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　湖南省永州市新田县2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·新田期中）环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·新田期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·新田期中）湖南鲁丽绿色新材料科技产业园是新田县非常重要的一个招商引资项目，由“中国企业强”鲁丽集团有限公司投资建设．总投资约亿，其中亿用科学技术法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·新田期中）如图，这是“国”字立体刻字摆件，该摆件的主视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·新田期中）如图，，直线与、分别相交于E、F两点，平分，过点F作，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·新田期中）一个箱子里有个白球，个红球，个黑球，它们除颜色外其余均相同从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·新田期中）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　）．
A． B． C． D．
8．（2025九下·新田期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（　　）
A．9 B．10 C．13 D．14
9．（2025九下·新田期中）如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九下·新田期中）“强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（　　）
A．强 B．国 C．有 D．我
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九下·新田期中）因式分解： =　 　
12．（2025九下·新田期中）若式子 有意义，则实数m的取值范围是　 　.
13．（2025九下·新田期中）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是　 　．
14．（2025九下·新田期中）已知，在轴上，则点坐标　 　．
15．（2025九下·新田期中）等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于　 　.
16．（2025九下·新田期中）如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为　 　．
17．（2025九下·新田期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则　 　．（答案保留根号）
18．（2025九下·新田期中）已知二次函数的图像，如图所示，其对称轴是直线，分析下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中正确的结论有　 　（填序号）．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分）
19．（2025九下·新田期中）计算：．
20．（2025九下·新田期中）先化简，再求值：，其中．
21．（2025九下·新田期中）学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行分析，把成绩（满分分）分成四个等级（，，，）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据信息作答：
（1）随机抽取了________名学生，扇形统计图中，________，“等级”所对应的扇形圆心角的大小是________；
（2）补全条形统计图，随机抽取学生的成绩的中位数落在________等级；
（3）如果全校一共有人参加朗诵比赛，根据抽样调查的结果，估计成绩不低于分的人数．
22．（2025九下·新田期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，平分，若，求的长度．
23．（2025九下·新田期中）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
（1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
24．（2025九下·新田期中）图1是我国古代提水的器具枯槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
（1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶水平移动的距离（结果精确到米）．（参考数据：）
25．（2025九下·新田期中）综合与实践
某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值；
（3）如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由．
26．（2025九下·新田期中）如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题：
（1）求证：．
（2）求的值．
（3）如图2，在上取一点F，使．
①判断与的数量关系，并说明理由．
②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 计算，原式结果错误，A不符合题意；
B. 计算，原式结果正确，B符合题意；
C. 计算，原式结果错误，C不符合题意；
D. 计算，原式结果错误，D不符合题意。
故选：B．
【分析】本题考查幂的运算性质，包括：
1. 合并同类项法则（选项A）
2. 同底数幂的乘法与除法（选项B、C）
3. 积的乘方与幂的乘方（选项D）
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：．
【分析】本题考查科学记数法的应用。解题步骤如下：
1. 将"64亿"转换为数字形式，即；
2. 根据科学记数法要求，将数字表示为的形式，其中；
3. 确定和的具体数值。
关键点在于正确选取符合范围的值，并准确计算指数的值。
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，底层是一个长方形，上层是一个“国”字．
故选：B．
【分析】本题主要考查几何体的三视图知识，其中从正面观察物体时所得到的视图称为主视图。
根据三视图的定义，主视图就是从物体正前方观察所得到的平面图形，因此通过识别从正面看到的图形即可确定主视图。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】如图所示，过点P作
∵，平分，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴．
故选：C．
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、垂直的定义以及角平分线的概念。解题步骤如下：
1. 过点P作辅助线。
2. 根据角平分线性质，可得。
3. 进一步计算得出。
4. 通过平行线的判定，证明。
5. 最后利用平行线的性质，求解所需的角或关系。
6．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的箱子里有有7个白球，2个红球，1个黑球，
∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是：.
故答案为：B.
【分析】根据题意，先求出球的总数，再根据概率公式，求出摸出红球的概率.
7．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：，，∴山水画所在纸面的面积为，
故选：．
【分析】本题重点考查扇形面积的计算方法，掌握扇形面积公式是解答的关键。解题思路：将山水画纸面的面积转化为两个扇形（大扇形与小扇形）的面积之差来计算。
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，∴，，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是14，
故选：D．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质以及线段垂直平分线的性质。根据平行四边形的对边相等性质可得：，。再根据垂直平分线的性质得出，进而通过计算即可求得最终结果。
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平移的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，∴当时，如图：
∴；
当时，如图：
∴；
∴，
由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应，
故选：B．
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象特征、二次函数性质及其应用。分别计算在区间和时，y关于x的函数表达式，根据所得函数关系式进行分析判断即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】归纳与类比；猜想与证明；逻辑推理
【解析】【解答】根据题意处应填的汉字是“国”．如下图
．
故选：B．
【分析】本题考查的是“数独”填字游戏的解法，运用了以下核心技巧：1.唯一候选数法：通过单元格可能填入的数字唯一性确定答案；
2.唯一数法：根据行、列或宫内的数字唯一性直接填充；
3.排除法：排除其他不可能选项，锁定唯一解；
4.摒除法：结合行列宫的限制逐步排除矛盾选项。
解题关键在于综合协调运用上述方法完成填数。
11．【答案】2x（x+2）（x－2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】本题首先提取公因式2x，然后再利用平方差公式进行因式分解．
12．【答案】m≥﹣2且m≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知： .
∴m≥﹣2且m≠1.
故答案是：m≥﹣2且m≠1.
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件解题即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：当时，原方程为，解得，满足题意；
当时，原方程可化为
由题意得：，解得：；
综上所述：，
故答案为：
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与参数的关系。对于一元二次方程的一般形式，判别式决定了方程的根的情况：
1. 当时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当时，方程有两个相等的实数根；
3. 当时，方程无实数根。
解题时需要分两种情况讨论：
① 当二次项系数时，方程退化为一次方程；
② 当时，通过判别式分析根的分布情况。
综合这两种情况即可求出参数的取值范围。
14．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在轴上，，
解得：，
，
．
故答案：．
【分析】本题主要考查坐标轴上点的坐标特征，理解并掌握该特征是解题的关键。
根据数学定义，在轴上的点的纵坐标必定为，这是解决此类问题的核心依据。
15．【答案】15或18
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】当底边长度为7时，另外两条边的长度均为4。此时边长组合7、4、4满足三角形构成条件，其周长为15。当腰长为7时，另外两条边分别为4和7。此时边长组合4、7、7符合三角形构成要求，其周长为18。
故答案是：15或18。
【分析】本题主要考查了等腰三角形的概念。
16．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，
则，
∴，
∵函数图象位于一、三象限，
∴，
∴取．
故答案为：12．
【分析】设，根据反比例函数k的几何意义可得，再根据反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵为的黄金分割点（），，∴，
∴，
∴的长度为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查黄金分割的概念及其计算。根据黄金分割的定义，当点P将线段AB分成两部分AP和BP（AP>BP），且满足AP2=AB×BP时，称点P为线段AB的黄金分割点。黄金分割的比例值为≈0.618。具体计算过程如下：设AB=1，AP=x，则BP=1-x。
根据黄金分割定义得比例关系：
即
解方程得：
因此AP的长度为。
关键概念说明：
1. 黄金分割点将线段分为较长部分和较短部分
2. 满足比例关系：全段/较长部分=较长部分/较短部分
3. 黄金比值≈0.618具有美学意义
18．【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，
∵时，，即，
∴，即，所以①错误；
∵时，，即；时，，即，
∴，
∴，所以②正确；
∵时，，即，
∴，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴，，所以④错误；
∵时，y有最大值，
∴，
而，
∴，所以⑤错误．
答案为：②③．
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，需要掌握以下关键知识点：开口方向由二次项系数a决定： 当时，抛物线开口向上， 当时，抛物线开口向下；对称轴位置由a、b共同决定：a与b同号时，对称轴在y轴左侧，a与b异号时，对称轴在y轴右侧；抛物线与y轴的交点由常数项c决定，交点为；抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ决定：时，有2个交，时，有1个交点，时，无交点。①利用对称轴方程得到，再利用时，得到；②利用时，；时，，得到；③利用时，，即；④利用抛物线与x轴的一个交点在和之间；⑤利用时，y有最大值得到，然后利用进行判断．
19．【答案】解：原式=
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
20．【答案】解：原式
．
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
21．【答案】（1）；；
（2）解：由（1）可得：等级的人数为人， 作图可得：
∵总人数为人，
∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
∴中位数落在等级；
故答案为：B；
（3）解：由题意可得：（人），
答：成绩不低于分的人数为人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的，
所以：总人数为：（人）
所以：的人数为：（人）
所以：
所以：所对应的扇形圆心角的大小是：
故答案为：；；
（2）解：因为：总人数为人，
所以：中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
所以：中位数落在等级；
故答案为：B；
【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图的应用，以及数据分析能力。解题的关键在于从扇形统计图和条形统计图中提取有效信息并进行整合。（1）根据等级的人数和其在总体中的占比计算出总人数，求出等级的人数。计算等级在总体中的占比，最后用等级的占比来确定对应的圆心角度数。
(2)在第一问的基础上，利用求得的等级人数绘制相应的条形图。同时根据数据的分布特征确定中位数的位置并计算其数值。
(3)通过总人数乘以分数在分以上的学生所占比例，得出符合条件的学生人数。
（1）解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的，
∴总人数为：（人）
∴的人数为：（人）
∴
∴所对应的扇形圆心角的大小是：
故答案为：；；
（2）解：由（1）可得：等级的人数为人， 作图可得：
∵总人数为人，
∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
∴中位数落在等级；
故答案为：B；
（3）解：由题意可得：（人），
答：成绩不低于分的人数为人．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形∴，，
∵，
∴且
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形
∴，，
∵是的平分线，，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先证明四边形是一个平行四边形，再根据条件证明它是一个矩形；
（2）利用含30度角的直角三角形性质计算的长度，再通过勾股定理求出。由矩形的性质可知且，最后在直角三角形中求解的长度。
（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∵，
∴且
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形
∴，，
∵是的平分线，，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程、一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意并掌握相关解题方法是关键。
（1）求单价：设A、B两种哪吒玩偶的单价分别为元和元。根据题意列出方程，通过解方程可求得单价。
（2）数量关系最优解：设购进A种玩偶个，则B种为个。根据数量限制条件，解得建立费用函数，利用一次函数性质求解最优方案
（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，
∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且．
24．【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴AO=AB，
∵米，
∴米，
∴cos30°==，
∴米，
∴即点到小竹竿的距离为米
（2）解：过点作于点，交于点，
由（1）可得米，，
∴，
∴，
∵，
∴OH≈4×0.6=2.4米，
∴GH=OG-OH=3.5-2.4=1.1米
∴水桶水平移动的距离1.1米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点作于点，先说明四边形是矩形，，，根据30°角的余弦值即可得出答案；
（2）过点作于点，交于点，同（1）求出OH的长度，再利用角的和差即可得出答案.
（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵米，点是的中点，
∴米，
在中，米，
∴米，
∴米，
即点到小竹竿的距离为米；
（2）解：如图所示，过点作于点，交于点，
由（1）可得，米，米，，
∴，
∴，
在中，，
∴米，
∴米，
∴水桶水平移动的距离米．
25．【答案】（1）解：由题意可得，抛物线的最高点为，设抛物线解析式为，
把代入得到，，
解得，
∴
（2）解：设，则由已知及抛物线的对称性可知，，，，，，
∴，
米，米，
设搭建支架需要钢材的长度为米，
∴，
∵，
∴当时， 取得最大值为，
即需要钢材长度的最大值为米
（3）符合条件的灯的列数为或，理由如下：由已知可知，（米），米，
∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，
∴若顶部C处安装一列灯，则的两旁还可以各安装（列）
此时安装灯的列数为（列），
若顶部C处不安装灯，则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米，
此时安装灯的列数为（列），
综上可知， 符合条件的灯的列数为或
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，需要熟练掌握二次函数的图象与性质。
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，得到，根据二次函数的性质求最值即可；
（3）相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，据此进行分类讨论解答即可。
（1）解：由题意可得，抛物线的最高点为，
设抛物线解析式为，
把代入得到，，
解得，
∴；
（2）解：设，
则由已知及抛物线的对称性可知，，，，，，
∴，
米，米，
设搭建支架需要钢材的长度为米，
∴，
∵，
∴当时， 取得最大值为，
即需要钢材长度的最大值为米；
（3）符合条件的灯的列数为或，理由如下：
由已知可知，（米），米，
∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，
∴若顶部C处安装一列灯，则的两旁还可以各安装（列）
此时安装灯的列数为（列），
若顶部C处不安装灯，则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米，
此时安装灯的列数为（列），
综上可知， 符合条件的灯的列数为或
26．【答案】（1）证明：如图，连接，设与相交于点，
∵ 直线与相切于点A，
∴，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点A是的中点，，
∴，
∵ 四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①判断：，理由：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴；
②如图，连接OI，OB，
∵，，
∴I是BD中点，
∴，
∴点A，I，O三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
设，，
则，，
，即，
解得：，
∴，，，
如图，过点F作于J，过点O作于K，
∵点F为角平分线交点，
∴，
由题意得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；解直角三角形—边角关系；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，设与相交于点，根据切线的性质、垂径定理推论得，从而得，进而得，由圆周角定理得，进行等量代换即可得证结论；
（2）先推出，由（1）得，从而证明出，根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到，进行整理即可求解；
（3）①判断：，根据等角对等边即可证明；②连接OI，OB，先得出点A，I，O三点共线，进一步求出．设，，利用勾股定理，解得，，，，过点F作于J，过点O作于K，由题意得，进一步证明出，得出，利用勾股定理求出，即可求解．
1 / 1　湖南省永州市新田县2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·新田期中）环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可．
2．（2025九下·新田期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 计算，原式结果错误，A不符合题意；
B. 计算，原式结果正确，B符合题意；
C. 计算，原式结果错误，C不符合题意；
D. 计算，原式结果错误，D不符合题意。
故选：B．
【分析】本题考查幂的运算性质，包括：
1. 合并同类项法则（选项A）
2. 同底数幂的乘法与除法（选项B、C）
3. 积的乘方与幂的乘方（选项D）
3．（2025九下·新田期中）湖南鲁丽绿色新材料科技产业园是新田县非常重要的一个招商引资项目，由“中国企业强”鲁丽集团有限公司投资建设．总投资约亿，其中亿用科学技术法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：．
【分析】本题考查科学记数法的应用。解题步骤如下：
1. 将"64亿"转换为数字形式，即；
2. 根据科学记数法要求，将数字表示为的形式，其中；
3. 确定和的具体数值。
关键点在于正确选取符合范围的值，并准确计算指数的值。
4．（2025九下·新田期中）如图，这是“国”字立体刻字摆件，该摆件的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，底层是一个长方形，上层是一个“国”字．
故选：B．
【分析】本题主要考查几何体的三视图知识，其中从正面观察物体时所得到的视图称为主视图。
根据三视图的定义，主视图就是从物体正前方观察所得到的平面图形，因此通过识别从正面看到的图形即可确定主视图。
5．（2025九下·新田期中）如图，，直线与、分别相交于E、F两点，平分，过点F作，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】如图所示，过点P作
∵，平分，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴．
故选：C．
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、垂直的定义以及角平分线的概念。解题步骤如下：
1. 过点P作辅助线。
2. 根据角平分线性质，可得。
3. 进一步计算得出。
4. 通过平行线的判定，证明。
5. 最后利用平行线的性质，求解所需的角或关系。
6．（2025九下·新田期中）一个箱子里有个白球，个红球，个黑球，它们除颜色外其余均相同从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的箱子里有有7个白球，2个红球，1个黑球，
∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是：.
故答案为：B.
【分析】根据题意，先求出球的总数，再根据概率公式，求出摸出红球的概率.
7．（2025九下·新田期中）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：，，∴山水画所在纸面的面积为，
故选：．
【分析】本题重点考查扇形面积的计算方法，掌握扇形面积公式是解答的关键。解题思路：将山水画纸面的面积转化为两个扇形（大扇形与小扇形）的面积之差来计算。
8．（2025九下·新田期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（　　）
A．9 B．10 C．13 D．14
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，∴，，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是14，
故选：D．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质以及线段垂直平分线的性质。根据平行四边形的对边相等性质可得：，。再根据垂直平分线的性质得出，进而通过计算即可求得最终结果。
9．（2025九下·新田期中）如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平移的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，∴当时，如图：
∴；
当时，如图：
∴；
∴，
由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应，
故选：B．
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象特征、二次函数性质及其应用。分别计算在区间和时，y关于x的函数表达式，根据所得函数关系式进行分析判断即可得出答案。
10．（2025九下·新田期中）“强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（　　）
A．强 B．国 C．有 D．我
【答案】B
【知识点】归纳与类比；猜想与证明；逻辑推理
【解析】【解答】根据题意处应填的汉字是“国”．如下图
．
故选：B．
【分析】本题考查的是“数独”填字游戏的解法，运用了以下核心技巧：1.唯一候选数法：通过单元格可能填入的数字唯一性确定答案；
2.唯一数法：根据行、列或宫内的数字唯一性直接填充；
3.排除法：排除其他不可能选项，锁定唯一解；
4.摒除法：结合行列宫的限制逐步排除矛盾选项。
解题关键在于综合协调运用上述方法完成填数。
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九下·新田期中）因式分解： =　 　
【答案】2x（x+2）（x－2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】本题首先提取公因式2x，然后再利用平方差公式进行因式分解．
12．（2025九下·新田期中）若式子 有意义，则实数m的取值范围是　 　.
【答案】m≥﹣2且m≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知： .
∴m≥﹣2且m≠1.
故答案是：m≥﹣2且m≠1.
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件解题即可求出答案.
13．（2025九下·新田期中）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：当时，原方程为，解得，满足题意；
当时，原方程可化为
由题意得：，解得：；
综上所述：，
故答案为：
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与参数的关系。对于一元二次方程的一般形式，判别式决定了方程的根的情况：
1. 当时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当时，方程有两个相等的实数根；
3. 当时，方程无实数根。
解题时需要分两种情况讨论：
① 当二次项系数时，方程退化为一次方程；
② 当时，通过判别式分析根的分布情况。
综合这两种情况即可求出参数的取值范围。
14．（2025九下·新田期中）已知，在轴上，则点坐标　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵在轴上，，
解得：，
，
．
故答案：．
【分析】本题主要考查坐标轴上点的坐标特征，理解并掌握该特征是解题的关键。
根据数学定义，在轴上的点的纵坐标必定为，这是解决此类问题的核心依据。
15．（2025九下·新田期中）等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于　 　.
【答案】15或18
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】当底边长度为7时，另外两条边的长度均为4。此时边长组合7、4、4满足三角形构成条件，其周长为15。当腰长为7时，另外两条边分别为4和7。此时边长组合4、7、7符合三角形构成要求，其周长为18。
故答案是：15或18。
【分析】本题主要考查了等腰三角形的概念。
16．（2025九下·新田期中）如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为　 　．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设，
则，
∴，
∵函数图象位于一、三象限，
∴，
∴取．
故答案为：12．
【分析】设，根据反比例函数k的几何意义可得，再根据反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
17．（2025九下·新田期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则　 　．（答案保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵为的黄金分割点（），，∴，
∴，
∴的长度为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查黄金分割的概念及其计算。根据黄金分割的定义，当点P将线段AB分成两部分AP和BP（AP>BP），且满足AP2=AB×BP时，称点P为线段AB的黄金分割点。黄金分割的比例值为≈0.618。具体计算过程如下：设AB=1，AP=x，则BP=1-x。
根据黄金分割定义得比例关系：
即
解方程得：
因此AP的长度为。
关键概念说明：
1. 黄金分割点将线段分为较长部分和较短部分
2. 满足比例关系：全段/较长部分=较长部分/较短部分
3. 黄金比值≈0.618具有美学意义
18．（2025九下·新田期中）已知二次函数的图像，如图所示，其对称轴是直线，分析下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中正确的结论有　 　（填序号）．
【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，
∵时，，即，
∴，即，所以①错误；
∵时，，即；时，，即，
∴，
∴，所以②正确；
∵时，，即，
∴，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴，，所以④错误；
∵时，y有最大值，
∴，
而，
∴，所以⑤错误．
答案为：②③．
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，需要掌握以下关键知识点：开口方向由二次项系数a决定： 当时，抛物线开口向上， 当时，抛物线开口向下；对称轴位置由a、b共同决定：a与b同号时，对称轴在y轴左侧，a与b异号时，对称轴在y轴右侧；抛物线与y轴的交点由常数项c决定，交点为；抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ决定：时，有2个交，时，有1个交点，时，无交点。①利用对称轴方程得到，再利用时，得到；②利用时，；时，，得到；③利用时，，即；④利用抛物线与x轴的一个交点在和之间；⑤利用时，y有最大值得到，然后利用进行判断．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分）
19．（2025九下·新田期中）计算：．
【答案】解：原式=
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
20．（2025九下·新田期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
21．（2025九下·新田期中）学校举行“爱我中华，朗诵经典”班级朗诵比赛，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行分析，把成绩（满分分）分成四个等级（，，，）进行统计，并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据信息作答：
（1）随机抽取了________名学生，扇形统计图中，________，“等级”所对应的扇形圆心角的大小是________；
（2）补全条形统计图，随机抽取学生的成绩的中位数落在________等级；
（3）如果全校一共有人参加朗诵比赛，根据抽样调查的结果，估计成绩不低于分的人数．
【答案】（1）；；
（2）解：由（1）可得：等级的人数为人， 作图可得：
∵总人数为人，
∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
∴中位数落在等级；
故答案为：B；
（3）解：由题意可得：（人），
答：成绩不低于分的人数为人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的，
所以：总人数为：（人）
所以：的人数为：（人）
所以：
所以：所对应的扇形圆心角的大小是：
故答案为：；；
（2）解：因为：总人数为人，
所以：中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
所以：中位数落在等级；
故答案为：B；
【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图的应用，以及数据分析能力。解题的关键在于从扇形统计图和条形统计图中提取有效信息并进行整合。（1）根据等级的人数和其在总体中的占比计算出总人数，求出等级的人数。计算等级在总体中的占比，最后用等级的占比来确定对应的圆心角度数。
(2)在第一问的基础上，利用求得的等级人数绘制相应的条形图。同时根据数据的分布特征确定中位数的位置并计算其数值。
(3)通过总人数乘以分数在分以上的学生所占比例，得出符合条件的学生人数。
（1）解：由图可得：等级的人数为人，占了总数的，
∴总人数为：（人）
∴的人数为：（人）
∴
∴所对应的扇形圆心角的大小是：
故答案为：；；
（2）解：由（1）可得：等级的人数为人， 作图可得：
∵总人数为人，
∴中位数为第个人和第个人的成绩平均值，
∴中位数落在等级；
故答案为：B；
（3）解：由题意可得：（人），
答：成绩不低于分的人数为人．
22．（2025九下·新田期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，平分，若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形∴，，
∵，
∴且
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形
∴，，
∵是的平分线，，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先证明四边形是一个平行四边形，再根据条件证明它是一个矩形；
（2）利用含30度角的直角三角形性质计算的长度，再通过勾股定理求出。由矩形的性质可知且，最后在直角三角形中求解的长度。
（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∵，
∴且
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形
∴，，
∵是的平分线，，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
23．（2025九下·新田期中）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
（1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
【答案】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程、一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意并掌握相关解题方法是关键。
（1）求单价：设A、B两种哪吒玩偶的单价分别为元和元。根据题意列出方程，通过解方程可求得单价。
（2）数量关系最优解：设购进A种玩偶个，则B种为个。根据数量限制条件，解得建立费用函数，利用一次函数性质求解最优方案
（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，
∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且．
24．（2025九下·新田期中）图1是我国古代提水的器具枯槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
（1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶水平移动的距离（结果精确到米）．（参考数据：）
【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴AO=AB，
∵米，
∴米，
∴cos30°==，
∴米，
∴即点到小竹竿的距离为米
（2）解：过点作于点，交于点，
由（1）可得米，，
∴，
∴，
∵，
∴OH≈4×0.6=2.4米，
∴GH=OG-OH=3.5-2.4=1.1米
∴水桶水平移动的距离1.1米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点作于点，先说明四边形是矩形，，，根据30°角的余弦值即可得出答案；
（2）过点作于点，交于点，同（1）求出OH的长度，再利用角的和差即可得出答案.
（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵米，点是的中点，
∴米，
在中，米，
∴米，
∴米，
即点到小竹竿的距离为米；
（2）解：如图所示，过点作于点，交于点，
由（1）可得，米，米，，
∴，
∴，
在中，，
∴米，
∴米，
∴水桶水平移动的距离米．
25．（2025九下·新田期中）综合与实践
某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值；
（3）如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，抛物线的最高点为，设抛物线解析式为，
把代入得到，，
解得，
∴
（2）解：设，则由已知及抛物线的对称性可知，，，，，，
∴，
米，米，
设搭建支架需要钢材的长度为米，
∴，
∵，
∴当时， 取得最大值为，
即需要钢材长度的最大值为米
（3）符合条件的灯的列数为或，理由如下：由已知可知，（米），米，
∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，
∴若顶部C处安装一列灯，则的两旁还可以各安装（列）
此时安装灯的列数为（列），
若顶部C处不安装灯，则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米，
此时安装灯的列数为（列），
综上可知， 符合条件的灯的列数为或
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，需要熟练掌握二次函数的图象与性质。
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，得到，根据二次函数的性质求最值即可；
（3）相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，据此进行分类讨论解答即可。
（1）解：由题意可得，抛物线的最高点为，
设抛物线解析式为，
把代入得到，，
解得，
∴；
（2）解：设，
则由已知及抛物线的对称性可知，，，，，，
∴，
米，米，
设搭建支架需要钢材的长度为米，
∴，
∵，
∴当时， 取得最大值为，
即需要钢材长度的最大值为米；
（3）符合条件的灯的列数为或，理由如下：
由已知可知，（米），米，
∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，
∴若顶部C处安装一列灯，则的两旁还可以各安装（列）
此时安装灯的列数为（列），
若顶部C处不安装灯，则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米，
此时安装灯的列数为（列），
综上可知， 符合条件的灯的列数为或
26．（2025九下·新田期中）如图1，四边形内接于，点A是的中点，．直线与相切于点A，交的延长线于点E，已知，思考并解决以下问题：
（1）求证：．
（2）求的值．
（3）如图2，在上取一点F，使．
①判断与的数量关系，并说明理由．
②如图3，作于点H，于点I．若，，连接，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：如图，连接，设与相交于点，
∵ 直线与相切于点A，
∴，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点A是的中点，，
∴，
∵ 四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①判断：，理由：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴；
②如图，连接OI，OB，
∵，，
∴I是BD中点，
∴，
∴点A，I，O三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
设，，
则，，
，即，
解得：，
∴，，，
如图，过点F作于J，过点O作于K，
∵点F为角平分线交点，
∴，
由题意得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；解直角三角形—边角关系；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，设与相交于点，根据切线的性质、垂径定理推论得，从而得，进而得，由圆周角定理得，进行等量代换即可得证结论；
（2）先推出，由（1）得，从而证明出，根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到，进行整理即可求解；
（3）①判断：，根据等角对等边即可证明；②连接OI，OB，先得出点A，I，O三点共线，进一步求出．设，，利用勾股定理，解得，，，，过点F作于J，过点O作于K，由题意得，进一步证明出，得出，利用勾股定理求出，即可求解．
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