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浙江省温州市龙湾区2024-2025学年下学期八年级数学期中质量检测
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项，不选、多选、错选均不给分）
1．（2025八下·龙湾期中）下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·龙湾期中）若式子有意义，则实数x的值可能是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2025八下·龙湾期中）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
4．（2025八下·龙湾期中）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2025八下·龙湾期中）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·龙湾期中）在平行四边形中，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·龙湾期中）用反证法证明“如果，那么”时，应假设（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·龙湾期中）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·龙湾期中）如图，取一张长与宽之比为的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·龙湾期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025八下·龙湾期中）当时，二次根式的值为　 　．
12．（2025八下·龙湾期中）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则　 　（填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定．
13．（2025八下·龙湾期中）冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机.如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是　 　米.
14．（2025八下·龙湾期中）某校规定：学生本学期体育总评成绩由参与课堂活动、日常测试、学期末测试三部分构成，小明本学期这三部分成绩分别是90分，85分，88分，各部分在总评中所占比例依次为，则小明本学期体育总评成绩为　 　分.
15．（2025八下·龙湾期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为　 　.
16．（2025八下·龙湾期中）如图，在△ABC中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长是　 　．
17．（2025八下·龙湾期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为　 　.
18．（2025八下·龙湾期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为　 　．
三、解答题（本题有6小题，共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2025八下·龙湾期中）（1）计算：．
（2）解方程：．
20．（2025八下·龙湾期中）如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，E是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图.
（1）直接写出边的长=_______；
（2）在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使得.
21．（2025八下·龙湾期中）近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）.有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 88.5 98
B 88
（1）求出上述图表中，，的值；
（2）若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由.
22．（2025八下·龙湾期中）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
23．（2025八下·龙湾期中）根据以下销售情况，解决销售任务.
清明果销售价格的探究
素材1 清明节期间，某超市以每袋元的价格购进了袋真空包装的清明果，第一周以每袋元的价格销售了袋.
素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价2元，超市平均可多售出袋，但最低每袋要盈利元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋元.
解决问题
任务1 若设第二周单价为每袋降低元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋.
任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋.（用的代数式表示）
②该超市想通过销售这批清明果获利元，那第二周的单价每袋应是多少元？
24．（2025八下·龙湾期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.
（1）当 时，平分四边形的面积.
（2）当与四边形的某一边平行时，求的值.
（3）连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、笛卡尔爱心曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、 费马螺线是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、 卡西尼卵形线既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着平面内某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可．
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，则，
∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出x的取值范围.
3．【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是0，
将代入一元二次方程，
得，
解得：，
故答案为：A．
【分析】能使一个一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是该一元二次方程的解，据此将x=0代入方程x2+x+a-1=0，可得关于字母a的方程，求解即可.
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的内角和公式即可求解。
【解答】因为多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
所以（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
所以这个多边形的边数是6．
故选B．
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；平方根的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、正数的算术平方根是它的正的平方根，结果只有一个值；
B、一个正数的两个平方根的平方都等于它本身；
C、算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、同类二次根式可以合并．方法类似合并同类项，不是同类二次根式也不能合并.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“如果，那么”时，应假设，
故答案为：D．
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∴的周长，
∵为，
∴，
∴的周长为，
故选：．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质以及线段垂直平分线的特性，需要综合运用这些知识点来解决问题。
由题可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得对角线互相平分，即。由此可以推导出是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得。
所以，三角形的周长可以表示为。再结合题目给定的条件，平行四边形的周长为，通过这个信息即可完成最终求解。
9．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：包装盒的容积为，矩形纸板的长为，
根据题意可得：，
故答案为：D．
【分析】利用长方体的体积公式并结合“ 包装盒的容积为 ”列出方程即可.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵，
即，
∵，
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
【分析】本题主要考查平移的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。首先运用勾股定理求出边的长度。根据平行四边形的性质可知，当最短时，也最短，此时点的位置满足垂线段最短的条件。然后利用面积关系，求出的长度，进而确定的长度，最终得出答案。
11．【答案】
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：把代入，得
化简得，原式=；
即
故答案为：
【分析】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式．
12．【答案】乙班
【知识点】方差
【解析】【解答】解：已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，因为，即，所以乙班的成绩更稳定．
故答案为：乙班．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小．
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：（米）．
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是利用直角三角形解决坡度坡角相关问题。在直角三角形中，已知坡面的坡度比等于垂直高度与水平距离之比，通过这个关系可以求出的长度，再运用勾股定理即可计算出坡面的长度。
14．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意，小明本学期体育总评成绩为：
（分）
故答案为：
【分析】本题主要考查加权平均数的相关知识点；解题关键在于熟练掌握加权平均数的计算方法及其应用。根据题目要求，运用加权平均数的计算公式进行求解即可得到正确答案。
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；关于原点对称的点的坐标特征；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得，
∴点
则关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及关于原点对称点的坐标性质。解题关键在于通过判别式的条件确定参数的值。具体步骤如下：
①根据题意，一元二次方程有两个相等的实数根，因此判别式必须满足；
②由判别式为零的条件，可以建立关于的方程，解这个方程求出的具体数值；
③将求得的值代入点的坐标表达式中，确定点的具体位置；
④最后根据关于原点对称的点的坐标变换规律（横纵坐标都取相反数），求出对称点的坐标。
整个过程体现了方程思想与坐标变换的结合运用。
16．【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，是的中点，，
，
．
，
故答案为：12．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理的应用。根据中位线定理可得。同时利用直角三角形斜边中线性质得到。通过分析图中各线段之间的数量关系，最终求出线段的长度。解题时需掌握三角形中位线平行且等于第三边一半的性质，题目难度适中，综合考查基础知识运用能力。
17．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：将增长率记作x，
根据题意得：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查如何根据实际问题建立一元二次方程模型，解题关键在于准确理解题意并找出等量关系。
已知首日票房为200万元，设每日增长率为x，则：
第二日票房可表示为万元，
第三日票房为万元。
根据题干中"累计票房收入共728万元"这一条件，将三日的票房相加即可建立关于x的一元二次方程。
18．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
作于K，过E点作于P．
∵，
∴，
∴，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
∴
故答案为：．
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于正确作出辅助线。
①根据平行四边形的性质，对边平行且相等。
②利用折叠的性质，折叠前后对应线段长度不变。
③通过构造直角三角形，运用勾股定理建立方程求解。
④最终得出正确答案。
19．【答案】解：（1）
；
（2），
∴，
则，
∴或，
解得或
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，需要熟练掌握二次根式的运算法则以及一元二次方程的解法。
（1）解答过程需运用二次根式的性质及乘法法则进行计算；
（2）解答过程应采用配方法求解该一元二次方程。
20．【答案】（1）
（2）解：如图，格点，点即为所求，
【知识点】平行四边形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：如下图所示，过点作于点，
由网格图可知，，，
，
故答案为：；
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）通过作辅助线求解：过点作于点，构造直角三角形，运用勾股定理即可求得结果。
（2）作图步骤：
① 取格点，使且；
② 连接，形成平行四边形；
③ 连接对角线与，交于点；
④ 连接并延长，与的交点即为所求点。
（1）解：如下图所示，过点作于点，
由网格图可知，，，
，
故答案为：；
（2）如图，格点，点即为所求，
21．【答案】（1）解：由题意得：，即，
∵A款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89，
∴B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88，
∴中位数，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴众数；
故答案为：15，88，96
（2）A款聊天机器人更受喜爱，
理由如下：平均数相同，A款聊天机器人的中位数高于B款聊天机器人的中位数、A款聊天机器人的众数高于B款聊天机器人的众数，
∴A款聊天机器人更受喜爱
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】本题主要考查扇形统计图、中位数和众数的相关知识，解题关键在于准确理解中位数和众数的概念，并掌握其计算方法。
（1）求a值时，用1减去其他三个等级所占百分比即可；b值根据中位数的定义确定；c值根据众数的定义确定。
（2）解答时需要从平均数、中位数和众数三个统计量进行综合分析。
（1）解：由题意得：，
即，
∵A款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89，
∴B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88，
∴中位数，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴众数；
故答案为：15，88，96；
（2）A款聊天机器人更受喜爱，理由如下：平均数相同，A款聊天机器人的中位数高于B款聊天机器人的中位数、A款聊天机器人的众数高于B款聊天机器人的众数，
∴A款聊天机器人更受喜爱.
22．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵，
，
又平分，
，
∵AD∥BC，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，
又平分，平分，
，，
，
又四边形是平行四边形，
，AB=CD，
，
在和中
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由两直线平行，同位角相等可得∠BAD=110°，根据角平分线的定义求出，最后根据二直线平行，内错角相等可得；
（2）根据平行四边形的对角相等可得，结合角平分线的定义即可推出，再根据平行四边形的对边平行得出AB∥CD，AB=CD，由两直线平行，内错角相等可得，利用“ASA”可证，根据全等三角形对应边相等可证．
（1）解：四边形是平行四边形，，
，
又平分，
又四边形是平行四边形，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，
又平分，平分，
，，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
在和中
，
，
．
23．【答案】解：任务1：；
任务：①
②由题意得，第二周单价为每袋降低元，
．
或．
又第二周最低每袋要盈利元，
．
．
．
第二周的单价每袋应是．
答：第二周的单价每袋应是元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：任务1：∵每袋清明果每降价2元，超市平均可多售出袋，即每降价1元，超市平均可多售出袋，又设第二周单价为每袋降低元，
第二周的单价为元，销量是袋．
故答案为：；．
任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为：
．
故答案为：．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键在于正确理解题意并建立方程。
任务1：由题可知，设第二周单价降低x元，则第二周的单价为元，销量是袋。
任务2：①计算两周后的剩余清明果数量： ，得到剩余数量为。
②建立利润方程：
解此方程得到x值后，需验证是否满足第二周每袋最低盈利15元的条件。
24．【答案】（1）
（2）当时，∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或
（3）如图，
连接，作于点E，则
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
综上可知，值为或或
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，∵
∴四边形是直角梯形，
由题意可得，，
解得，
故答案为：
【分析】本题综合考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及解一元二次方程等知识点，解题时需要注意分情况讨论的重要性。
（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案；
（2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可；
（3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可.
（1）解：由题意可得，，
∵
∴四边形是直角梯形，
由题意可得，，
解得，
故答案为：
（2）当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或.
（3）如图，连接，作于点E，则
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
综上可知，值为或或.
1 / 1浙江省温州市龙湾区2024-2025学年下学期八年级数学期中质量检测
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项，不选、多选、错选均不给分）
1．（2025八下·龙湾期中）下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、笛卡尔爱心曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、 费马螺线是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、 卡西尼卵形线既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着平面内某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可．
2．（2025八下·龙湾期中）若式子有意义，则实数x的值可能是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，则，
∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出x的取值范围.
3．（2025八下·龙湾期中）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是0，
将代入一元二次方程，
得，
解得：，
故答案为：A．
【分析】能使一个一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是该一元二次方程的解，据此将x=0代入方程x2+x+a-1=0，可得关于字母a的方程，求解即可.
4．（2025八下·龙湾期中）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的内角和公式即可求解。
【解答】因为多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
所以（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
所以这个多边形的边数是6．
故选B．
5．（2025八下·龙湾期中）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；平方根的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、正数的算术平方根是它的正的平方根，结果只有一个值；
B、一个正数的两个平方根的平方都等于它本身；
C、算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、同类二次根式可以合并．方法类似合并同类项，不是同类二次根式也不能合并.
6．（2025八下·龙湾期中）在平行四边形中，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
7．（2025八下·龙湾期中）用反证法证明“如果，那么”时，应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“如果，那么”时，应假设，
故答案为：D．
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
8．（2025八下·龙湾期中）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∴的周长，
∵为，
∴，
∴的周长为，
故选：．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质以及线段垂直平分线的特性，需要综合运用这些知识点来解决问题。
由题可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得对角线互相平分，即。由此可以推导出是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得。
所以，三角形的周长可以表示为。再结合题目给定的条件，平行四边形的周长为，通过这个信息即可完成最终求解。
9．（2025八下·龙湾期中）如图，取一张长与宽之比为的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：包装盒的容积为，矩形纸板的长为，
根据题意可得：，
故答案为：D．
【分析】利用长方体的体积公式并结合“ 包装盒的容积为 ”列出方程即可.
10．（2025八下·龙湾期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵，
即，
∵，
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
【分析】本题主要考查平移的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。首先运用勾股定理求出边的长度。根据平行四边形的性质可知，当最短时，也最短，此时点的位置满足垂线段最短的条件。然后利用面积关系，求出的长度，进而确定的长度，最终得出答案。
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025八下·龙湾期中）当时，二次根式的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：把代入，得
化简得，原式=；
即
故答案为：
【分析】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式．
12．（2025八下·龙湾期中）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则　 　（填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定．
【答案】乙班
【知识点】方差
【解析】【解答】解：已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，因为，即，所以乙班的成绩更稳定．
故答案为：乙班．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小．
13．（2025八下·龙湾期中）冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机.如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是　 　米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：（米）．
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是利用直角三角形解决坡度坡角相关问题。在直角三角形中，已知坡面的坡度比等于垂直高度与水平距离之比，通过这个关系可以求出的长度，再运用勾股定理即可计算出坡面的长度。
14．（2025八下·龙湾期中）某校规定：学生本学期体育总评成绩由参与课堂活动、日常测试、学期末测试三部分构成，小明本学期这三部分成绩分别是90分，85分，88分，各部分在总评中所占比例依次为，则小明本学期体育总评成绩为　 　分.
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意，小明本学期体育总评成绩为：
（分）
故答案为：
【分析】本题主要考查加权平均数的相关知识点；解题关键在于熟练掌握加权平均数的计算方法及其应用。根据题目要求，运用加权平均数的计算公式进行求解即可得到正确答案。
15．（2025八下·龙湾期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；关于原点对称的点的坐标特征；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得，
∴点
则关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及关于原点对称点的坐标性质。解题关键在于通过判别式的条件确定参数的值。具体步骤如下：
①根据题意，一元二次方程有两个相等的实数根，因此判别式必须满足；
②由判别式为零的条件，可以建立关于的方程，解这个方程求出的具体数值；
③将求得的值代入点的坐标表达式中，确定点的具体位置；
④最后根据关于原点对称的点的坐标变换规律（横纵坐标都取相反数），求出对称点的坐标。
整个过程体现了方程思想与坐标变换的结合运用。
16．（2025八下·龙湾期中）如图，在△ABC中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长是　 　．
【答案】12
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，是的中点，，
，
．
，
故答案为：12．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理的应用。根据中位线定理可得。同时利用直角三角形斜边中线性质得到。通过分析图中各线段之间的数量关系，最终求出线段的长度。解题时需掌握三角形中位线平行且等于第三边一半的性质，题目难度适中，综合考查基础知识运用能力。
17．（2025八下·龙湾期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为　 　.
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：将增长率记作x，
根据题意得：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查如何根据实际问题建立一元二次方程模型，解题关键在于准确理解题意并找出等量关系。
已知首日票房为200万元，设每日增长率为x，则：
第二日票房可表示为万元，
第三日票房为万元。
根据题干中"累计票房收入共728万元"这一条件，将三日的票房相加即可建立关于x的一元二次方程。
18．（2025八下·龙湾期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
作于K，过E点作于P．
∵，
∴，
∴，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
∴
故答案为：．
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于正确作出辅助线。
①根据平行四边形的性质，对边平行且相等。
②利用折叠的性质，折叠前后对应线段长度不变。
③通过构造直角三角形，运用勾股定理建立方程求解。
④最终得出正确答案。
三、解答题（本题有6小题，共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2025八下·龙湾期中）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
；
（2），
∴，
则，
∴或，
解得或
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，需要熟练掌握二次根式的运算法则以及一元二次方程的解法。
（1）解答过程需运用二次根式的性质及乘法法则进行计算；
（2）解答过程应采用配方法求解该一元二次方程。
20．（2025八下·龙湾期中）如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，E是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图.
（1）直接写出边的长=_______；
（2）在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使得.
【答案】（1）
（2）解：如图，格点，点即为所求，
【知识点】平行四边形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：如下图所示，过点作于点，
由网格图可知，，，
，
故答案为：；
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）通过作辅助线求解：过点作于点，构造直角三角形，运用勾股定理即可求得结果。
（2）作图步骤：
① 取格点，使且；
② 连接，形成平行四边形；
③ 连接对角线与，交于点；
④ 连接并延长，与的交点即为所求点。
（1）解：如下图所示，过点作于点，
由网格图可知，，，
，
故答案为：；
（2）如图，格点，点即为所求，
21．（2025八下·龙湾期中）近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）.有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 88.5 98
B 88
（1）求出上述图表中，，的值；
（2）若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得：，即，
∵A款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89，
∴B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88，
∴中位数，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴众数；
故答案为：15，88，96
（2）A款聊天机器人更受喜爱，
理由如下：平均数相同，A款聊天机器人的中位数高于B款聊天机器人的中位数、A款聊天机器人的众数高于B款聊天机器人的众数，
∴A款聊天机器人更受喜爱
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】本题主要考查扇形统计图、中位数和众数的相关知识，解题关键在于准确理解中位数和众数的概念，并掌握其计算方法。
（1）求a值时，用1减去其他三个等级所占百分比即可；b值根据中位数的定义确定；c值根据众数的定义确定。
（2）解答时需要从平均数、中位数和众数三个统计量进行综合分析。
（1）解：由题意得：，
即，
∵A款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89，
∴B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88，
∴中位数，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴众数；
故答案为：15，88，96；
（2）A款聊天机器人更受喜爱，理由如下：平均数相同，A款聊天机器人的中位数高于B款聊天机器人的中位数、A款聊天机器人的众数高于B款聊天机器人的众数，
∴A款聊天机器人更受喜爱.
22．（2025八下·龙湾期中）如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵，
，
又平分，
，
∵AD∥BC，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，
又平分，平分，
，，
，
又四边形是平行四边形，
，AB=CD，
，
在和中
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由两直线平行，同位角相等可得∠BAD=110°，根据角平分线的定义求出，最后根据二直线平行，内错角相等可得；
（2）根据平行四边形的对角相等可得，结合角平分线的定义即可推出，再根据平行四边形的对边平行得出AB∥CD，AB=CD，由两直线平行，内错角相等可得，利用“ASA”可证，根据全等三角形对应边相等可证．
（1）解：四边形是平行四边形，，
，
又平分，
又四边形是平行四边形，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，
又平分，平分，
，，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
在和中
，
，
．
23．（2025八下·龙湾期中）根据以下销售情况，解决销售任务.
清明果销售价格的探究
素材1 清明节期间，某超市以每袋元的价格购进了袋真空包装的清明果，第一周以每袋元的价格销售了袋.
素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价2元，超市平均可多售出袋，但最低每袋要盈利元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋元.
解决问题
任务1 若设第二周单价为每袋降低元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋.
任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋.（用的代数式表示）
②该超市想通过销售这批清明果获利元，那第二周的单价每袋应是多少元？
【答案】解：任务1：；
任务：①
②由题意得，第二周单价为每袋降低元，
．
或．
又第二周最低每袋要盈利元，
．
．
．
第二周的单价每袋应是．
答：第二周的单价每袋应是元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：任务1：∵每袋清明果每降价2元，超市平均可多售出袋，即每降价1元，超市平均可多售出袋，又设第二周单价为每袋降低元，
第二周的单价为元，销量是袋．
故答案为：；．
任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为：
．
故答案为：．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键在于正确理解题意并建立方程。
任务1：由题可知，设第二周单价降低x元，则第二周的单价为元，销量是袋。
任务2：①计算两周后的剩余清明果数量： ，得到剩余数量为。
②建立利润方程：
解此方程得到x值后，需验证是否满足第二周每袋最低盈利15元的条件。
24．（2025八下·龙湾期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.
（1）当 时，平分四边形的面积.
（2）当与四边形的某一边平行时，求的值.
（3）连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）当时，∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或
（3）如图，
连接，作于点E，则
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
综上可知，值为或或
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，∵
∴四边形是直角梯形，
由题意可得，，
解得，
故答案为：
【分析】本题综合考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及解一元二次方程等知识点，解题时需要注意分情况讨论的重要性。
（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案；
（2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可；
（3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可.
（1）解：由题意可得，，
∵
∴四边形是直角梯形，
由题意可得，，
解得，
故答案为：
（2）当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
当时，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则，
解得，
综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或.
（3）如图，连接，作于点E，则
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
当时，，解得（不合题意的值的解已舍去）
综上可知，值为或或.
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