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浙江省杭州市高桥教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1．（2025七下·杭州期中）四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为，用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·杭州期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·杭州期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·杭州期中）下列正确的是（　　）
A．同位角相等
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．（2025七下·杭州期中）如图，，，，则的度数为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·杭州期中）一组同学一起去种树，若每人种植7棵，还剩下3棵树苗；若每人种8棵，则缺少5棵树苗，设同学人数为人，需要种植的树苗数为棵，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·杭州期中）将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大10°，则（　　）
A．增大 B．减少 C．不变 D．增大
9．（2025七下·杭州期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
10．（2025七下·杭州期中）设，若，则（　　）
A．27 B．24 C．22 D．20
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025七下·杭州期中）已知方程，用含的代数式表示，则　 　．
12．（2025七下·杭州期中）若则　 　．
13．（2025七下·杭州期中）因式分解：　 　.
14．（2025七下·杭州期中）如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为　 　．
15．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为　 　．
16．（2025七下·杭州期中）已知，
（1）若，则与的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　．（用含，的代数式表示）
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025七下·杭州期中）解下列二元一次方程组
（1）
（2）
19．（2025七下·杭州期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点落在直线上的点处．
（1）画出平移后的三角形．
（2）在直线上找一格点，使，，，所围成的四边形的面积为7．（画出符合条件的一个点．
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知，平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，且，求的度数．
21．（2025七下·杭州期中）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和．
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
（2）若，求长方形增加的面积．
（3）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值．
22．（2025七下·杭州期中）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？
23．（2025七下·杭州期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________．
【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________；
【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因．
【应用】已知，，求的值．
24．（2025七下·杭州期中）如图1，，平分交于点，且
（1）若，且，求的度数．
（2）过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点．
①如图2，若，探究与的数量关系并说明理由．
②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项计算错误不符合题意；
B、，故选项计算正确，符合题意；
C、，故选项计算错误不符合题意；
D、，故选项计算错误不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、两个二项式完全相同，没有互为相反数的项，所以不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、第二个二项式中提取“-”后两个二项式完全相同，所以不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
D、两个二项式中没有完全相同的项，所以不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的定义与现象；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、如图，是同位角，但，A错误；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，B错误；
C、如图，过点A，C正确；
D，如图，当点A在CD上时，过点A的直线与CD重合或相交，D错误.
故答案为：C.
【分析】两直线平行，同位角相等.
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
6．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点C作
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】过点C作CF∥DE，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CF，由两直线平行内错角相等得∠ABC=∠BCF=，由两直线平行，同旁内角互补得，然后根据角的构成，由计算即可.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得，
故答案为：D．
【分析】 设同学人数为x人，需要种植的树苗数为y棵， 根据每人种树的棵数乘以种树的人数等于种树的总棵树及“ 若每人种植7棵，还剩下3棵树苗 ；若每人种8棵，则缺少5棵树苗 ”可得需要种植的树苗棵数可表示为7x+3或8x-5，然后结合需要种植树苗的棵数为y可列出方程组.
8．【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，、是直线上的两点，
根据折叠的性质得，，，
∵，
，，
，，
，
∵，
，
，
，
若增大，则减少，
故选：B．
【分析】根据折叠可得，，然后根据两直线平行，内错角相等得到，，利用邻补角定义得到，即可得到，解答即可．
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
，
，，
，
阴影部分的面积．
故答案为：C．
【分析】根据阴影部分面积为，代入数值计算解题即可．
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由完全平方公式可得，代入a、b的值，再利用平方差公式进行计算，即可求得的值.
11．【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得， 用含x的代数式表示y.
∴只需用含x的式子表示出y即可，即y=6-2x.
故答案为：6-2x.
【分析】只需用含x的式子把y表示出来即可.
12．【答案】3
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：3.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫做提取公因式法.
14．【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
∵四边形的周长为，
∴，即，
∴，即，
∴三角形的周长为，
故答案为：．
【分析】由平移的性质得AA'=CC'=4cm，AC=A'C'，根据几何图形周长计算方法结合四边形AA'C'B的周长为23cm可求出A'C'+BC+AB=15cm，从而即可得到△ABC的周长.
15．【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得
∴
∵
∴
解得
故答案为：3
【分析】先将k当作常数求出方程组的解，再将x、y代入计算即可。
16．【答案】；
【知识点】等式的基本性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵t=2k=2，
∴k=1，t=2，
∵b+c=t，a+b=k，
∴b+c=2，a+b=1，
∴a+b-b-c=1-2，
∴c=a+1，
故答案为：c=a+1；
（2）∵b+c=t，a+b=k，
∴c-a=t-k，
∵c-2a=3t，
∴a=-k-2t，
∴c-3a=c-2a-a=3t+k+2t=5t+k
故答案为： 5t+k ．
【分析】（1）首先根据已知等式求出k=1，t=2，然后将k与t的值代入已知两等式，再根据等式性质将两等式相减即可求出c关于a的等量关系；
（2）根据等式性质将已知两等式相减可得c-a=t-k，进而根据等式性质用 c-a=t-k 减去c-2a=3t可得a=-k-2t，最后将待求式子拆成c-2a-a，再整体代入化简即可得出答案.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂法则“”、零指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再根据有理数加法法则计算可得答案；
（2）利用多项式除以单项式法则“多项式除以单项式，就是用多项式的每一项分别去除以单项式，再把所得的商相加”运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：（1），
把代入得：，
解得：，
把代入得：
∴方程组的解为：
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】 （1）由于方程组中的①方程已经用含y的式子表示出了x，故利用代入消元法求解较为简单，首先将方程①代入②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可得到方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中未知数y的系数互为相反数，故利用方程①+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到方程组的解.
（1）解：（1），
把代入得：，
解得：，
把代入得：
∴方程组的解为：；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
19．【答案】（1）解：如图：△A'B'C'就是所求的三角形；
（2）解： 取格点D'、D''，使A'D'=A'D''=4，连接D'C，D''B， 点D'与D''就是所求的点 ，如图：
由网格可得：，
同理：
【知识点】作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，观察A与A'的位置得出平移的方向及距离：将△ABC向上平移5个单位长度，向右平移3个单位长度，据此作出点B、C向上平移5个单位长度，向右平移3个单位长度后的对应点B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可；
（2）取格点D'、D''，使A'D'=A'D''=4，连接D'C，D''B，根据梯形面积计算方法，可得点A'、B'、C'、D'或A'、D''、B'、C'围成的四边形面积为7，故点D'与D''就是所求的点.
（1）解：由题意得，三角形向上平移个单位长度，向右平移个单位长度得到三角形，则三角形即为所求，如图：
（2）解：取格点，连接，，则即为所求，如图：
由网格可得：，
同理：．
20．【答案】（1）解：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴
∵，
∴，
∴，
，
，
，
即，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得到，然后根据同位角相等，两直线平行解答即可；
（2）根据平行线可得，即可得到，根据垂直得到，即可求出的度数解题．
21．【答案】（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，∴；
（3）解：∵，∴，
∴
；
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】
（1）根据题意，分别表示出新的长方形与原长方形的面积，再作差即可；
（2）把代入（1）中的代数式，再计算即可；
（3）由“新长方形的面积是原长方形面积的2倍”整理可得，再计算，最后整体代入即可；
（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
；
22．【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元
（2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
根据题意得：，
化简得：，即．
∵a、b均为不小于12的正整数，
∴当时，；当时，；当时，；当时，．
答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据单价乘以数量等于总价及“若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，根据单价乘以数量等于总价及购进两种纪念品正好用完4000元，即可得出关于a、b的二元一次方程，求出该方程大于12的正整数解即可得出进货方案.
（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元；
（2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
根据题意得：，
化简得：，即．
∵a、b均为不小于12的正整数，
∴当时，；当时，；当时，；当时，．
答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件．
23．【答案】（1）
（2）【发现】（答案不唯一）
（3）【探究】解：和是两个连续的奇数，设，则，
，
是奇数，
是偶数，
设，则，
，
的值为的倍数；
（4）【应用】解：，
，
；
的值为
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】（1）解：
，
又∵多项式化简的结果为x2+y2+xy，
，
，
“○”表示的数为，
故答案为：；
（2）【发现】根据“对称多项式”的定义得，
故答案为：（答案不唯一）；
【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项化解得，根据多项式相等可得对应项的系数相等得出，求解即可得到答案；
（2）【发现】开放性命题，答案不唯一，根据“对称多项式”的定义即可得到答案；
（3）【探究】x和是两个连续的奇数，设，则，根据新定义运算法则得，由是偶数，设，则，得到，即可得到结论；
（4）【应用】由已知及完全平方公式可得，由新定义法则得出，然后根据完全平方公式、多项式式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项化解得，从而整体代入计算可得答案.
24．【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
，，
，，
∵平分，
，
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
设，则，
∵，
，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
过点作直线，如图：
，，
，
∵，
∴；
②或
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；猜想与证明；平行线的应用-求角度
【解析】解：（2）②当点在点右侧时，过点作，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
，，
，
∵，
∴；
当点在点左侧时，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
∴，
∴，
∵，
，
综上，或．
【分析】（1）由题意易得，根据二直线平行，内错角相等得，由二直线平行，同旁内角互补得，代值计算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得，由角的构成求出∠ABE=40°，最后根据三角形的内角和定理可求出∠AOB的度数；
（2）①设，则，根据二直线平行，内错角相等得，由二直线平行，同旁内角互补得，根据角平分线的定义得，；过点作直线，由二直线平行，内错角相等得到，，然后根据角的构成推出，即可得出结论；
②分两种情况：当点在点右侧时， 过点作， 设，则， 根据二直线平行，内错角相等得，由二直线平行，同旁内角互补得， 根据角平分线的定义得，，由二直线平行，内错角相等得，，， 然后根据角的构成表示出∠BGH，即可得出结论；当点在点左侧时，同理可求解，综上即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，
，
，，
，，
∵平分，
，
；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
设，则，
∵，
，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
过点作直线，如图：
，，
，
∵，
∴；
②当点在点右侧时，过点作，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
，，
，
∵，
∴；
当点在点左侧时，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
∴，
∴，
∵，
，
综上，或．
1 / 1浙江省杭州市高桥教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1．（2025七下·杭州期中）四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为，用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
2．（2025七下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项计算错误不符合题意；
B、，故选项计算正确，符合题意；
C、，故选项计算错误不符合题意；
D、，故选项计算错误不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
3．（2025七下·杭州期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
4．（2025七下·杭州期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、两个二项式完全相同，没有互为相反数的项，所以不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、第二个二项式中提取“-”后两个二项式完全相同，所以不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
D、两个二项式中没有完全相同的项，所以不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，据此逐一判断得出答案.
5．（2025七下·杭州期中）下列正确的是（　　）
A．同位角相等
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的定义与现象；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、如图，是同位角，但，A错误；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，B错误；
C、如图，过点A，C正确；
D，如图，当点A在CD上时，过点A的直线与CD重合或相交，D错误.
故答案为：C.
【分析】两直线平行，同位角相等.
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
6．（2025七下·杭州期中）如图，，，，则的度数为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点C作
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】过点C作CF∥DE，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CF，由两直线平行内错角相等得∠ABC=∠BCF=，由两直线平行，同旁内角互补得，然后根据角的构成，由计算即可.
7．（2025七下·杭州期中）一组同学一起去种树，若每人种植7棵，还剩下3棵树苗；若每人种8棵，则缺少5棵树苗，设同学人数为人，需要种植的树苗数为棵，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得，
故答案为：D．
【分析】 设同学人数为x人，需要种植的树苗数为y棵， 根据每人种树的棵数乘以种树的人数等于种树的总棵树及“ 若每人种植7棵，还剩下3棵树苗 ；若每人种8棵，则缺少5棵树苗 ”可得需要种植的树苗棵数可表示为7x+3或8x-5，然后结合需要种植树苗的棵数为y可列出方程组.
8．（2025七下·杭州期中）将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大10°，则（　　）
A．增大 B．减少 C．不变 D．增大
【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，、是直线上的两点，
根据折叠的性质得，，，
∵，
，，
，，
，
∵，
，
，
，
若增大，则减少，
故选：B．
【分析】根据折叠可得，，然后根据两直线平行，内错角相等得到，，利用邻补角定义得到，即可得到，解答即可．
9．（2025七下·杭州期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
，
，，
，
阴影部分的面积．
故答案为：C．
【分析】根据阴影部分面积为，代入数值计算解题即可．
10．（2025七下·杭州期中）设，若，则（　　）
A．27 B．24 C．22 D．20
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由完全平方公式可得，代入a、b的值，再利用平方差公式进行计算，即可求得的值.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025七下·杭州期中）已知方程，用含的代数式表示，则　 　．
【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得， 用含x的代数式表示y.
∴只需用含x的式子表示出y即可，即y=6-2x.
故答案为：6-2x.
【分析】只需用含x的式子把y表示出来即可.
12．（2025七下·杭州期中）若则　 　．
【答案】3
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：3.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减.
13．（2025七下·杭州期中）因式分解：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫做提取公因式法.
14．（2025七下·杭州期中）如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
∵四边形的周长为，
∴，即，
∴，即，
∴三角形的周长为，
故答案为：．
【分析】由平移的性质得AA'=CC'=4cm，AC=A'C'，根据几何图形周长计算方法结合四边形AA'C'B的周长为23cm可求出A'C'+BC+AB=15cm，从而即可得到△ABC的周长.
15．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为　 　．
【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得
∴
∵
∴
解得
故答案为：3
【分析】先将k当作常数求出方程组的解，再将x、y代入计算即可。
16．（2025七下·杭州期中）已知，
（1）若，则与的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　．（用含，的代数式表示）
【答案】；
【知识点】等式的基本性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵t=2k=2，
∴k=1，t=2，
∵b+c=t，a+b=k，
∴b+c=2，a+b=1，
∴a+b-b-c=1-2，
∴c=a+1，
故答案为：c=a+1；
（2）∵b+c=t，a+b=k，
∴c-a=t-k，
∵c-2a=3t，
∴a=-k-2t，
∴c-3a=c-2a-a=3t+k+2t=5t+k
故答案为： 5t+k ．
【分析】（1）首先根据已知等式求出k=1，t=2，然后将k与t的值代入已知两等式，再根据等式性质将两等式相减即可求出c关于a的等量关系；
（2）根据等式性质将已知两等式相减可得c-a=t-k，进而根据等式性质用 c-a=t-k 减去c-2a=3t可得a=-k-2t，最后将待求式子拆成c-2a-a，再整体代入化简即可得出答案.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂法则“”、零指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再根据有理数加法法则计算可得答案；
（2）利用多项式除以单项式法则“多项式除以单项式，就是用多项式的每一项分别去除以单项式，再把所得的商相加”运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·杭州期中）解下列二元一次方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：（1），
把代入得：，
解得：，
把代入得：
∴方程组的解为：
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】 （1）由于方程组中的①方程已经用含y的式子表示出了x，故利用代入消元法求解较为简单，首先将方程①代入②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可得到方程组的解；
（2）由于方程组的两个方程中未知数y的系数互为相反数，故利用方程①+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到方程组的解.
（1）解：（1），
把代入得：，
解得：，
把代入得：
∴方程组的解为：；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
19．（2025七下·杭州期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点落在直线上的点处．
（1）画出平移后的三角形．
（2）在直线上找一格点，使，，，所围成的四边形的面积为7．（画出符合条件的一个点．
【答案】（1）解：如图：△A'B'C'就是所求的三角形；
（2）解： 取格点D'、D''，使A'D'=A'D''=4，连接D'C，D''B， 点D'与D''就是所求的点 ，如图：
由网格可得：，
同理：
【知识点】作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，观察A与A'的位置得出平移的方向及距离：将△ABC向上平移5个单位长度，向右平移3个单位长度，据此作出点B、C向上平移5个单位长度，向右平移3个单位长度后的对应点B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可；
（2）取格点D'、D''，使A'D'=A'D''=4，连接D'C，D''B，根据梯形面积计算方法，可得点A'、B'、C'、D'或A'、D''、B'、C'围成的四边形面积为7，故点D'与D''就是所求的点.
（1）解：由题意得，三角形向上平移个单位长度，向右平移个单位长度得到三角形，则三角形即为所求，如图：
（2）解：取格点，连接，，则即为所求，如图：
由网格可得：，
同理：．
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知，平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，且，求的度数．
【答案】（1）解：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴
∵，
∴，
∴，
，
，
，
即，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得到，然后根据同位角相等，两直线平行解答即可；
（2）根据平行线可得，即可得到，根据垂直得到，即可求出的度数解题．
21．（2025七下·杭州期中）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和．
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
（2）若，求长方形增加的面积．
（3）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值．
【答案】（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，∴；
（3）解：∵，∴，
∴
；
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】
（1）根据题意，分别表示出新的长方形与原长方形的面积，再作差即可；
（2）把代入（1）中的代数式，再计算即可；
（3）由“新长方形的面积是原长方形面积的2倍”整理可得，再计算，最后整体代入即可；
（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
；
22．（2025七下·杭州期中）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？
【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元
（2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
根据题意得：，
化简得：，即．
∵a、b均为不小于12的正整数，
∴当时，；当时，；当时，；当时，．
答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据单价乘以数量等于总价及“若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，根据单价乘以数量等于总价及购进两种纪念品正好用完4000元，即可得出关于a、b的二元一次方程，求出该方程大于12的正整数解即可得出进货方案.
（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元；
（2）解：设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
根据题意得：，
化简得：，即．
∵a、b均为不小于12的正整数，
∴当时，；当时，；当时，；当时，．
答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件．
23．（2025七下·杭州期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________．
【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________；
【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因．
【应用】已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）【发现】（答案不唯一）
（3）【探究】解：和是两个连续的奇数，设，则，
，
是奇数，
是偶数，
设，则，
，
的值为的倍数；
（4）【应用】解：，
，
；
的值为
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】（1）解：
，
又∵多项式化简的结果为x2+y2+xy，
，
，
“○”表示的数为，
故答案为：；
（2）【发现】根据“对称多项式”的定义得，
故答案为：（答案不唯一）；
【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项化解得，根据多项式相等可得对应项的系数相等得出，求解即可得到答案；
（2）【发现】开放性命题，答案不唯一，根据“对称多项式”的定义即可得到答案；
（3）【探究】x和是两个连续的奇数，设，则，根据新定义运算法则得，由是偶数，设，则，得到，即可得到结论；
（4）【应用】由已知及完全平方公式可得，由新定义法则得出，然后根据完全平方公式、多项式式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项化解得，从而整体代入计算可得答案.
24．（2025七下·杭州期中）如图1，，平分交于点，且
（1）若，且，求的度数．
（2）过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点．
①如图2，若，探究与的数量关系并说明理由．
②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）
【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
，，
，，
∵平分，
，
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
设，则，
∵，
，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
过点作直线，如图：
，，
，
∵，
∴；
②或
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；猜想与证明；平行线的应用-求角度
【解析】解：（2）②当点在点右侧时，过点作，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
，，
，
∵，
∴；
当点在点左侧时，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
∴，
∴，
∵，
，
综上，或．
【分析】（1）由题意易得，根据二直线平行，内错角相等得，由二直线平行，同旁内角互补得，代值计算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得，由角的构成求出∠ABE=40°，最后根据三角形的内角和定理可求出∠AOB的度数；
（2）①设，则，根据二直线平行，内错角相等得，由二直线平行，同旁内角互补得，根据角平分线的定义得，；过点作直线，由二直线平行，内错角相等得到，，然后根据角的构成推出，即可得出结论；
②分两种情况：当点在点右侧时， 过点作， 设，则， 根据二直线平行，内错角相等得，由二直线平行，同旁内角互补得， 根据角平分线的定义得，，由二直线平行，内错角相等得，，， 然后根据角的构成表示出∠BGH，即可得出结论；当点在点左侧时，同理可求解，综上即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，
，
，，
，，
∵平分，
，
；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
设，则，
∵，
，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
过点作直线，如图：
，，
，
∵，
∴；
②当点在点右侧时，过点作，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
，，
，
∵，
∴；
当点在点左侧时，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
∴，
∴，
∵，
，
综上，或．
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