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湖南省长沙市宁乡市西部六乡镇2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·宁乡市期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·宁乡市期中）下列根式中，与是同类二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025八下·宁乡市期中）下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是（　　）
A．7，2，9 B．4，5，6 C．3，4，5 D．5，10，13
4．（2025八下·宁乡市期中）在平行四边形中，，则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·宁乡市期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八下·宁乡市期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
7．（2025八下·宁乡市期中）如图，在四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·宁乡市期中）若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（　　）
A．13 B．15 C．13或15 D．13或
9．（2025八下·宁乡市期中）下列说法错误的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．四个角都相等的四边形是正方形
10．（2025八下·宁乡市期中）如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（　　）
A．5 B．4 C． D．3
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八下·宁乡市期中）当x　 　时，二次根式有意义．
12．（2025八下·宁乡市期中）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　 　米．
13．（2025八下·宁乡市期中）如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是　 　．
14．（2025八下·宁乡市期中）如图，在 ABCD中，再添加一个条件　 　（写出一个即可）， ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）
15．（2025八下·宁乡市期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　．
16．（2025八下·宁乡市期中）把长cm，宽cm的矩形沿着对折，使点D落在边的点F上，则　 　．
三、解答题（第17，18，19每小题6分，第20，21每小题8分，第22，23每小题9分，第24，25每小题10分，共72分）
17．（2025八下·宁乡市期中）计算：
18．（2025八下·宁乡市期中）先化简，再求值：，其中．
19．（2025八下·宁乡市期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分矩形的周长与面积．
20．（2025八下·宁乡市期中）已知，如图，在平行四边形中，的平分线交边于点．
求证：．
21．（2025八下·宁乡市期中）如图，在中，对角线相交于O点，E，F在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形．
22．（2025八下·宁乡市期中）如图，延长的边到点F，使得，连接，若，求证：四边形是矩形．
23．（2025八下·宁乡市期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．
（1）求证：；
（2）在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由．
24．（2025八下·宁乡市期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
25．（2025八下·宁乡市期中）矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，F为上一点，将沿折叠，使点B恰好落在与y轴的交点E处．连接，若的长满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、是最简二次根式，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可求解。
2．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简各选项的二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【解答】∵=2，=2，=，=3，
∴与是同类二次根式的是．
故选B．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，所以7、2、9不能组成直角三角形，故A不符合题意；
B．，所以4、5、6不能组成直角三角形，故B不符合题意；
C．，所以5可以组成直角三角形，故C符合题意；
D．，所以5、10、13不能组成直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理逆定理及三角形三边关系逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；比例的应用
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，且，
，
设每份为，则，
解得，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质，解题时需要明确平行四边形对角相等、邻角互补的特点，并能灵活运用四边形内角和定理进行计算。根据平行四边形对角相等的性质，结合题目给出的内角比例关系，可得各角比例为。设比例系数为，根据四边形内角和为360°的性质，列出方程，解得，由此可求出各角具体度数。
5．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、，B不符合题意；
、，C不符合题意；
、，D符合题意；
故选：．
【分析】本题考查的重点是二次根式的混合运算，解题关键在于：掌握二次根式的化简方法和熟练运用乘法公式以及正确应用二次根式的混合运算法则。这些是解答此类问题的核心要点。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作，
根据题意得米，
由勾股定理可得，
∴米，
∴米，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过作辅助线构建直角三角形，由题意可知米、米，在中利用勾股定理求出的长度，再用即可得到木马上升的高度。
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，已知：，。
根据平行线的性质可得：。
由题知，AD平分∠ABC，因此：。
综合所述：，
所以△BFC是等腰三角形，因此：。
所以DF的长度：。
故选：B。
【分析】本题考查平行四边形的性质，综合运用平行线性质、角平分线定义和等腰三角形判定等几何知识进行解答。因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可得：，。由ABCD可推出内错角相等：。因为BF是角平分线，所以：。综合以上结论可得：，说明△BCF是等腰三角形，因此，。最终计算DF的长度：。
8．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】①若题目给出的两边都是直角边，根据勾股定理计算第三边（斜边）的长度为：
②若题目给出的两边中一个是斜边，另一个是直角边，则第三边（另一条直角边）的长度为：
综上所述，第三边的长度可能是13或，
故选：D。
【分析】题目需要应用勾股定理，并考虑两种不同情况：
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A选项：矩形对角线长度相等（矩形性质），A正确，排除；B选项：菱形对角线互相垂直且平分（菱形性质），B正确，排除；
C选项：对角线互相平分的四边形必为平行四边形（判定定理），C正确，排除；
D选项：四角相等的四边形是矩形，但未必是正方形（还需满足邻边相等），D错误，符合题意；
故选D。
【分析】本题考查平行四边形及其特殊类型（矩形、菱形、正方形）的判定与性质，准确理解并区分这些概念是解题关键。
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】连接，如图
，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，当的值最小时，的值最小，
当时，的值最小，
此时，
∴的最小值为，
故选：C．
【分析】本题综合考查了勾股定理逆定理和矩形的判定性质。解题关键在于通过矩形性质得出的关系。首先运用勾股定理逆定理判定为直角三角形；根据四边形的三个直角特征，证明其为矩形；利用矩形对角线相等的性质，得到的关键等式；将问题转化为求的最小值；根据垂线段最短原理，当时，取得最小值，从而确定最终结论。
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意建立不等式：
解这个不等式得到：
故答案为：
【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题关键在于理解二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为零这两个关键性质。
12．【答案】8
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，
折断部分长为，
折断之前的高度为（米），
故答案为：8．
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用。根据题目描述，可以利用勾股定理计算斜边长度，进而求出树木折断前的总高度。 设折断部分为直角三角形，已知两直角边长度， 运用勾股定理：c=计算斜边长度，将斜边长度与未折断部分高度相加，得到树木原高度
13．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：已知点A表示的数为，点C表示的数为1，因此。
在直角三角形ACB中，且，
根据勾股定理可得 ：
以点A为圆心，AB长度为半径画弧，与数轴正半轴交于点D，
因此。
点D对应的数值为：。
故答案为：。
【分析】本题主要考查实数与数轴的关系以及勾股定理的应用，掌握这些基本知识是解题的关键。
首先利用勾股定理计算得出，进而确定点D在数轴上对应的数值。
14．【答案】AC=BD
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】添加的条件是AC=BD，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD
【分析】本题考查的是矩形判定方法的应用，关键要掌握：对角线相等的平行四边形一定是矩形。根据矩形判定定理可知，当平行四边形的对角线长度相等时，该平行四边形即为矩形。
15．【答案】139
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴=25+144=169，AB=5，AC=12，
∴=169-×5×12=169-30=139，
故答案为：139．
【分析】先根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积即可求阴影部分的面积 ．
16．【答案】5cm
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：已知矩形ABCD的长AD=10cm，宽AB=8cm，沿AE对折后，点D落在BC边上的点F处。根据矩形和折叠的性质可得：BC=AD=AF=10cm， ∠B=∠C=90°，DC=AB=8cm， DE=FE
在直角三角形ABF中，应用勾股定理计算：
cm
因此CF=10-6=4cm
设DE=EF=x，则CE=8-x。在直角三角形CEF中建立方程：
解得x=5，即DE=5cm
故答案为：5cm
【分析】本题综合考查了矩形性质、折叠变换和勾股定理的应用。解题关键在于：
1. 利用矩形性质确定边长关系
2. 通过折叠得到对应边相等
3. 在直角三角形中建立勾股定理方程求解
重点是通过合理设元，在△CEF中建立方程求出DE的长度。
17．【答案】解：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算规则是解题关键。解题步骤：1. 先利用二次根式的性质进行化简
2. 然后进行二次根式的除法运算
3. 最后合并同类二次根式完成计算
18．【答案】解：
∵
∴原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查整式的化简与求值，解题关键在于熟练掌握整式的混合运算规则及计算步骤。具体步骤如下：首先运用完全平方公式和平方差公式展开括号，然后进行整式的加减运算，最后将给定的数值代入化简后的表达式进行计算。
19．【答案】解：面积为正方形纸片的边长是cm；面积为的正方形纸片的边长是cm；
∴图中空白部分矩形的长为，宽为cm，
∴图中空白部分矩形的周长是cm，面积是．
【知识点】二次根式的实际应用；矩形的性质
【解析】【分析】本题主要考查矩形周长和面积的计算方法，以及二次根式的实际应用。解题的关键在于准确求出空白部分矩形的长和宽。解题步骤：首先确定空白部分矩形的长度和宽度，然后根据所得尺寸计算其周长和面积。
20．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质以及等腰三角形的判定与性质。根据平行四边形的性质可知：且，由此可得：（内错角相等），（已知条件），因此可得：，再根据等角对等边原理：。
21．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形性质与判定的综合运用。解题关键在于利用对角线互相平分的条件进行证明。由平行四边形性质可得对角线互相平分，即，；通过已知条件证明；再根据"对角线互相平分的四边形是平行四边形"的判定定理即可得证。
22．【答案】解：∵四边形是平行四边形
∴．
∵
∴
又∵，即
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∴四边形ABFC是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题主要考查矩形的判定方法，涉及平行四边形判定与性质的应用。解题关键在于正确识别图形结构并运用相关几何定理进行证明。首先证明且AB=CF，由此得出四边形ABFC是平行四边形；根据AD=BC=AF，运用"对角线相等的平行四边形是矩形"的判定定理，证明四边形ABFC是矩形。
23．【答案】（1）证明：过点作于，过点作于，如图，
∵四边形是正方形，，，
∴．
∴，．
∵即，
∴．
在和中，
．
∴，
∴；
（2）解：能，理由如下：①若点在线段上，如图，
∵，∴．
∵，∴．
若为等腰三角形，则．
∴，
∴，与矛盾，
∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形．
②若点在线段的延长线上，如图．
若是等腰三角形，
此时，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴的长为2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【分析】本题主要考查正方形性质、全等三角形判定与性质、角平分线性质以及等腰三角形判定与性质等知识点，解题时需注意分类讨论思想的应用。（1）通过作辅助线证明全等三角形：过点作于点， 过点作于点，根据正方形性质可证，从而得出结论
（2）需要分两种情况讨论：① 当点在线段上时；② 当点在线段的延长线上时；分别进行求解。
（1）证明：过点作于，过点作于，如图，
∵四边形是正方形，，，
∴．
∴，．
∵即，
∴．
在和中，
．
∴，
∴；
（2）解：能，理由如下：
①若点在线段上，如图，
∵，∴．
∵，∴．
若为等腰三角形，则．
∴，
∴，与矛盾，
∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形．
②若点在线段的延长线上，如图．
若是等腰三角形，
此时，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴的长为2．
24．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【分析】（1）根据例题的解法，可知由，即，利用完全平方公式以及二次根式的性质进行求解即可；
（2）根据例题的解法，把每个二次根式里面的式子化为完全平方的形式，然后利用二次根式的性质再开方并计算求解即可．
25．【答案】（1）解：由得：AE-4=0且AB-8=0
∴AE=4，AB=8
∴A（-4，8），B（-4，0）
（2）解：设AE为x，根据勾股定理有：
解得：x=3
设ED为y，根据勾股定理有：
解得：y=6
∴D（6，8）
（3）∵点E到点F：（0-4，8-3）=F（-4，5）
∴P1=（6-4，0-3）=（2，-3）
∵点F到点E：（-4+4，5+3）=E（0，8）
∴P2=（6+4，0+3）=（10，3）
∵点C到点E：（6-6，0+8）=E（0，8）
∴P3=（-4-6，5+8）=（-10，13）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题主要考查直角坐标系的应用、勾股定理及动点问题，熟练掌握相关知识和解题技巧是解题关键。（1）利用算术平方根和平方数的非负性质，确定AE和AB的数值；
（2）建立未知边长的方程，运用勾股定理求解边长，进而确定坐标位置；
（3）分类讨论三种情形：以CF为对角线；以CE为对角线；以EF为对角线。
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一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·宁乡市期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、是最简二次根式，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可求解。
2．（2025八下·宁乡市期中）下列根式中，与是同类二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简各选项的二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【解答】∵=2，=2，=，=3，
∴与是同类二次根式的是．
故选B．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．（2025八下·宁乡市期中）下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是（　　）
A．7，2，9 B．4，5，6 C．3，4，5 D．5，10，13
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，所以7、2、9不能组成直角三角形，故A不符合题意；
B．，所以4、5、6不能组成直角三角形，故B不符合题意；
C．，所以5可以组成直角三角形，故C符合题意；
D．，所以5、10、13不能组成直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理逆定理及三角形三边关系逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八下·宁乡市期中）在平行四边形中，，则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；比例的应用
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，且，
，
设每份为，则，
解得，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质，解题时需要明确平行四边形对角相等、邻角互补的特点，并能灵活运用四边形内角和定理进行计算。根据平行四边形对角相等的性质，结合题目给出的内角比例关系，可得各角比例为。设比例系数为，根据四边形内角和为360°的性质，列出方程，解得，由此可求出各角具体度数。
5．（2025八下·宁乡市期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、，B不符合题意；
、，C不符合题意；
、，D符合题意；
故选：．
【分析】本题考查的重点是二次根式的混合运算，解题关键在于：掌握二次根式的化简方法和熟练运用乘法公式以及正确应用二次根式的混合运算法则。这些是解答此类问题的核心要点。
6．（2025八下·宁乡市期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作，
根据题意得米，
由勾股定理可得，
∴米，
∴米，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过作辅助线构建直角三角形，由题意可知米、米，在中利用勾股定理求出的长度，再用即可得到木马上升的高度。
7．（2025八下·宁乡市期中）如图，在四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，已知：，。
根据平行线的性质可得：。
由题知，AD平分∠ABC，因此：。
综合所述：，
所以△BFC是等腰三角形，因此：。
所以DF的长度：。
故选：B。
【分析】本题考查平行四边形的性质，综合运用平行线性质、角平分线定义和等腰三角形判定等几何知识进行解答。因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可得：，。由ABCD可推出内错角相等：。因为BF是角平分线，所以：。综合以上结论可得：，说明△BCF是等腰三角形，因此，。最终计算DF的长度：。
8．（2025八下·宁乡市期中）若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（　　）
A．13 B．15 C．13或15 D．13或
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】①若题目给出的两边都是直角边，根据勾股定理计算第三边（斜边）的长度为：
②若题目给出的两边中一个是斜边，另一个是直角边，则第三边（另一条直角边）的长度为：
综上所述，第三边的长度可能是13或，
故选：D。
【分析】题目需要应用勾股定理，并考虑两种不同情况：
9．（2025八下·宁乡市期中）下列说法错误的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．四个角都相等的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A选项：矩形对角线长度相等（矩形性质），A正确，排除；B选项：菱形对角线互相垂直且平分（菱形性质），B正确，排除；
C选项：对角线互相平分的四边形必为平行四边形（判定定理），C正确，排除；
D选项：四角相等的四边形是矩形，但未必是正方形（还需满足邻边相等），D错误，符合题意；
故选D。
【分析】本题考查平行四边形及其特殊类型（矩形、菱形、正方形）的判定与性质，准确理解并区分这些概念是解题关键。
10．（2025八下·宁乡市期中）如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（　　）
A．5 B．4 C． D．3
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】连接，如图
，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，当的值最小时，的值最小，
当时，的值最小，
此时，
∴的最小值为，
故选：C．
【分析】本题综合考查了勾股定理逆定理和矩形的判定性质。解题关键在于通过矩形性质得出的关系。首先运用勾股定理逆定理判定为直角三角形；根据四边形的三个直角特征，证明其为矩形；利用矩形对角线相等的性质，得到的关键等式；将问题转化为求的最小值；根据垂线段最短原理，当时，取得最小值，从而确定最终结论。
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八下·宁乡市期中）当x　 　时，二次根式有意义．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意建立不等式：
解这个不等式得到：
故答案为：
【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题关键在于理解二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为零这两个关键性质。
12．（2025八下·宁乡市期中）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　 　米．
【答案】8
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，
折断部分长为，
折断之前的高度为（米），
故答案为：8．
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用。根据题目描述，可以利用勾股定理计算斜边长度，进而求出树木折断前的总高度。 设折断部分为直角三角形，已知两直角边长度， 运用勾股定理：c=计算斜边长度，将斜边长度与未折断部分高度相加，得到树木原高度
13．（2025八下·宁乡市期中）如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：已知点A表示的数为，点C表示的数为1，因此。
在直角三角形ACB中，且，
根据勾股定理可得 ：
以点A为圆心，AB长度为半径画弧，与数轴正半轴交于点D，
因此。
点D对应的数值为：。
故答案为：。
【分析】本题主要考查实数与数轴的关系以及勾股定理的应用，掌握这些基本知识是解题的关键。
首先利用勾股定理计算得出，进而确定点D在数轴上对应的数值。
14．（2025八下·宁乡市期中）如图，在 ABCD中，再添加一个条件　 　（写出一个即可）， ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）
【答案】AC=BD
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】添加的条件是AC=BD，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD
【分析】本题考查的是矩形判定方法的应用，关键要掌握：对角线相等的平行四边形一定是矩形。根据矩形判定定理可知，当平行四边形的对角线长度相等时，该平行四边形即为矩形。
15．（2025八下·宁乡市期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】139
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴=25+144=169，AB=5，AC=12，
∴=169-×5×12=169-30=139，
故答案为：139．
【分析】先根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积即可求阴影部分的面积 ．
16．（2025八下·宁乡市期中）把长cm，宽cm的矩形沿着对折，使点D落在边的点F上，则　 　．
【答案】5cm
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：已知矩形ABCD的长AD=10cm，宽AB=8cm，沿AE对折后，点D落在BC边上的点F处。根据矩形和折叠的性质可得：BC=AD=AF=10cm， ∠B=∠C=90°，DC=AB=8cm， DE=FE
在直角三角形ABF中，应用勾股定理计算：
cm
因此CF=10-6=4cm
设DE=EF=x，则CE=8-x。在直角三角形CEF中建立方程：
解得x=5，即DE=5cm
故答案为：5cm
【分析】本题综合考查了矩形性质、折叠变换和勾股定理的应用。解题关键在于：
1. 利用矩形性质确定边长关系
2. 通过折叠得到对应边相等
3. 在直角三角形中建立勾股定理方程求解
重点是通过合理设元，在△CEF中建立方程求出DE的长度。
三、解答题（第17，18，19每小题6分，第20，21每小题8分，第22，23每小题9分，第24，25每小题10分，共72分）
17．（2025八下·宁乡市期中）计算：
【答案】解：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算规则是解题关键。解题步骤：1. 先利用二次根式的性质进行化简
2. 然后进行二次根式的除法运算
3. 最后合并同类二次根式完成计算
18．（2025八下·宁乡市期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
∵
∴原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查整式的化简与求值，解题关键在于熟练掌握整式的混合运算规则及计算步骤。具体步骤如下：首先运用完全平方公式和平方差公式展开括号，然后进行整式的加减运算，最后将给定的数值代入化简后的表达式进行计算。
19．（2025八下·宁乡市期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分矩形的周长与面积．
【答案】解：面积为正方形纸片的边长是cm；面积为的正方形纸片的边长是cm；
∴图中空白部分矩形的长为，宽为cm，
∴图中空白部分矩形的周长是cm，面积是．
【知识点】二次根式的实际应用；矩形的性质
【解析】【分析】本题主要考查矩形周长和面积的计算方法，以及二次根式的实际应用。解题的关键在于准确求出空白部分矩形的长和宽。解题步骤：首先确定空白部分矩形的长度和宽度，然后根据所得尺寸计算其周长和面积。
20．（2025八下·宁乡市期中）已知，如图，在平行四边形中，的平分线交边于点．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质以及等腰三角形的判定与性质。根据平行四边形的性质可知：且，由此可得：（内错角相等），（已知条件），因此可得：，再根据等角对等边原理：。
21．（2025八下·宁乡市期中）如图，在中，对角线相交于O点，E，F在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形性质与判定的综合运用。解题关键在于利用对角线互相平分的条件进行证明。由平行四边形性质可得对角线互相平分，即，；通过已知条件证明；再根据"对角线互相平分的四边形是平行四边形"的判定定理即可得证。
22．（2025八下·宁乡市期中）如图，延长的边到点F，使得，连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】解：∵四边形是平行四边形
∴．
∵
∴
又∵，即
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∴四边形ABFC是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题主要考查矩形的判定方法，涉及平行四边形判定与性质的应用。解题关键在于正确识别图形结构并运用相关几何定理进行证明。首先证明且AB=CF，由此得出四边形ABFC是平行四边形；根据AD=BC=AF，运用"对角线相等的平行四边形是矩形"的判定定理，证明四边形ABFC是矩形。
23．（2025八下·宁乡市期中）如图，边长为2的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E．
（1）求证：；
（2）在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，试说明理由．
【答案】（1）证明：过点作于，过点作于，如图，
∵四边形是正方形，，，
∴．
∴，．
∵即，
∴．
在和中，
．
∴，
∴；
（2）解：能，理由如下：①若点在线段上，如图，
∵，∴．
∵，∴．
若为等腰三角形，则．
∴，
∴，与矛盾，
∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形．
②若点在线段的延长线上，如图．
若是等腰三角形，
此时，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴的长为2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【分析】本题主要考查正方形性质、全等三角形判定与性质、角平分线性质以及等腰三角形判定与性质等知识点，解题时需注意分类讨论思想的应用。（1）通过作辅助线证明全等三角形：过点作于点， 过点作于点，根据正方形性质可证，从而得出结论
（2）需要分两种情况讨论：① 当点在线段上时；② 当点在线段的延长线上时；分别进行求解。
（1）证明：过点作于，过点作于，如图，
∵四边形是正方形，，，
∴．
∴，．
∵即，
∴．
在和中，
．
∴，
∴；
（2）解：能，理由如下：
①若点在线段上，如图，
∵，∴．
∵，∴．
若为等腰三角形，则．
∴，
∴，与矛盾，
∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形．
②若点在线段的延长线上，如图．
若是等腰三角形，
此时，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴的长为2．
24．（2025八下·宁乡市期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【分析】（1）根据例题的解法，可知由，即，利用完全平方公式以及二次根式的性质进行求解即可；
（2）根据例题的解法，把每个二次根式里面的式子化为完全平方的形式，然后利用二次根式的性质再开方并计算求解即可．
25．（2025八下·宁乡市期中）矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，F为上一点，将沿折叠，使点B恰好落在与y轴的交点E处．连接，若的长满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由得：AE-4=0且AB-8=0
∴AE=4，AB=8
∴A（-4，8），B（-4，0）
（2）解：设AE为x，根据勾股定理有：
解得：x=3
设ED为y，根据勾股定理有：
解得：y=6
∴D（6，8）
（3）∵点E到点F：（0-4，8-3）=F（-4，5）
∴P1=（6-4，0-3）=（2，-3）
∵点F到点E：（-4+4，5+3）=E（0，8）
∴P2=（6+4，0+3）=（10，3）
∵点C到点E：（6-6，0+8）=E（0，8）
∴P3=（-4-6，5+8）=（-10，13）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题主要考查直角坐标系的应用、勾股定理及动点问题，熟练掌握相关知识和解题技巧是解题关键。（1）利用算术平方根和平方数的非负性质，确定AE和AB的数值；
（2）建立未知边长的方程，运用勾股定理求解边长，进而确定坐标位置；
（3）分类讨论三种情形：以CF为对角线；以CE为对角线；以EF为对角线。
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