这一规律。通过直接比较各数的大小关系即可得出答案。
2．（2025七下·长沙期中）下列四幅图中，和是同旁内角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A.和是对顶角，A不合题意，
B.和是内错角，B不合题意，
C.和是同旁内角，C符合题意，
D.和不是同旁内角，D不合题意，
故选：C
【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的概念，掌握这些角的定义是解题的关键。通过逐项分析，结合同位角、内错角和同旁内角的定义进行判断。
3．（2025七下·长沙期中）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B中，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了图形的平移，根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，结合选项，逐项分析判断，得到的图案B，即可求解．
4．（2025七下·长沙期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2） B．（-6，3） C．（-4，-6） D．（3，-4）
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限，
A.（5，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
B.（-6，3）在第二象限，故本选项不符合题意；
C.（-4，-6）在第三象限，故本选项符合题意；
D.（3，-4）在第四象限，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
5．（2025七下·长沙期中）古代有一首歌谣是这样说的：栖树一群鸦，鸦树不知数．三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有只，树有棵，则由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故选：C．
【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组的能力，关键在于正确理解题意，找到等量关系，并准确建立方程组模型。根据题目描述的条件"三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树"，可以建立关于x和y的二元一次方程组。
6．（2025七下·长沙期中）下列命题中是假命题的是（　　）．
A．平移不改变图形的形状和大小 B．负数的平方根是负数
C．对顶角相等 D．若，那么
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；平方根的概念与表示
【解析】【解答】根据平移的性质可知：平移不会改变图形的形状和大小，选项A正确。
负数在实数范围内没有平方根，选项B错误。
对顶角的性质决定了它们必然相等，选项C正确。
若两条直线平行（），且其中一条垂直于第三条直线（），则另一条也必然垂直于第三条直线（），选项D正确。
故选：B。
【分析】本题综合考查了平移变换的性质、平方根的定义、对顶角的性质以及平行线与垂线的关系。
7．（2025七下·长沙期中）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（　　）
A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：当，时，，
∵，∴，
∴该微观粒子的能量的值在5和6之间．
故选：B．
【分析】本题主要考查了估算无理数大小。由题可知微观粒子的能量表达式为。根据不等式关系，可以推导出，由此得出最终结论。
8．（2025七下·长沙期中）长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图，这是红一方面军的长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示会宁会师的点的坐标为；
故选：C
【分析】本题考查的是坐标系中点的位置确定。解题的关键是正确建立坐标系并确定原点位置。根据题目给出的已知点坐标，可以构建合适的平面直角坐标系，进而确定原点的位置，从而得出所求点的坐标。
主要步骤：
1. 根据已知点坐标建立坐标系
2. 确定坐标系原点位置
3. 在建立的坐标系中确定目标点坐标
9．（2025七下·长沙期中）如图，直线分别与直线，相交于、，已知，平分交直线于点．则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质。解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质。首先计算，再根据角平分线定义求出。接着通过平行线的判定得出，最后利用平行线的性质求解即可。
10．（2025七下·长沙期中）已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程的解，则；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式的值为定值．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把代入原方程组得：，
解得：，则①错误；
②把代入原方程组得：，
解得：，则②错误；
③把代入原方程组得：，
即：，则③错误；
④，
得：，
得：，即：，则④正确；
故答案为：D.
【分析】将代入原方程组求出的值可判断①；把代入原方程组求得a可判断②；把代入原方程组求出a可判断③；利用加减消元法将原方程组变形为的形式即可判断④．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七下·长沙期中） 的相反数是　 　.
【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-3的相反数是3.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案。
12．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 　 　．
【答案】1
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在y轴上，
，
解得 ．
故答案为：1．
【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程，解得 ．
13．（2025七下·长沙期中）已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是　 　．
【答案】6
【知识点】二元一次方程的解；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得：2m 6=6，
2m=6+6，
m=6．
故答案为：6．
【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念。方程的解是指能够使方程两边相等的未知数的取值，理解并掌握二元一次方程解的定义是解决此类问题的关键。将给定的解代入方程中，通过计算可以求得m的具体数值。
14．（2025七下·长沙期中）已知，则点在第　 　象限。
【答案】二
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
∴点P在第二象限．
故答案为：二．
【分析】根据平方和算术平方根的非负性求出，，再判断P所在的象限．
15．（2025七下·长沙期中）如图，直线与相交于点O，，，则等于　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴（对顶角相等），
故答案为：．
【分析】本题主要考查角度的计算问题，解题的关键在于掌握直角的概念和对顶角相等的性质，运用这些知识即可解答题目。
16．（2025七下·长沙期中）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；平方根的性质
【解析】【解答】∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程。关键点在于理解一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。利用平方根的性质建立方程，然后通过解一元一次方程的方法求出未知数的值。
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·长沙期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数混合运算的相关知识，掌握正确的运算顺序和运算法则是解题的关键。运算过程中需要先进行乘法、开方运算和绝对值计算，最后再进行加减运算。
18．（2025七下·长沙期中）解方程组：．
【答案】解：
得，，解得
把 代入②得，，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可。
19．（2025七下·长沙期中）完成下面的证明．
已知：如图，在三角形中，于点，是上一点，．
求证：．
证明：（已知），
___________（　　）
___________，
（已知），
___________（_________）．
（___________）
【答案】证明：（已知）
（垂线定义）
（已知）
（同角的余角相等）
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：；垂线定义；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；余角；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定方法。解题关键在于灵活运用相关判定定理。首先根据垂直定义及同角的余角相等性质，可推导出，再依据"内错角相等则两直线平行"的判定准则，即可证明，从而得出正确答案。
20．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点．
（1）点的坐标________，的坐标________；
（2）请画出平移后的三角形；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1），
（2）如图，三角形即为所求
（3）。
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）∵点的对应点，
∴将三角形先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得三角形，
∵，，∴，．
故答案为：，；
【分析】 本题考查了图形平移变换的作图方法，其中关键在于确定平移后对应点的位置。
（1）通过已知点A(3，4)平移后的对应点A'( 2，2)，可以确定平移的规律，从而计算出点B'和C'的坐标。
（2）根据第(1)问得到的坐标结果，在坐标系中描出各点并连接成图形。
（3）采用分割填补法计算图形的面积。
（1）∵点的对应点，
∴将三角形先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得三角形，
∵，，
∴，．
故答案为：，；
（2）如图，三角形即为所求
（3）．
21．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点B是点A的“a阶开心点”（其中a为常数，且），例如点的“2阶开心点”为，即．
（1）若点C的坐标为，求点C的“3阶开心点”D的坐标．
（2）若点的“阶开心点”N在第一象限，且到y轴的距离为5，求点N的坐标．
【答案】（1）解：依题意得，∴点的“3阶开心点”的坐标为．
（2）解：点的“阶开心点”为，点的坐标为，即．
点在第一象限，且到y轴的距离为5，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；点的坐标
【解析】【分析】本题考查新定义运算、整式的加减、解一元一次方程等知识点，解题关键在于正确理解题目中“a阶开心点”的定义。
（1）根据题目给出的“阶开心点”的定义直接求解即可；
（2）首先利用新定义求出点A的“阶开心点”坐标，然后根据该点到y轴的距离为5这一条件建立方程并求解。
（1）解：依题意得，
∴点的“3阶开心点”的坐标为．
（2）解：点的“阶开心点”为，
点的坐标为，即．
点在第一象限，且到y轴的距离为5，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
22．（2025七下·长沙期中）如图，点在线段上，点，在线段上，，．
（1）求证：；
（2）若于点，平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：
∵，∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等结合题意得到，进而结合题意等量代换，根据内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）先根据两直线平行，同旁内角互补得到，再根据角平分线的定义即可得到∠4的度数，进而结合题意进行角的运算即可求解。
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
23．（2025七下·长沙期中）截至2025年3月19日，《哪吒2》累计报收票房（含点映、预售及海外票房）超151.80亿元，打破多项票房纪录．由于电影角色深受大家喜爱，某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，已知“哪吒”款手办每个进价为80元，售价为100元；“敖丙”款手办每个进价为100元，售价为130元．
（1）该商家两款手办分别购进多少个？（用二元一次方程组解答）
（2）当“敖丙”款手办卖掉20个之后，为了回馈广大国产动漫爱好者，该商家决定对“敖丙”款手办打九折进行销售，“哪吒”款手办按原价销售．两款手办全部销售完毕后该商家可以获利多少元？
【答案】（1）设分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办个和个，由题意可列方程组得：
解得：
答：分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办60个和40个．
（2）（元），
答：两款手办全部销售完毕后该商家可以获利2140元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题关键在于准确找出题目中的等量关系并建立方程组。
（1）设购进“哪吒”款手办的数量为个，“敖丙”款手办的数量为个。根据题意，利用总数量和总金额建立方程组，通过解方程组即可求得两种手办的具体进货数量。
（2）在销售过程中，当“敖丙”款手办售出20个后，商家对该款手办实施九折促销策略，而“哪吒”款手办保持原价销售。根据这一销售方案进行计算，可得出最终的销售结果。
（1）设分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办个和个，由题意可列方程组得：
解得：
答：分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办60个和40个．
（2）（元），
答：两款手办全部销售完毕后该商家可以获利2140元．
24．（2025七下·长沙期中）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足则把点称作，两点的“附中点”；且把数值称作，两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点是，两点的“附中点”，则________，________，，两点的“唯一值”________（将正确的答案填写在相应的横线上）；
（2）已知点，且点是，两点的“附中点”，先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，，两点的“唯一值”，求点的坐标；
（3）已知点是，两点的“附中点”，是，两点的“唯一值”，
①请用含有字母的式子表示“唯一值”；
②若无论取何值，等式始终成立（其中，是常数），求代数式的值．
【答案】（1）4；3；1
（2）设，∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∵先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，
∴，即，
当轴时，
，
∴．
∵，两点的“唯一值”，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
当轴时，同理可求点的坐标是．
综上可知，点的坐标是或；
（3）①∵点是，两点的“附中点”，∴，
∴，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
∴，
∵无论取何值，等式始终成立，
∴，
∴，
∴．
【知识点】整式的加减运算；点的坐标；加减消元法解二元一次方程组；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）∵，，∴，，
∵点是，两点的“附中点”，∴，
∴；，∴，，∴．
故答案为：4；3；1；
【分析】（1）化简运算：对题目中的立方根和算术平方根进行化简处理。
（2）概念应用：根据"附中点"的定义确定点P的坐标(x ， y )，利用平移性质推导出点Q的坐标(xQ， yQ)。
（3）分类讨论：
①：当轴时，直接计算坐标关系。
②：通过"附中点"定义建立方程组，用参数a表示变量m和n，得到关键点坐标：
和，最终根据"唯一值"条件求解参数。
4. 恒等式分析：对方程的成立条件进行讨论，确定t和s的值，并计算目标代数式的值。
（1）∵，，
∴，，
∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴；
∴，，
∴．
故答案为：4；3；1；
（2）设，
∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∵先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，
∴，即，
当轴时，
，
∴．
∵，两点的“唯一值”，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
当轴时，同理可求点的坐标是．
综上可知，点的坐标是或；
（3）①∵点是，两点的“附中点”，
∴，
∴，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
∴，
∵无论取何值，等式始终成立，
∴，
∴，
∴．
25．（2025七下·长沙期中）在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接．
（1）若，求三角形的面积；
（2）如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标；
（3）在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标．
【答案】（1）由题意可得：解得又，在第一象限，
所以，
于是：，，
∴．
（2）∵点的纵坐标是，∴，
∵，
∴，
整理得：，
又，
联立解得：
∴，，
∴．
（3）点的坐标是或．
【知识点】坐标与图形性质；平行线之间的距离；三角形的面积；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（3）如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
当时（即点在线段上时），
∵，
∴，
解得：，
所以：的坐标是．
当时（即点在线段的延长线上时），
同理可求得：的坐标是，
综上所述：点的坐标是或．
【分析】（1）利用非负数的性质建立方程组：，解得参数m=4后，应用三角形面积公式求解。
（2）通过面积关系式：，推导出2m=3t，结合方程2t m=1
解得：，再根据OE=2OC=4，确定点E坐标。
（3）连接OP、CP、CF，利用面积相等关系：，求得AF=18，
再由：，解得xP=±4。
分两种情况讨论：
①xP=4时（P在EF线段上）；
②xP=-4时（P在FE延长线上）分别求解。
（1）由题意可得：解得
又，在第一象限，
所以，
于是：，，
∴．
（2）∵点的纵坐标是，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
又，
联立解得：
∴，，
∴．
（3）如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
当时（即点在线段上时），
∵，
∴，
解得：，
所以：的坐标是．
当时（即点在线段的延长线上时），
同理可求得：的坐标是，
综上所述：点的坐标是或．
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