资源简介

浙江省杭州市丁荷丁信中学联考2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·杭州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·杭州期中）图中，与是同位角的有（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·杭州期中）二元一次方程2x+3y=15的正整数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025七下·杭州期中）如图，下列不能判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·杭州期中）若x2+2（2p﹣3）x+4是完全平方式，则p的值等于（　　）
A． B．2 C．2或1 D． 或
6．（2025七下·杭州期中）分解因式a4﹣2a2+1的结果是（　　）
A．（a2+1）2 B．（a2﹣1）2
C．a2（a2﹣2） D．（a+1）2（a﹣1）2
7．（2025七下·杭州期中）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若，则（　　）
A．100° B．150° C．110° D．105°
8．（2025七下·杭州期中）如图，面积为的以每秒的速度沿射线方向平移，平移2秒后所得图形是（点在线段上），若，则图中的四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·杭州期中）已知关于，的方程组，则下列结论中：①当时，方程组的解是；②当，的值互为相反数时，；③不存在一个实数使得；④若，则正确的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025七下·杭州期中）在数学中，为了书写简便，我们通常记，如，，则化简的结果是（　　）
A． B．
C． D．；
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·杭州期中）PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为　 　 .
12．（2025七下·杭州期中）计算：　 　．
13．（2025七下·杭州期中）已知方程2x-3y=5，用含有x的式子表示y为　 　.
14．（2025七下·杭州期中）若，，，为正整数，则　 　（用含、的代数式来表示）．
15．（2025七下·杭州期中）若与的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为　 　.
16．（2025七下·杭州期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为　 　．
三、解答题（8题，共72分）
17．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025七下·杭州期中）解下列方程组：
（1）
（2）
19．（2025七下·杭州期中）如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
（1）将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形；
（2）连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________；
（3）如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________．
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知，，判断与的位置关系，并说明理由.
21．（2025七下·杭州期中）化简求值：
（1）已知，，求的值．
（2）已知，求代数式的值．
22．（2025七下·杭州期中）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完．
（1）求，两种笔记本的单价；
（2）由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本．
23．（2025七下·杭州期中）如图，已知，．
（1）证明：；
（2）若，
①，求的度数；
②求证：
24．（2025七下·杭州期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：．
（1）则图③可以解释为等式：______．
（2）如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______．
（3）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由负整数指数幂法则“”进行计算可判断A选项；由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加进行计算可判断B选项；由0指数幂的法则“a0=1(a≠0)”可判断C选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减进行计算可判断D选项.
2．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是内错角不是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2不是同位角，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是同位角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2不是同位角，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线同方向，且在截线同侧的两个角就是同位角，同位角形如字母“F”，据此可逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：2x+3y=15，
解得：x= ，
当y=1时，x=6；当y=3时，x=3，
则方程的正整数解有2对．
故答案为：B
【分析】用y表示x，分别令y为正整数，确定出x为正整数，即可求出方程的正整数解.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，∴，本选项不符合题意；
B、∵，∴，不能判断，本选项符合题意；
C、∵，∴，本选项不符合题意；
D、∵，∴，本选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可判断A选项；由 内错角相等，两直线平行可判断B、C选项；由同位角相等，两直线平行可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+2（2p﹣3）x+4是完全平方式，
∴2p 3=±2，
解得：p= 或 ，
故答案为：D.
【分析】
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a4﹣2a2+1
=（a2﹣1）2
=[（a+1）（a﹣1）]2
=（a+1）2（a﹣1）2．
故答案为：D．
【分析】先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式进行第二次分解，最后根据积的乘方写出写出结果.
7．【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，
∴∠BFE=∠EFH，
∵∠BFE+∠EFH+∠1=180°，∠1=30°，
，
又∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=180°-75°=105°；
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质可得∠BFE=∠EFH，然后根据平角可求出∠BFE的度数，嘴鸥由二直线平行，同旁内角互补可求出∠AEF的度数.
8．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
由平移的性质可得，
，
∵，
∴，
设的边上的高为，
则，
解得，
∴四边形的面积为
故答案为：C.
【分析】由路程、速度、时间三者的关系得BE=4cm，由平移的性质得AD=CF=BE=4cm，AD∥BC，由线段和差求出BC=7cm，设△ABC的边BC上的高为h，根据三角形面积公式结合△ABC的面积可求出h的值，进而根据梯形面积公式可算出四边形ABFD的面积.
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
解得，
①当a=10时，原方程组的解为 ，本选项正确；
②由x与y互为相反数，得到x+y=0，即25-a+15-a=0
解得：a=20，本选项正确；
③若x=y，则25-a=15-a
可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确；
④由题意得：x-3a=5
把x=25-a代入得
25-a-3a=5
解得a=5，本选项正确，
综上，正确的选项有四个.
故答案为：D.
【分析】先将字母a作为常数，解方程组，用含a的式子表示出原方程组的解；①把a=10代入原方程组的解，即可做出判断；
②根据题意得到x+y=0，代入方程组的解求出a的值，即可做出判断；③假如x=y，得到a无解，本选项正确；④根据题中等式得到x-3a=5，代入x=25-a求出a的值，即可做出判断.
10．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：
=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x2-2x-x+2+x2-3x-2x+6+x2-4x-3x+12
=3x2-15x+20；
故答案为：A．
【分析】根据新定义运算法则列出整式混合运算算式，然后根据多项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项即可.
11．【答案】2.5×10﹣6
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，
故答案为：2.5×10﹣6．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】此题两个因式的指数都较大，而且底数不是特殊数“1，-1与0”，故不能先计算乘方；再观察发现两个因式的底数乘以为-1，故可以逆用同底数幂的乘法将变成，再逆用积的乘方法则将原式变形为，进而先计算括号内的乘法，再计算乘方，最后再计算乘法可得答案.
13．【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：移项，得 3y=2x-5
方程两边都除以3，得 .
【分析】先通过移项将含有y的项移到方程一边，其余的项移到方程的另一边，然后利用等式性质2将y的系数化为1即可。
14．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】由同底数幂除法法则的逆用将待求式子变形为23m÷24n，再根据幂的乘方运算法则的逆用进一步变形为(2m)3÷(24)n，从而整体代入计算可得答案.
15．【答案】30°或110°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解： 若与的两边分别平行 ，此时分两种情况讨论：
①若与经过平移后可重合，则有∠A=∠B，∠A=2∠A-30°，解得∠A=30°；
②若∠A+∠B=180°，则有∠A=2(180°-∠A)-30°，解得∠A=110°.
故答案为：30°或110°
【分析】两角的两边分别平行，则两角相等，或两角之和为180°.
16．【答案】27°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图所示：
设，则，，，，，，，，，平分，，又，，，，即，，，，中，，
故答案为：．
【分析】由角平分线的概念、平行线的性质、外角的性质结合四边形内角和定理可推导出，此时可把转化到内部的上，再利用已知条件可直接求出和的值，最后再利用直角三角形两锐角互余求出即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用零指数幂法则“a0=1(a≠0)”和负整数指数幂“”、乘方法则分别计算，进而再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先利用单项式除以单项式法则及积的乘方法则分别进行计算，然后合并同类项即可.
（1）解：
（2）
18．【答案】（1）解：方程组，
把①代入②得，则，
将代入①中，得，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组，
得，
将代入①中，得，则，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中的①方程已经用含y的式子表示出了x，故利用代入消元法求解较为简单，首先将方程①代入②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可得到方程组的解；
（2）用方程①×3-②×2消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可得到方程组的解.
（1）解：方程组，
把①代入②得，则，
将代入①中，得，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组，
得，
将代入①中，得，则，
∴方程组的解为．
19．【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求，
（2），
（3）2
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：如图，
∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形，
∴，，
故答案为：，；
（3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形，
∴平移距离为的长，且，，，
∵三角形和五边形的周长分别是与，
∴，，
∴，
∴平移距离为的长，
故答案为：
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向上平移1个单位，向右平移2个单位后的对应点A'、B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可；
（2）根据平移的性质平移前后图形上对应点连线相等且平行或在同一直线上即可得出答案；
（3）由平移的性质得NN'=MM'，NP=N'P'，PM=P'M'，根据几何图形周长计算公式结合△MNP与五边形M'MNN'P'的周长分贝为5和9可列出方程2MM'=4，求解即可.
（1）解：如图所示，三角形即为所求，
（2）解：如图，
∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形，
∴，，
故答案为，；
（3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形，
∴平移距离为的长，且，，，
∵三角形和五边形的周长分别是与，
∴，，
∴，
∴平移距离为的长，
故答案为：
20．【答案】解：，理由如下：
∵
∴
∴
∵
∴
∴.
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】AD∥BC，理由如下：由内错角相等，两直线平行得出AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得出∠D=∠DAE，结合∠B=∠D，可推出∠B=∠DAE，从而再根据同位角相等，两直线平行得出AD∥BC.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴原式；
（2）解：∵，
∴，
∴原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）根据等式性质结合已知可得y-x=，然后将待求式子利用提取公因式法分解因式后整体代入计算可得答案；
（2）根据等式性质结合已知可得6x2+4x=8，然后将待求式子利用完全平方公式及多项式乘以多项式法则展开后再合并同类项化简，最后整体代入计算可得答案.
（1）解：∵，
∴，
原式；
（2）解：∵，
∴，
原式
．
22．【答案】（1）解：设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元．
（2）解：设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，
依题意，得：，
∴，则，
∵，均为正整数，
∴，或，或，或，，
答：A种笔记本购买了本或本或本或本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，根据单价乘以数量等于总价及“用680元购买A种笔记本20本与B种笔记本30元还差40元；用680元刚好购买A种笔记本30本与B种笔记本20元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本(75-m-n)本，根据单价乘以数量等于总价及“用680元刚好购买A种笔记本m本、B种笔记本n元及C种笔记本(75-m-n)”列出二元一次方程，求出该方程的整数解即可.
（1）解：设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元．
（2）解：设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，
依题意，得：，
∴，则，
∵，均为正整数，
∴，或，或，或，，
答：A种笔记本购买了本或本或本或本．
23．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）解：①，，
，
由（1）已证：，
，
．
②∵，
∴，
∴，
∵．
∵．
∴
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行可得，由二直线平行，内错角相等可得，结合已知由等量代换可得，最后再同旁内角互补，两直线平行可得结论；
（2）①先根据角的和差可得，再两直线平行，同位角相等可得，然后根据角的和差即可求出∠BAC的度数；
②由两直线平行，同位角相等可得，由角的构成得，然后代入，即可证明结论．
（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）①解：，，
，
由（1）已证：，
，
．
②∵，
∴，
∴，
∵．
∵．
∴
24．【答案】（1）
（2）①②③④
（3）解：如图，
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（1）解：由图可知，
故答案为：；
（2）①，故正确；
②由图可知，，，故正确；
③由图可知，，，则，故③正确；
④，
∴，故④正确
综上，正确的选项为：①②③④．
（3）如图，
故答案为：.
【分析】（1）观察图形，从整体看图③是一个长为a+2b，宽为2a+b的长方形，由长方形面积公式得该长方形的面积为(2a+b)(a+2b)；从部分看图③是由两个边长为a的正方形，两个边长为b的正方形及5个长为a宽为b的长方形拼成的，故该图形面积可表示出2a2+2b2+5ab，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等可得结论；
（2）根据四个小长方形的面积等于大正方形面积减去小正方形面积建立等式后变形可判断①；根据大正方形边长与小长方形长宽的关系可判断②；由大正方形边长等于长方形的长与宽的和，小正方形的边长等于小长方形的长与宽的差可得x+y=m，x-y=n，再根据等式性质将两个式子相乘可判断③；将x+y=m与x-y=n分别平方后再相加即可判断④；
（3）画出的矩形边长分别为和即可.
（1）解：由图可知，
故答案为：
（2）①，故正确；
②由图可知，，，故正确；
③由图可知，，，则，故③正确；
④，
∴，故④正确
综上，正确的选项为：①②③④．
（3）如图，
故答案为：
1 / 1浙江省杭州市丁荷丁信中学联考2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·杭州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由负整数指数幂法则“”进行计算可判断A选项；由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加进行计算可判断B选项；由0指数幂的法则“a0=1(a≠0)”可判断C选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减进行计算可判断D选项.
2．（2025七下·杭州期中）图中，与是同位角的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是内错角不是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2不是同位角，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是同位角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2不是同位角，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线同方向，且在截线同侧的两个角就是同位角，同位角形如字母“F”，据此可逐一判断得出答案.
3．（2025七下·杭州期中）二元一次方程2x+3y=15的正整数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：2x+3y=15，
解得：x= ，
当y=1时，x=6；当y=3时，x=3，
则方程的正整数解有2对．
故答案为：B
【分析】用y表示x，分别令y为正整数，确定出x为正整数，即可求出方程的正整数解.
4．（2025七下·杭州期中）如图，下列不能判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，∴，本选项不符合题意；
B、∵，∴，不能判断，本选项符合题意；
C、∵，∴，本选项不符合题意；
D、∵，∴，本选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行可判断A选项；由 内错角相等，两直线平行可判断B、C选项；由同位角相等，两直线平行可判断D选项.
5．（2025七下·杭州期中）若x2+2（2p﹣3）x+4是完全平方式，则p的值等于（　　）
A． B．2 C．2或1 D． 或
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+2（2p﹣3）x+4是完全平方式，
∴2p 3=±2，
解得：p= 或 ，
故答案为：D.
【分析】
6．（2025七下·杭州期中）分解因式a4﹣2a2+1的结果是（　　）
A．（a2+1）2 B．（a2﹣1）2
C．a2（a2﹣2） D．（a+1）2（a﹣1）2
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a4﹣2a2+1
=（a2﹣1）2
=[（a+1）（a﹣1）]2
=（a+1）2（a﹣1）2．
故答案为：D．
【分析】先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式进行第二次分解，最后根据积的乘方写出写出结果.
7．（2025七下·杭州期中）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若，则（　　）
A．100° B．150° C．110° D．105°
【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，
∴∠BFE=∠EFH，
∵∠BFE+∠EFH+∠1=180°，∠1=30°，
，
又∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=180°-75°=105°；
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质可得∠BFE=∠EFH，然后根据平角可求出∠BFE的度数，嘴鸥由二直线平行，同旁内角互补可求出∠AEF的度数.
8．（2025七下·杭州期中）如图，面积为的以每秒的速度沿射线方向平移，平移2秒后所得图形是（点在线段上），若，则图中的四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
由平移的性质可得，
，
∵，
∴，
设的边上的高为，
则，
解得，
∴四边形的面积为
故答案为：C.
【分析】由路程、速度、时间三者的关系得BE=4cm，由平移的性质得AD=CF=BE=4cm，AD∥BC，由线段和差求出BC=7cm，设△ABC的边BC上的高为h，根据三角形面积公式结合△ABC的面积可求出h的值，进而根据梯形面积公式可算出四边形ABFD的面积.
9．（2025七下·杭州期中）已知关于，的方程组，则下列结论中：①当时，方程组的解是；②当，的值互为相反数时，；③不存在一个实数使得；④若，则正确的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
解得，
①当a=10时，原方程组的解为 ，本选项正确；
②由x与y互为相反数，得到x+y=0，即25-a+15-a=0
解得：a=20，本选项正确；
③若x=y，则25-a=15-a
可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确；
④由题意得：x-3a=5
把x=25-a代入得
25-a-3a=5
解得a=5，本选项正确，
综上，正确的选项有四个.
故答案为：D.
【分析】先将字母a作为常数，解方程组，用含a的式子表示出原方程组的解；①把a=10代入原方程组的解，即可做出判断；
②根据题意得到x+y=0，代入方程组的解求出a的值，即可做出判断；③假如x=y，得到a无解，本选项正确；④根据题中等式得到x-3a=5，代入x=25-a求出a的值，即可做出判断.
10．（2025七下·杭州期中）在数学中，为了书写简便，我们通常记，如，，则化简的结果是（　　）
A． B．
C． D．；
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：
=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x2-2x-x+2+x2-3x-2x+6+x2-4x-3x+12
=3x2-15x+20；
故答案为：A．
【分析】根据新定义运算法则列出整式混合运算算式，然后根据多项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·杭州期中）PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为　 　 .
【答案】2.5×10﹣6
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，
故答案为：2.5×10﹣6．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（2025七下·杭州期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】此题两个因式的指数都较大，而且底数不是特殊数“1，-1与0”，故不能先计算乘方；再观察发现两个因式的底数乘以为-1，故可以逆用同底数幂的乘法将变成，再逆用积的乘方法则将原式变形为，进而先计算括号内的乘法，再计算乘方，最后再计算乘法可得答案.
13．（2025七下·杭州期中）已知方程2x-3y=5，用含有x的式子表示y为　 　.
【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：移项，得 3y=2x-5
方程两边都除以3，得 .
【分析】先通过移项将含有y的项移到方程一边，其余的项移到方程的另一边，然后利用等式性质2将y的系数化为1即可。
14．（2025七下·杭州期中）若，，，为正整数，则　 　（用含、的代数式来表示）．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】由同底数幂除法法则的逆用将待求式子变形为23m÷24n，再根据幂的乘方运算法则的逆用进一步变形为(2m)3÷(24)n，从而整体代入计算可得答案.
15．（2025七下·杭州期中）若与的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为　 　.
【答案】30°或110°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解： 若与的两边分别平行 ，此时分两种情况讨论：
①若与经过平移后可重合，则有∠A=∠B，∠A=2∠A-30°，解得∠A=30°；
②若∠A+∠B=180°，则有∠A=2(180°-∠A)-30°，解得∠A=110°.
故答案为：30°或110°
【分析】两角的两边分别平行，则两角相等，或两角之和为180°.
16．（2025七下·杭州期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为　 　．
【答案】27°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图所示：
设，则，，，，，，，，，平分，，又，，，，即，，，，中，，
故答案为：．
【分析】由角平分线的概念、平行线的性质、外角的性质结合四边形内角和定理可推导出，此时可把转化到内部的上，再利用已知条件可直接求出和的值，最后再利用直角三角形两锐角互余求出即可．
三、解答题（8题，共72分）
17．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用零指数幂法则“a0=1(a≠0)”和负整数指数幂“”、乘方法则分别计算，进而再计算有理数的加减法运算即可；
（2）先利用单项式除以单项式法则及积的乘方法则分别进行计算，然后合并同类项即可.
（1）解：
（2）
18．（2025七下·杭州期中）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程组，
把①代入②得，则，
将代入①中，得，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组，
得，
将代入①中，得，则，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中的①方程已经用含y的式子表示出了x，故利用代入消元法求解较为简单，首先将方程①代入②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可得到方程组的解；
（2）用方程①×3-②×2消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可得到方程组的解.
（1）解：方程组，
把①代入②得，则，
将代入①中，得，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组，
得，
将代入①中，得，则，
∴方程组的解为．
19．（2025七下·杭州期中）如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
（1）将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形；
（2）连接、，则与之间的数量关系为________；与之间的位置关系为________；
（3）如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为________．
【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求，
（2），
（3）2
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：如图，
∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形，
∴，，
故答案为：，；
（3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形，
∴平移距离为的长，且，，，
∵三角形和五边形的周长分别是与，
∴，，
∴，
∴平移距离为的长，
故答案为：
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向上平移1个单位，向右平移2个单位后的对应点A'、B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可；
（2）根据平移的性质平移前后图形上对应点连线相等且平行或在同一直线上即可得出答案；
（3）由平移的性质得NN'=MM'，NP=N'P'，PM=P'M'，根据几何图形周长计算公式结合△MNP与五边形M'MNN'P'的周长分贝为5和9可列出方程2MM'=4，求解即可.
（1）解：如图所示，三角形即为所求，
（2）解：如图，
∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形，
∴，，
故答案为，；
（3）解∶∵将三角形沿方向平移若干距离得到三角形，
∴平移距离为的长，且，，，
∵三角形和五边形的周长分别是与，
∴，，
∴，
∴平移距离为的长，
故答案为：
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知，，判断与的位置关系，并说明理由.
【答案】解：，理由如下：
∵
∴
∴
∵
∴
∴.
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】AD∥BC，理由如下：由内错角相等，两直线平行得出AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得出∠D=∠DAE，结合∠B=∠D，可推出∠B=∠DAE，从而再根据同位角相等，两直线平行得出AD∥BC.
21．（2025七下·杭州期中）化简求值：
（1）已知，，求的值．
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴原式；
（2）解：∵，
∴，
∴原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）根据等式性质结合已知可得y-x=，然后将待求式子利用提取公因式法分解因式后整体代入计算可得答案；
（2）根据等式性质结合已知可得6x2+4x=8，然后将待求式子利用完全平方公式及多项式乘以多项式法则展开后再合并同类项化简，最后整体代入计算可得答案.
（1）解：∵，
∴，
原式；
（2）解：∵，
∴，
原式
．
22．（2025七下·杭州期中）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完．
（1）求，两种笔记本的单价；
（2）由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本．
【答案】（1）解：设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元．
（2）解：设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，
依题意，得：，
∴，则，
∵，均为正整数，
∴，或，或，或，，
答：A种笔记本购买了本或本或本或本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，根据单价乘以数量等于总价及“用680元购买A种笔记本20本与B种笔记本30元还差40元；用680元刚好购买A种笔记本30本与B种笔记本20元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本(75-m-n)本，根据单价乘以数量等于总价及“用680元刚好购买A种笔记本m本、B种笔记本n元及C种笔记本(75-m-n)”列出二元一次方程，求出该方程的整数解即可.
（1）解：设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元．
（2）解：设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，
依题意，得：，
∴，则，
∵，均为正整数，
∴，或，或，或，，
答：A种笔记本购买了本或本或本或本．
23．（2025七下·杭州期中）如图，已知，．
（1）证明：；
（2）若，
①，求的度数；
②求证：
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）解：①，，
，
由（1）已证：，
，
．
②∵，
∴，
∴，
∵．
∵．
∴
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行可得，由二直线平行，内错角相等可得，结合已知由等量代换可得，最后再同旁内角互补，两直线平行可得结论；
（2）①先根据角的和差可得，再两直线平行，同位角相等可得，然后根据角的和差即可求出∠BAC的度数；
②由两直线平行，同位角相等可得，由角的构成得，然后代入，即可证明结论．
（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）①解：，，
，
由（1）已证：，
，
．
②∵，
∴，
∴，
∵．
∵．
∴
24．（2025七下·杭州期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：．
（1）则图③可以解释为等式：______．
（2）如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______．
（3）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）．
【答案】（1）
（2）①②③④
（3）解：如图，
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（1）解：由图可知，
故答案为：；
（2）①，故正确；
②由图可知，，，故正确；
③由图可知，，，则，故③正确；
④，
∴，故④正确
综上，正确的选项为：①②③④．
（3）如图，
故答案为：.
【分析】（1）观察图形，从整体看图③是一个长为a+2b，宽为2a+b的长方形，由长方形面积公式得该长方形的面积为(2a+b)(a+2b)；从部分看图③是由两个边长为a的正方形，两个边长为b的正方形及5个长为a宽为b的长方形拼成的，故该图形面积可表示出2a2+2b2+5ab，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等可得结论；
（2）根据四个小长方形的面积等于大正方形面积减去小正方形面积建立等式后变形可判断①；根据大正方形边长与小长方形长宽的关系可判断②；由大正方形边长等于长方形的长与宽的和，小正方形的边长等于小长方形的长与宽的差可得x+y=m，x-y=n，再根据等式性质将两个式子相乘可判断③；将x+y=m与x-y=n分别平方后再相加即可判断④；
（3）画出的矩形边长分别为和即可.
（1）解：由图可知，
故答案为：
（2）①，故正确；
②由图可知，，，故正确；
③由图可知，，，则，故③正确；
④，
∴，故④正确
综上，正确的选项为：①②③④．
（3）如图，
故答案为：
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