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湖南省郴州市部分学校2024-2025学年度七年级下期期中考试数学
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·郴州期中）实数：，，，，，中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025七下·郴州期中）若，则下列变形错误的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·郴州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·郴州期中）某同学解不等式组在数轴上表示解集的过程中，画的数轴除不完整外没有其他问题，他画的数轴如下图所示，他解的不等式组可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·郴州期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（　　）
A．或 B． C． D．
6．（2025七下·郴州期中）下列说法，正确的是（　　）
A．所有的实数都可以用数轴上的点来表示
B．的平方根是
C．的绝对值是
D．无限小数都是无理数
7．（2025七下·郴州期中）一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·郴州期中）如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·郴州期中）下列能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·郴州期中）若，，则的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·郴州期中）若，则的结果是　 　．
12．（2025七下·郴州期中）计算的结果为　 　．
13．（2025七下·郴州期中）一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是　 　．
14．（2025七下·郴州期中）若，，则　 　．
15．（2025七下·郴州期中）关于的不等式的解集是，那么的取值范围是　 　．
16．（2025七下·郴州期中）比较大小：　 　（填、或）
17．（2025七下·郴州期中）若，，，则　 　（用、、来表示）
18．（2025七下·郴州期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题6分，第20、21、22、23、24题各8分，第25、26题各10分．共66分）
19．（2025七下·郴州期中）计算：
20．（2025七下·郴州期中）求满足多项式的值不超过5的的负整数．
21．（2025七下·郴州期中）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
22．（2025七下·郴州期中）先化简，再求值．其中的值是不等式的最小整数解
23．（2025七下·郴州期中）2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元．
（1）求每个足球、篮球的价格是多少元？
（2）如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？
24．（2025七下·郴州期中）已知关于、的方程组的解满足，，求的取值范围
25．（2025七下·郴州期中）阅读理解：若满足，求的值，
解：设，，则有：
，，
所以
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现：（1）若满足，求的值；
类比探究：（2）若满足，求的值；
拓展延伸：（3）若，求的值
26．（2025七下·郴州期中）我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“郴永宜方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“郴永宜方程”．
（1）在方程①，②；③中，不等式组的“郴永宜方程”是________；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组，的“郴永宜方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：实数：，，，，，中，和是无理数，共2个，其他都是有理数，
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义逐一选出即可．
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，A不符合题意；
B、∵，∴，B不符合题意；
C、∵，∴，C不符合题意；
D、∵，∴当时，，当时，，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不正确；
B、，B正确；
C、，C不正确；
D、，D不正确；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A；根据积的乘方可判断B；根据完全平方公式可判断C；根据合并同类项法则可判断D．
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A、，解①得，解②得，无解，A错误；
B、，解①得，解②得，那么，B正确；
C、，解①得，解②得，那么，C错误；
D、，解①得，解②得，无解，D错误；
故答案为：B．
【分析】分别求出不等式的解集，进行判断即可．
5．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，，
∴或，
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式特征写出即可．
6．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的概念；实数的绝对值；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、所有的实数都可以用数轴上的点来表示，A正确；
B、的平方根是，B错误；
C、的绝对值是，C错误；
D、无限不循环小数都是无理数，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据实数与数轴的对应关系可判断A；根据平方根可判断B；根据实数的绝对值可判断C；根据无理数的定义可判断D.
7．【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：、利用“长宽”，求出大矩形的面积为：，A不符合题意；
、根据大正方形面积两个矩形面积之和：，B不符合题意；
、不能表示大矩形的面积，C符合题意；
、根据大正方形面积四个矩形面积之和：，D不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据大矩形的面积的求法逐一求解即可．
8．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组化为，
解集是，
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先分别计算出两个不等式的解，再根据不等式组的解集得，进行求解计算即可.
9．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、无相同的项，不能用平方差公式计算，A错误；
B、，能用平方差公式计算，B正确；
C、无相反的项，不能用平方差公式计算，C错误；
D、无相同的项，不能用平方差公式计算，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特点：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式逐一判断即可．
10．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：A．
【分析】先根据题意得出，，将代入第一个式子得出，进而得出，求解即可．
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：8.
【分析】根据幂的乘方及同底数的乘法计算法则对原式化简得：进而把代入计算即可.
12．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：1．
【分析】先将原式凑成平方差公式的形式，再进行计算即可．
13．【答案】9
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个不同平方根是a-1和5-2a，
∴a-1+5-2a=0，
∴a=4，
∴这个数为．
故答案为：9．
【分析】利用一个正数的两个不同平方互为相反数及互为相反数的两个数得和为零建立方程可求出a的值，进而根据平方根定义“一个数x的平方等于y，则这个数x就是y的平方根”求出这个正数.
14．【答案】3
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：3．
【分析】先因式分解得到，再根据平方差公式因式分解求出即可．
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴；
故答案为：．
【分析】根据不等式的解集得到，再计算即可．
16．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先化简立方根，将-3写出立方根的形式，再进行比较大小即可．
17．【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故答案为：．
【分析】根据被开方数的小数点每向左平移3位，立方根的小数点向左平移1位，直接求解即可．
18．【答案】0
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴；
∵，
∴；
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据多项式乘多项式展开，再根据甲乙得到的二元一次方程组进行求解，再代入求值即可．
19．【答案】解：原式
=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方、开立方、绝对值，开平方，再进行加减计算即可．
20．【答案】解：依题意得：
，
，
，
，
∴符合题意的负整数解是、、、
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】先根据题意列出一元一次不等式，再去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解不等式的解集，再取出整数解即可．
21．【答案】解：解不等式（1）得：
解不等式（2）得：
这两个不等式的解集在数轴上表示为：
∴这个不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”求出不等式组的解集即可．
22．【答案】解：原式
解不等式得：
∴它的最小整数解是
当时，原式的值
【知识点】一元一次不等式的特殊解；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和乘法公式以及单项式乘以多项式进行展开化简，再求得不等式的最小整数解，代值求解即可．
23．【答案】（1）解：设每个足球和篮球的价格分别是元、元，依题意得：，
解得：，
∴每个足球和篮球的价格分别是20元、50元
（2）解：设其中购买足球个，则购买足球个，根据题意得：，
解得：，
由题意得：取整数，
∴的值为32、33或34，
∴共有三种购买方案，他们分别是：
方案一：购买32个足球和8个篮球；
方案二：购买33个足球和7个篮球；
方案三：购买34个足球和6个篮球
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个足球和篮球的价格分别是元、元，根据总费用=单价乘数量和列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设其中购买足球个，则购买足球个，根据题意列出一元一次不等式组求出的范围，再根据为正整数得出购买方案即可．
（1）解：设每个足球和篮球的价格分别是元、元，依题意得：
，
解得：，
∴每个足球和篮球的价格分别是20元、50元．
（2）解：设其中购买足球个，则购买足球个，
根据题意得：，
解得：，
由题意得：取整数，
∴的值为32、33或34，
∴共有三种购买方案，他们分别是：
方案一：购买32个足球和8个篮球；
方案二：购买33个足球和7个篮球；
方案三：购买34个足球和6个篮球．
24．【答案】解：解方程组，得
这个方程组的解满足，，
于是有：
解得：
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】先求出二元一次方程组的解，再根据，列出关于m的一元一次不等式组，求解即可．
25．【答案】解：（1）设，则：
，，
；
（2）设，，则有：
，，
，
；
（3）设，，
，
，，
，，
，
，
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）设，，根据完全平方公式的变形求解即可；
（2）设，，将化为，求解即可；
（3）设，，可求出，，根据完全平方公式的变形求解即可；
26．【答案】（1）
（2）解：解方程得：，
解不等式组，得，
∵关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，
∴，
解得
（3）解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵此时不等式组有4个整数解，
∴，
解得，
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“郴永宜方程”，
∴在范围内，
∴，
解得，
综上所述，
【知识点】解含括号的一元一次方程；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：（1），解得：；
，解得：；
解得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
的解集为：，
在范围内，
∴不等式组 的“郴永宜方程”是；
故答案为：；
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐一判断即可；
（2）先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，再根据“郴永宜方程”的定义列出一元一次不等式，求解即可；
（3）先求出不等式组的解集，进而得出的范围，再求出一元一次方程的解为，根据“郴永宜方程”的定义列出一元一次不等式，最后取公共部分即可．
（1）解：，解得：；
，解得：；
解得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
的解集为：，
在范围内，
∴不等式组 的“郴永宜方程”是；
故答案为：；
（2）解：解方程得：，
解不等式组，得，
∵关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，
∴，
解得；
（3）解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵此时不等式组有4个整数解，
∴，
解得，
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“郴永宜方程”，
∴在范围内，
∴，
解得，
综上所述，．
1 / 1湖南省郴州市部分学校2024-2025学年度七年级下期期中考试数学
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·郴州期中）实数：，，，，，中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：实数：，，，，，中，和是无理数，共2个，其他都是有理数，
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义逐一选出即可．
2．（2025七下·郴州期中）若，则下列变形错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，A不符合题意；
B、∵，∴，B不符合题意；
C、∵，∴，C不符合题意；
D、∵，∴当时，，当时，，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
3．（2025七下·郴州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不正确；
B、，B正确；
C、，C不正确；
D、，D不正确；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A；根据积的乘方可判断B；根据完全平方公式可判断C；根据合并同类项法则可判断D．
4．（2025七下·郴州期中）某同学解不等式组在数轴上表示解集的过程中，画的数轴除不完整外没有其他问题，他画的数轴如下图所示，他解的不等式组可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A、，解①得，解②得，无解，A错误；
B、，解①得，解②得，那么，B正确；
C、，解①得，解②得，那么，C错误；
D、，解①得，解②得，无解，D错误；
故答案为：B．
【分析】分别求出不等式的解集，进行判断即可．
5．（2025七下·郴州期中）已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（　　）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，，
∴或，
故答案为：A．
【分析】根据完全平方公式特征写出即可．
6．（2025七下·郴州期中）下列说法，正确的是（　　）
A．所有的实数都可以用数轴上的点来表示
B．的平方根是
C．的绝对值是
D．无限小数都是无理数
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的概念；实数的绝对值；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、所有的实数都可以用数轴上的点来表示，A正确；
B、的平方根是，B错误；
C、的绝对值是，C错误；
D、无限不循环小数都是无理数，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据实数与数轴的对应关系可判断A；根据平方根可判断B；根据实数的绝对值可判断C；根据无理数的定义可判断D.
7．（2025七下·郴州期中）一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：、利用“长宽”，求出大矩形的面积为：，A不符合题意；
、根据大正方形面积两个矩形面积之和：，B不符合题意；
、不能表示大矩形的面积，C符合题意；
、根据大正方形面积四个矩形面积之和：，D不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据大矩形的面积的求法逐一求解即可．
8．（2025七下·郴州期中）如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组化为，
解集是，
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先分别计算出两个不等式的解，再根据不等式组的解集得，进行求解计算即可.
9．（2025七下·郴州期中）下列能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、无相同的项，不能用平方差公式计算，A错误；
B、，能用平方差公式计算，B正确；
C、无相反的项，不能用平方差公式计算，C错误；
D、无相同的项，不能用平方差公式计算，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特点：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式逐一判断即可．
10．（2025七下·郴州期中）若，，则的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：A．
【分析】先根据题意得出，，将代入第一个式子得出，进而得出，求解即可．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·郴州期中）若，则的结果是　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：8.
【分析】根据幂的乘方及同底数的乘法计算法则对原式化简得：进而把代入计算即可.
12．（2025七下·郴州期中）计算的结果为　 　．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：1．
【分析】先将原式凑成平方差公式的形式，再进行计算即可．
13．（2025七下·郴州期中）一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是　 　．
【答案】9
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个不同平方根是a-1和5-2a，
∴a-1+5-2a=0，
∴a=4，
∴这个数为．
故答案为：9．
【分析】利用一个正数的两个不同平方互为相反数及互为相反数的两个数得和为零建立方程可求出a的值，进而根据平方根定义“一个数x的平方等于y，则这个数x就是y的平方根”求出这个正数.
14．（2025七下·郴州期中）若，，则　 　．
【答案】3
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故答案为：3．
【分析】先因式分解得到，再根据平方差公式因式分解求出即可．
15．（2025七下·郴州期中）关于的不等式的解集是，那么的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴；
故答案为：．
【分析】根据不等式的解集得到，再计算即可．
16．（2025七下·郴州期中）比较大小：　 　（填、或）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先化简立方根，将-3写出立方根的形式，再进行比较大小即可．
17．（2025七下·郴州期中）若，，，则　 　（用、、来表示）
【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故答案为：．
【分析】根据被开方数的小数点每向左平移3位，立方根的小数点向左平移1位，直接求解即可．
18．（2025七下·郴州期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为　 　．
【答案】0
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴；
∵，
∴；
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据多项式乘多项式展开，再根据甲乙得到的二元一次方程组进行求解，再代入求值即可．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题6分，第20、21、22、23、24题各8分，第25、26题各10分．共66分）
19．（2025七下·郴州期中）计算：
【答案】解：原式
=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方、开立方、绝对值，开平方，再进行加减计算即可．
20．（2025七下·郴州期中）求满足多项式的值不超过5的的负整数．
【答案】解：依题意得：
，
，
，
，
∴符合题意的负整数解是、、、
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】先根据题意列出一元一次不等式，再去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解不等式的解集，再取出整数解即可．
21．（2025七下·郴州期中）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式（1）得：
解不等式（2）得：
这两个不等式的解集在数轴上表示为：
∴这个不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”求出不等式组的解集即可．
22．（2025七下·郴州期中）先化简，再求值．其中的值是不等式的最小整数解
【答案】解：原式
解不等式得：
∴它的最小整数解是
当时，原式的值
【知识点】一元一次不等式的特殊解；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和乘法公式以及单项式乘以多项式进行展开化简，再求得不等式的最小整数解，代值求解即可．
23．（2025七下·郴州期中）2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元．
（1）求每个足球、篮球的价格是多少元？
（2）如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？
【答案】（1）解：设每个足球和篮球的价格分别是元、元，依题意得：，
解得：，
∴每个足球和篮球的价格分别是20元、50元
（2）解：设其中购买足球个，则购买足球个，根据题意得：，
解得：，
由题意得：取整数，
∴的值为32、33或34，
∴共有三种购买方案，他们分别是：
方案一：购买32个足球和8个篮球；
方案二：购买33个足球和7个篮球；
方案三：购买34个足球和6个篮球
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个足球和篮球的价格分别是元、元，根据总费用=单价乘数量和列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设其中购买足球个，则购买足球个，根据题意列出一元一次不等式组求出的范围，再根据为正整数得出购买方案即可．
（1）解：设每个足球和篮球的价格分别是元、元，依题意得：
，
解得：，
∴每个足球和篮球的价格分别是20元、50元．
（2）解：设其中购买足球个，则购买足球个，
根据题意得：，
解得：，
由题意得：取整数，
∴的值为32、33或34，
∴共有三种购买方案，他们分别是：
方案一：购买32个足球和8个篮球；
方案二：购买33个足球和7个篮球；
方案三：购买34个足球和6个篮球．
24．（2025七下·郴州期中）已知关于、的方程组的解满足，，求的取值范围
【答案】解：解方程组，得
这个方程组的解满足，，
于是有：
解得：
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】先求出二元一次方程组的解，再根据，列出关于m的一元一次不等式组，求解即可．
25．（2025七下·郴州期中）阅读理解：若满足，求的值，
解：设，，则有：
，，
所以
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现：（1）若满足，求的值；
类比探究：（2）若满足，求的值；
拓展延伸：（3）若，求的值
【答案】解：（1）设，则：
，，
；
（2）设，，则有：
，，
，
；
（3）设，，
，
，，
，，
，
，
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）设，，根据完全平方公式的变形求解即可；
（2）设，，将化为，求解即可；
（3）设，，可求出，，根据完全平方公式的变形求解即可；
26．（2025七下·郴州期中）我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“郴永宜方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“郴永宜方程”．
（1）在方程①，②；③中，不等式组的“郴永宜方程”是________；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组，的“郴永宜方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：解方程得：，
解不等式组，得，
∵关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，
∴，
解得
（3）解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵此时不等式组有4个整数解，
∴，
解得，
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“郴永宜方程”，
∴在范围内，
∴，
解得，
综上所述，
【知识点】解含括号的一元一次方程；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：（1），解得：；
，解得：；
解得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
的解集为：，
在范围内，
∴不等式组 的“郴永宜方程”是；
故答案为：；
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐一判断即可；
（2）先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，再根据“郴永宜方程”的定义列出一元一次不等式，求解即可；
（3）先求出不等式组的解集，进而得出的范围，再求出一元一次方程的解为，根据“郴永宜方程”的定义列出一元一次不等式，最后取公共部分即可．
（1）解：，解得：；
，解得：；
解得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
的解集为：，
在范围内，
∴不等式组 的“郴永宜方程”是；
故答案为：；
（2）解：解方程得：，
解不等式组，得，
∵关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，
∴，
解得；
（3）解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵此时不等式组有4个整数解，
∴，
解得，
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“郴永宜方程”，
∴在范围内，
∴，
解得，
综上所述，．
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