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浙江省舟山市定海区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·定海期中）下列四家银行的标志中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查中心对称图形的概念。在平面内，若一个图形绕某点旋转180°后能与另一个图形重合，则称这两个图形互为中心对称图形。解题关键在于熟练掌握中心对称图形的定义。通过逐一分析各选项是否符合定义要求进行判断。
2．（2025八下·定海期中）下列式子中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
B.符合最简二次根式的条件，故此选项是最简二次根式，符合题意；
C.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
D.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
【分析】本题考查最简二次根式的概念。最简二次根式需同时满足以下两个条件：
1. 被开方数的因式中不含分母；
2. 被开方数中不存在可开方的因数或因式（即被开方数的因数均为质数，且幂指数不超过1）。
依据上述定义，通过分析被开方数的因式分解结果来判断二次根式是否为最简形式。
3．（2025八下·定海期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，A不符合题意；
B．，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，B不符合题意；
C．，是一元二次方程，故该选项正确，C符合题意；
D．，是一元一次方程，故该选项不正确，D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，通过逐一分析选项中的方程是否符合一元二次方程的定义来解答。一元二次方程的定义要点是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
4．（2025八下·定海期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，A不符合题意；
B.，计算正确，B符合题意；
C.，计算错误，C不符合题意；
D.，计算错误，D不符合题意；
故选B．
【分析】本题主要考查二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题关键。直接运用二次根式的运算规则进行计算即可。
5．（2025八下·定海期中）某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（　　）
A．米 B．20米 C．米 D．30米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比，
∴，
∵堤高米，
∴(米).
故答案为：A.
【分析】根据坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比建立方程可求出AC的长.
6．（2025八下·定海期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论.3月，定海二中九思图书馆为响应学校“阅读月”活动，向学生全天开放．据统计，第一周进馆128人次，进馆人次每周增加，第三周进馆392人次，若进馆人次的周平均增长率相同，设进馆人次的周平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的周平均增长率为，
则根据题意，可列方程是，
故选：A．
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于正确理解题意并建立方程模型。
设进馆人次的周平均增长率为，根据题意可知： 第一周进馆128人次；进馆人次每周按相同增长率递增；第三周达到392人次
由此可建立方程：第一周128人次，
第二周128(1+x)人次，
第三周128(1+x)2=392人次。
通过解这个一元二次方程即可求出周平均增长率x的值。
7．（2025八下·定海期中）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中每个内角都大于
D．三角形中没有一个内角小于
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于，题设是：三角形，结论是：至少有一个内角小于或等于，
∴与“至少有一个”意义相反的是“每个都”，
∴反证法的第一步是先假设：三角形中每个内角都大于，
故选：C ．
【分析】本题考查反证法的应用，关键在于明确题设与结论，并运用反证法的步骤进行合理假设和推理。反证法的基本思路是：假设原命题的结论不成立（即在原命题条件下结论为假），通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原假设不成立，原命题成立。根据反证法的原理进行推导即可求解。
8．（2025八下·定海期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（　　）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为2、2、3、3、3、3、4、4、4、8，
，
故选C．
【分析】本题考查方差和平均数的计算，依据相关公式进行解答即可。
9．（2025八下·定海期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若方程的两个根是和，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：若方程的两个根是和，则，∴，
∴，故说法①正确；
若是方程的一个根，则，
∴，
∴或，
∴当时，不一定有，故说法②错误；
若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确；
若方程有一个根是，则，
∴，即，
∴方程一定有一个实数根，故说法④正确；
综上，说法正确的有3个，
故选：C．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，掌握相关概念是解题关键。根据韦达定理可得，由此可判断①正确；将代入方程变形后可判断②；将代入方程可验证③；将代入方程并变形得到，由此可判断④成立。
综上，通过对方程的解及变形分析，可以得出正确的结论。
10．（2025八下·定海期中）如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，但不一定等于，∴不一定等于，故①错误；
∵，
∴
∵平分
∴
又∵
∴
∴
∵中点为F
∴，故②正确；
如图所示，延长，交于点H
∵
∴
∵，
∴
∴
∵点F为的中点
∴是的中位线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵是的中位线
∴
∴，故③错误；
如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，故④正确；
∵，，而不一定等于
∴不一定等于，故⑤错误，
综上所述，其中判断正确的是②④．
故选：B．
【分析】本题综合考查了以下几何知识点：1. 中位线定理的应用
2. 全等三角形的判定条件（如SAS、ASA等）与性质（对应边、角相等）
3. 等腰三角形的性质（底角相等）与判定方法
4. 平行四边形的判定定理（如对边平行且相等）
解题时需灵活运用这些几何定理，通过逻辑推理完成证明或计算。掌握各知识点的内在联系是突破此类问题的关键。
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11．（2025八下·定海期中）二次根式 中字母x的取值范围是　 　．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（2025八下·定海期中）若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形是正　 　边形．
【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设正多边形有n条边，
则，
解得：；
故答案为：六．
【分析】根据正多边形的内角和即可求出答案.
13．（2025八下·定海期中）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能、投球技能、身体素质三方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占、投球技能占、身体素质占计算选手的综合成绩（百分制）．选手张少能控球技能得90分，投球技能得80分．身体素质得85分，则张少能的综合成绩为　 　．
【答案】85
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：控球技能占、投球技能占、身体素质占计算选手的综合成绩，张少能控球技能得90分，投球技能得80分．身体素质得85分，
∴（分），
∴张少能的综合成绩为分，
故答案为：85 ．
【分析】本题主要考查加权平均数的计算方法，掌握其计算步骤是解答的关键。根据题目要求，利用加权平均数的公式进行求解即可。
14．（2025八下·定海期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵，是方程的两个实数根，∴，，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解与根与系数的关系。首先根据方程的解可得，再利用韦达定理得到。将所求表达式变形为，最后代入已知条件计算即可。掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键。
15．（2025八下·定海期中）已知，关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为　 　．
【答案】-1，0，1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，方程为，此时解为，符合题意；当时，，
∴，，
∵和k均为整数，
∴或1，
综上所述，k的值为-1，0，1，
故答案为：-1，0，1．
【分析】本题重点考查一元二次方程根与系数的关系，解题时需注意分类讨论思想的应用。
分两种情况讨论：1. 当时，方程退化为一次方程，需要单独验证其根是否为整数；
2. 当时，运用韦达定理，将根与系数关系表示为：
和，
据此可求得满足条件的k值。
16．（2025八下·定海期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示：
，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，此时，
∴最小值为，
故答案为： ．
【分析】本题综合考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时需要先添加辅助线：延长线段和，在的延长线上取点使得，连接。接着过点作于点，过点作交的延长线于点。
通过勾股定理和平行四边形的性质，可求出线段的长度。进一步证明四边形为平行四边形，再利用全等三角形的性质得到对应边相等。最后根据"垂线段最短"的性质确定最小值，即可完成解答。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2025八下·定海期中）计算下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答时需要掌握二次根式的化简和合并方法。
（1）首先将各项化为最简二次根式，然后合并并进行约分；
（2）先利用完全平方公式展开表达式，再按照二次根式的乘除法则进行运算，最后合并。
（1）解：
（2）
18．（2025八下·定海期中）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，，∴，
∴，
即，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的求解方法，需要根据方程特点选择适当的解法。
（1）采用配方法求解一元二次方程；
（2）采用求根公式法（公式法）求解一元二次方程。
（1）解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
即，．
19．（2025八下·定海期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？
【答案】解：依题意，当地面时间经过5分钟即300秒时
飞船内经过的时间为秒
答：当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过时间．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】本题重点考察二次根式的实际应用，解题的核心在于理解题意并正确建立数学关系式。
20．（2025八下·定海期中）如图，在平行四边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在上作出点，使；
（2）若点是上一点，连结，请过点作线段的平行线段，并交于点．
【答案】（1）解：如图，
点即为所求；
∵四边形是平行四边形，
∴
（2）（2）如图，
线段即为所求．∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质及其判定方法，解题时需要掌握相关核心知识点。
（1）首先连接对角线与相交于点，该交点即为所求位置；
（2）接着连接线段并延长至与边相交于点，最后连接即可完成作图。
（1）解：如图，点即为所求；
∵四边形是平行四边形，
∴，
（2）如图，线段即为所求．
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
21．（2025八下·定海期中）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 a 376 90% 30%
乙组 b c 196 90% 10%
（1）以上成绩统计分析表中______分，______分，______分
（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．
（3）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由
【答案】（1）60，68，70
（2）解：小亮得了70分，在小组中属中游略偏上，说明中位数小于70，因此在甲组；
（3）解：选择甲组，虽然甲组的方差大，数据不稳定，但是甲组的优秀率高于乙组，并且有考满分的同学，很有可能获得个人第一名．（答案不唯一）
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：甲组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是60，因此中位数是60，即，
分，即，
乙组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是70，因此中位数是70，即，
故答案为：60，68，70；
【分析】（1）利用中位数的定义、平均数的计算公式求出a，b、c的值即可；
（2）利用中位数的意义解答即可；
（3）比较两组的方差，再利用方差的意义解答即可．
22．（2025八下·定海期中）如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形
（2）解：，，，
，
连接交于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的长为
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质。解题的关键在于证明，从而为后续推理奠定基础。
（1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
连接交于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的长为．
23．（2025八下·定海期中）根据以下素材，探索完成任务．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为元件，平均每天销售量是件，在实体店的销售价定为元件，平均每天销售量是件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低元，网上销售量平均每天多售出件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为元件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润总毛利润网上毛利润实体店毛利润达到元，求每件商品的网上销售价下降多少元？
任务3 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？
【答案】解：任务：由题意，当网上售价降至元件时，下降幅度为：元；网上销量增加件，
总销量为件．
网上毛利润为：元．
又实体店销量减少：件，总销量为件．
实体店毛利润为：元．
任务：由题意，设网上售价下降元，总毛利润为元，
网上毛利润为：．
实体店毛利润为：
总利润方程为：．
．
．
或．
每件商品的网上销售价下降元或元．
任务：依据题意，由总利润函数为：
∴当时，总利润最大
∴网上销售价下降5元时总毛利润最大
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及配方法的使用。解题关键在于根据题意正确建立方程模型。设未知数，列出一元二次方程后，通过配方法将方程转化为的形式求解。注意配方的步骤要完整，确保方程两边同时进行相同运算以保持等式成立。最终结果需检验是否符合实际意义。
24．（2025八下·定海期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上；
（2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度．
【答案】（1）解：如图所示，
图（甲）和图（乙）中，；
图（丙）中；
∴四边形是等邻边四边形
（2）∵四边形是平行四边形∴，，
∴
∵，，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴四边形是“等邻边四边形”
（3）如图所示，过点B作交于点G
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴当四边形是“等邻边四边形”，且时，
∴；
如图所示，当时，过点F作交于点H，连接
∴
∵，
∴，
∵，即
∴
∴，
∴
∴此时四边形是“等邻边四边形”；
∴
∵
∴是等边三角形
∴，
如图所示，当时，过点M作交于点M
∴
∴
∴
∴
∴
综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）解题思路：通过勾股定理结合"等邻边四边形"的定义进行求解。
（2）解题过程：首先证明（AAS判定），从而得出DF=AB的关系，再进一步推导求解。
（3）详细解法：① 作辅助线：过点B作BG⊥AE交AE于点G
② 计算得出：AB=BE=4
③ 运用勾股定理计算：AG==
④ 求得：AE=2AG=
⑤ 分三种情况讨论，结合勾股定理和等边三角形性质求解
（1）如图所示，
图（甲）和图（乙）中，；
图（丙）中；
∴四边形是等邻边四边形；
（2）∵四边形是平行四边形
∴，，
∴
∵，，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图所示，过点B作交于点G
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴当四边形是“等邻边四边形”，且时，
∴；
如图所示，当时，过点F作交于点H，连接
∴
∵，
∴，
∵，即
∴
∴，
∴
∴此时四边形是“等邻边四边形”；
∴
∵
∴是等边三角形
∴，
如图所示，当时，过点M作交于点M
∴
∴
∴
∴
∴
综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或．
1 / 1浙江省舟山市定海区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·定海期中）下列四家银行的标志中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·定海期中）下列式子中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·定海期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·定海期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·定海期中）某河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是（　　）
A．米 B．20米 C．米 D．30米
6．（2025八下·定海期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论.3月，定海二中九思图书馆为响应学校“阅读月”活动，向学生全天开放．据统计，第一周进馆128人次，进馆人次每周增加，第三周进馆392人次，若进馆人次的周平均增长率相同，设进馆人次的周平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八下·定海期中）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中每个内角都大于
D．三角形中没有一个内角小于
8．（2025八下·定海期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（　　）
A．4 B．3 C． D．
9．（2025八下·定海期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若方程的两个根是和，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025八下·定海期中）如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤
二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11．（2025八下·定海期中）二次根式 中字母x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·定海期中）若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形是正　 　边形．
13．（2025八下·定海期中）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能、投球技能、身体素质三方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占、投球技能占、身体素质占计算选手的综合成绩（百分制）．选手张少能控球技能得90分，投球技能得80分．身体素质得85分，则张少能的综合成绩为　 　．
14．（2025八下·定海期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
15．（2025八下·定海期中）已知，关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为　 　．
16．（2025八下·定海期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是　 　．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2025八下·定海期中）计算下列各式：
（1）
（2）
18．（2025八下·定海期中）解下列方程：
（1）
（2）
19．（2025八下·定海期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？
20．（2025八下·定海期中）如图，在平行四边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在上作出点，使；
（2）若点是上一点，连结，请过点作线段的平行线段，并交于点．
21．（2025八下·定海期中）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 a 376 90% 30%
乙组 b c 196 90% 10%
（1）以上成绩统计分析表中______分，______分，______分
（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．
（3）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由
22．（2025八下·定海期中）如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
23．（2025八下·定海期中）根据以下素材，探索完成任务．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为元件，平均每天销售量是件，在实体店的销售价定为元件，平均每天销售量是件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．
素材3 据调查，网上销售价每降低元，网上销售量平均每天多售出件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为元件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润总毛利润网上毛利润实体店毛利润达到元，求每件商品的网上销售价下降多少元？
任务3 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？
24．（2025八下·定海期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上；
（2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查中心对称图形的概念。在平面内，若一个图形绕某点旋转180°后能与另一个图形重合，则称这两个图形互为中心对称图形。解题关键在于熟练掌握中心对称图形的定义。通过逐一分析各选项是否符合定义要求进行判断。
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
B.符合最简二次根式的条件，故此选项是最简二次根式，符合题意；
C.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
D.，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
【分析】本题考查最简二次根式的概念。最简二次根式需同时满足以下两个条件：
1. 被开方数的因式中不含分母；
2. 被开方数中不存在可开方的因数或因式（即被开方数的因数均为质数，且幂指数不超过1）。
依据上述定义，通过分析被开方数的因式分解结果来判断二次根式是否为最简形式。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，A不符合题意；
B．，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，B不符合题意；
C．，是一元二次方程，故该选项正确，C符合题意；
D．，是一元一次方程，故该选项不正确，D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，通过逐一分析选项中的方程是否符合一元二次方程的定义来解答。一元二次方程的定义要点是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，A不符合题意；
B.，计算正确，B符合题意；
C.，计算错误，C不符合题意；
D.，计算错误，D不符合题意；
故选B．
【分析】本题主要考查二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题关键。直接运用二次根式的运算规则进行计算即可。
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比，
∴，
∵堤高米，
∴(米).
故答案为：A.
【分析】根据坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比建立方程可求出AC的长.
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的周平均增长率为，
则根据题意，可列方程是，
故选：A．
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于正确理解题意并建立方程模型。
设进馆人次的周平均增长率为，根据题意可知： 第一周进馆128人次；进馆人次每周按相同增长率递增；第三周达到392人次
由此可建立方程：第一周128人次，
第二周128(1+x)人次，
第三周128(1+x)2=392人次。
通过解这个一元二次方程即可求出周平均增长率x的值。
7．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于，题设是：三角形，结论是：至少有一个内角小于或等于，
∴与“至少有一个”意义相反的是“每个都”，
∴反证法的第一步是先假设：三角形中每个内角都大于，
故选：C ．
【分析】本题考查反证法的应用，关键在于明确题设与结论，并运用反证法的步骤进行合理假设和推理。反证法的基本思路是：假设原命题的结论不成立（即在原命题条件下结论为假），通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原假设不成立，原命题成立。根据反证法的原理进行推导即可求解。
8．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为2、2、3、3、3、3、4、4、4、8，
，
故选C．
【分析】本题考查方差和平均数的计算，依据相关公式进行解答即可。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：若方程的两个根是和，则，∴，
∴，故说法①正确；
若是方程的一个根，则，
∴，
∴或，
∴当时，不一定有，故说法②错误；
若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确；
若方程有一个根是，则，
∴，即，
∴方程一定有一个实数根，故说法④正确；
综上，说法正确的有3个，
故选：C．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，掌握相关概念是解题关键。根据韦达定理可得，由此可判断①正确；将代入方程变形后可判断②；将代入方程可验证③；将代入方程并变形得到，由此可判断④成立。
综上，通过对方程的解及变形分析，可以得出正确的结论。
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，但不一定等于，∴不一定等于，故①错误；
∵，
∴
∵平分
∴
又∵
∴
∴
∵中点为F
∴，故②正确；
如图所示，延长，交于点H
∵
∴
∵，
∴
∴
∵点F为的中点
∴是的中位线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵是的中位线
∴
∴，故③错误；
如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，故④正确；
∵，，而不一定等于
∴不一定等于，故⑤错误，
综上所述，其中判断正确的是②④．
故选：B．
【分析】本题综合考查了以下几何知识点：1. 中位线定理的应用
2. 全等三角形的判定条件（如SAS、ASA等）与性质（对应边、角相等）
3. 等腰三角形的性质（底角相等）与判定方法
4. 平行四边形的判定定理（如对边平行且相等）
解题时需灵活运用这些几何定理，通过逻辑推理完成证明或计算。掌握各知识点的内在联系是突破此类问题的关键。
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设正多边形有n条边，
则，
解得：；
故答案为：六．
【分析】根据正多边形的内角和即可求出答案.
13．【答案】85
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：控球技能占、投球技能占、身体素质占计算选手的综合成绩，张少能控球技能得90分，投球技能得80分．身体素质得85分，
∴（分），
∴张少能的综合成绩为分，
故答案为：85 ．
【分析】本题主要考查加权平均数的计算方法，掌握其计算步骤是解答的关键。根据题目要求，利用加权平均数的公式进行求解即可。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵，是方程的两个实数根，∴，，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解与根与系数的关系。首先根据方程的解可得，再利用韦达定理得到。将所求表达式变形为，最后代入已知条件计算即可。掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键。
15．【答案】-1，0，1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，方程为，此时解为，符合题意；当时，，
∴，，
∵和k均为整数，
∴或1，
综上所述，k的值为-1，0，1，
故答案为：-1，0，1．
【分析】本题重点考查一元二次方程根与系数的关系，解题时需注意分类讨论思想的应用。
分两种情况讨论：1. 当时，方程退化为一次方程，需要单独验证其根是否为整数；
2. 当时，运用韦达定理，将根与系数关系表示为：
和，
据此可求得满足条件的k值。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示：
，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，此时，
∴最小值为，
故答案为： ．
【分析】本题综合考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时需要先添加辅助线：延长线段和，在的延长线上取点使得，连接。接着过点作于点，过点作交的延长线于点。
通过勾股定理和平行四边形的性质，可求出线段的长度。进一步证明四边形为平行四边形，再利用全等三角形的性质得到对应边相等。最后根据"垂线段最短"的性质确定最小值，即可完成解答。
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答时需要掌握二次根式的化简和合并方法。
（1）首先将各项化为最简二次根式，然后合并并进行约分；
（2）先利用完全平方公式展开表达式，再按照二次根式的乘除法则进行运算，最后合并。
（1）解：
（2）
18．【答案】（1）解：∵，∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，，∴，
∴，
即，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的求解方法，需要根据方程特点选择适当的解法。
（1）采用配方法求解一元二次方程；
（2）采用求根公式法（公式法）求解一元二次方程。
（1）解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
即，．
19．【答案】解：依题意，当地面时间经过5分钟即300秒时
飞船内经过的时间为秒
答：当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过时间．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】本题重点考察二次根式的实际应用，解题的核心在于理解题意并正确建立数学关系式。
20．【答案】（1）解：如图，
点即为所求；
∵四边形是平行四边形，
∴
（2）（2）如图，
线段即为所求．∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质及其判定方法，解题时需要掌握相关核心知识点。
（1）首先连接对角线与相交于点，该交点即为所求位置；
（2）接着连接线段并延长至与边相交于点，最后连接即可完成作图。
（1）解：如图，点即为所求；
∵四边形是平行四边形，
∴，
（2）如图，线段即为所求．
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
21．【答案】（1）60，68，70
（2）解：小亮得了70分，在小组中属中游略偏上，说明中位数小于70，因此在甲组；
（3）解：选择甲组，虽然甲组的方差大，数据不稳定，但是甲组的优秀率高于乙组，并且有考满分的同学，很有可能获得个人第一名．（答案不唯一）
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：甲组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是60，因此中位数是60，即，
分，即，
乙组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是70，因此中位数是70，即，
故答案为：60，68，70；
【分析】（1）利用中位数的定义、平均数的计算公式求出a，b、c的值即可；
（2）利用中位数的意义解答即可；
（3）比较两组的方差，再利用方差的意义解答即可．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形
（2）解：，，，
，
连接交于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的长为
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质。解题的关键在于证明，从而为后续推理奠定基础。
（1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
连接交于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
的长为．
23．【答案】解：任务：由题意，当网上售价降至元件时，下降幅度为：元；网上销量增加件，
总销量为件．
网上毛利润为：元．
又实体店销量减少：件，总销量为件．
实体店毛利润为：元．
任务：由题意，设网上售价下降元，总毛利润为元，
网上毛利润为：．
实体店毛利润为：
总利润方程为：．
．
．
或．
每件商品的网上销售价下降元或元．
任务：依据题意，由总利润函数为：
∴当时，总利润最大
∴网上销售价下降5元时总毛利润最大
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及配方法的使用。解题关键在于根据题意正确建立方程模型。设未知数，列出一元二次方程后，通过配方法将方程转化为的形式求解。注意配方的步骤要完整，确保方程两边同时进行相同运算以保持等式成立。最终结果需检验是否符合实际意义。
24．【答案】（1）解：如图所示，
图（甲）和图（乙）中，；
图（丙）中；
∴四边形是等邻边四边形
（2）∵四边形是平行四边形∴，，
∴
∵，，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴四边形是“等邻边四边形”
（3）如图所示，过点B作交于点G
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴当四边形是“等邻边四边形”，且时，
∴；
如图所示，当时，过点F作交于点H，连接
∴
∵，
∴，
∵，即
∴
∴，
∴
∴此时四边形是“等邻边四边形”；
∴
∵
∴是等边三角形
∴，
如图所示，当时，过点M作交于点M
∴
∴
∴
∴
∴
综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）解题思路：通过勾股定理结合"等邻边四边形"的定义进行求解。
（2）解题过程：首先证明（AAS判定），从而得出DF=AB的关系，再进一步推导求解。
（3）详细解法：① 作辅助线：过点B作BG⊥AE交AE于点G
② 计算得出：AB=BE=4
③ 运用勾股定理计算：AG==
④ 求得：AE=2AG=
⑤ 分三种情况讨论，结合勾股定理和等边三角形性质求解
（1）如图所示，
图（甲）和图（乙）中，；
图（丙）中；
∴四边形是等邻边四边形；
（2）∵四边形是平行四边形
∴，，
∴
∵，，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图所示，过点B作交于点G
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴当四边形是“等邻边四边形”，且时，
∴；
如图所示，当时，过点F作交于点H，连接
∴
∵，
∴，
∵，即
∴
∴，
∴
∴此时四边形是“等邻边四边形”；
∴
∵
∴是等边三角形
∴，
如图所示，当时，过点M作交于点M
∴
∴
∴
∴
∴
综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或．
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