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浙江省金华市义乌市稠州中学2024-2025学年下学期八年级数学期中检测卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·义乌期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·义乌期中）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·义乌期中）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
鞋的尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量双 1 2 5 11 7 3 1
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（　　）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4．（2025八下·义乌期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·义乌期中）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（　　）
A．直角三角形的每个锐角都小于
B．直角三角形有一个锐角大于
C．直角三角形的每个锐角都大于
D．直角三角形有一个锐角小于
6．（2025八下·义乌期中）已知一组数据，，方差是2，则另一组数据，，方差是（　　）
A．2 B．0 C．8 D．4
7．（2025八下·义乌期中）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·义乌期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）
A．12 B．15 C．15 D．
10．（2025八下·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2025八下·义乌期中）若根式有意义，则x的取值范围是　 　 ．
12．（2025八下·义乌期中）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是　 　．
13．（2025八下·义乌期中）设，是方程的两实数根，则=　 　．
14．（2025八下·义乌期中）关于x的方程有实数根，则m能取的所有正整数的和为　 　 ．
15．（2025八下·义乌期中）如图，长方形纸片ABCD，，，E、F分别在边AB、BC上，将BEF沿EF折叠，点B落在处，当在AD上时，在AD上可移动的最大距离为　 　．
16．（2025八下·义乌期中）如图，在中，，，．点P从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点C运动，同时点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿向终点B运动，过点P作于点Q，连结，以为邻边作矩形，当点P运动到终点时，整个运动停止，点P的运动时间为t秒．当过点Q和点N的直线垂直于的一边时，　 　 ．
三、解答题（共8大题，共66分）
17．（2025八下·义乌期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·义乌期中）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2025八下·义乌期中）如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20米，坝顶宽CD为45米，求大坝横截面的面积和周长．
20．（2025八下·义乌期中）某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了如下统计图：
（1）根据上图提供的数据填空：
　 平均数 中位数 众数 方差
初中部 * 85 70
高中部 85 100 *
的值是 ，的值是 ；
（2）结合两队的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩好；
（3）根据题（1）中的数据，试通过计算说明，哪个代表队的成绩比较稳定？
21．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．
22．（2025八下·义乌期中）有一种葡萄，从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，若放在冷藏室，可延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质．假设保鲜期内的个体重量基本保持不变，现有一个体户，按市场价收购了这种葡萄，放在冷藏室内，此时市场价格为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的价格每天可上涨元，但是存放一天需各种费用20元，日平均每天还有葡萄变质丢弃．
（1）设x天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，P＝ 元．
（2）若存放x天后将鲜葡萄一次性出售，设鲜葡萄的销售总金额为y元，写出y关于x的函数关系式．
（3）该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获最大利润Q？最大利润Q是多少？（本题不要求写出自变量的取值范围）
23．（2025八下·义乌期中）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
24．（2025八下·义乌期中）如图，平面直角坐标系中一平行四边形，点A的坐标，点B的坐标，与交于点E，与y轴交于点G，直线交y轴于点F且G为线段的中点．
（1）求出直线的解析式．
（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段上的一动点，过点P作轴，垂足为H，连接．问是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
（3）点M是直线上的一个动点，且满足，在坐标平面内是否存在另一点N，使以O、F，M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 是最简二次根式，符合题意；
B.的被开方数含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.的被开方数含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意；
D.的被开方数含有小数0.01，故不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：∶A.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.
故答案为：B.
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，
又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，
所以该店主最应关注的销售数据是众数.
故答案为：C.
【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程得，
得，
得，
故答案为：D．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
5．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应先假设直角三角形每个锐角都小于．
故答案为：A．
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
6．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据，，方差是2，
∴数据，，的方差是；
故答案为：C．
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此可得若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，从而可得答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每月的下降率为，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
∴每月的下降率为，
故答案为：B．
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故B选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故C选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故D选项正确，不符合题意；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ABD=∠CDB；如果添加BE=FD，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加BF=DE，能推出BE=DF，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加∠1=∠2，可用“ASA”证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，由等角的补角相等推出∠AEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行推出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，据此即可逐一判断得出答案.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；等腰直角三角形；不等式的性质
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥OA于点D，
∴∠CDO=90°，
又∵∠AOC=45°，
∴∠OCD=∠COD=45°，
∴OD=CD=
∴
∵OA=4，
∴A(4，0)，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，且OA=BC，
∴点B，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则
解得：
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则
解得：
∴直线AC的解析式为：，
∴，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，
∴，
∵EP=3PF，
∴，
∴点P的横坐标为：，
∵，
∴．
∴
故答案为：A．
【分析】过点C作CD⊥OA于点D，易得△OCD是等腰直角三角形，由勾股定理求出OD=CD=，则可得点由OA=4可得A(4，0)，由平行四边形的对边平行且相等得出BC∥OA，且OA=BC，根据点的坐标与图形性质求出B；用待定系数法求出直线AB的解析式为：y=x-4，则x=y+4，用待定系数法求出直线AC的解析式为：，则，根据点的坐标与图形性质可得点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，根据两点间的距离公式表示出EF，结合PE=3PF可得，从而得点P的横坐标为：，结合即可求出m的取值范围.
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数、分式的分母不能为零及0指数幂的底数不能为零列出不等式组，求解即可.
12．【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意可知，
(n-2)×180°=2×360°，
即n=6，
∴正多边形的边数为六.
故答案为：六.
【分析】根据多边形内角和定理列出方程，解方程即可得到答案.
13．【答案】2014
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，
∴x1+x2=1，
∴x2=1-x1，．
∴
．
故答案为：2014.
【分析】根据一元二次方程根的定义得出，则，根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=1，则x2=1-x1，然后将待求式子拆为，然后依次整体代入计算即可.
14．【答案】6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【解答】解：当m-1=0，即m=1时，原方程为-4x+10=0，解得x=；
当，则，
解得且．
故m能取的正整数值为1，2，3，其和，6．
故答案为：6．
【分析】分类讨论：当m-1=0，即m=1时，方程为一元一次方程，一定有实数根；当m-1≠0时，方程为一元二次方程，根据一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围，综上，求出所有满足条件的m的正整数值，再求和即可.
15．【答案】4
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图1，当点F与点C重合时， ，
在长方形ABCD中，，，
∴CD=AB=5，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
如图2，当点E与点A重合时， ，
∴B'在AD上可移动的最大距离为5-1=4．
故答案为：4.
【分析】根据翻折变换，当点F与点C重合时，点B'到达最左边，此时B'F=BC=13，由长方形性质得CD=AB=5，∠D=90°，利用勾股定理算出B'D，由线段和差算出AB'的长；当点E与点A重合时，点B'到达最右边，此时AB'=AB=5，所以点B'就在这两个点之间移动，从而即可求出B'移动的最大距离.
16．【答案】2或
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，∵，，，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=20，
∴；
∴；
∵点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿向终点B运动，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，MN=PQ=
如图，若，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，若，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当或时，过点Q和点N的直线垂直于的一边．
故答案为：2或．
【分析】由路程、速度、时间三者的关系得AM=4t，PB=t，根据含30°角直角三角形的性质得，AC=10，利用勾股定理算出BQ=3t，BC=；由线段和差得MQ=20-7t，由矩形对边相等得PN=MQ=20-7t，MN=PQ=；分类讨论：当NQ⊥AC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得NQ∥BC，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠MQN，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出△ABC∽△NQM，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出t；当NQ⊥BC时，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得NQ∥AC，由二直线平行，同位角相等得∠A=∠BQN，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出△ABC∽△QNM，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出t，综上可得答案.
17．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则“”及除法法则“”计算二次根式的乘除法，再根据二次根式性质将各个二次根式化简即可；
（2）先根据二次根式性质化简各个二次根式，再利用那个乘法分配律展开括号，进而计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）把(x+2)看成一个整体，将方程右边利用提取公因式法分解因式后整体移到方程的左边，然后将方程左边再利用提取公因式分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，．
19．【答案】解：，米，
，
米，
，米，
，
米，
∵四边形ABCD是梯形，
∴CD∥AB，
∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE∥CF，∠DEF=90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴EF=CD=45米
（米），
（平方米）．
∵，
，
=（米），
大坝的横截面积为1350平方米，周长为（米）．
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】坡比就是坡面的竖直高度与水平宽度的比值，据此求出AE、BF的长，由梯形两底平行得出CD∥AB，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DE∥CF，则可得四边形DEFC是矩形，由矩形的对边相等得EF=CD=45米，根据线段和差算出AB的长，进而根据梯形面积公式可求出梯形ABCD的面积；在Rt△ADE与Rt△BFC中，分别根据勾股定理算出AD与BC，最后根据梯形周长计算公式算出梯形的周长即可.
20．【答案】解：（1）80，85
（2）（分）
因为初中代表队和高中代表队的平均数相同，但是初中代表队的中位数高于高中代表队，所以初中代表队的决赛成绩更好．
(3)高中部方差为：
∴初中部的成绩比较稳定．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）将高中代表队的成绩由低到高排列70，75，80，100，100，∴中位数为80，
∵初中代表队85分的有2个选手，出现次数最多，所以众数是85．
故答案为：80，85；
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可；
（2）利用平均数计算方法求出初中部参赛5位学生的平均成绩，由于初中部与高中部代表队的平均数相同，故直接比较中位数即可得出结论；
（3）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此计算出高中部参赛5位学生成绩的方差，即可判断得出答案.
21．【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO=90°，
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠BFC=∠AEB=90°
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，由垂直的定义得∠AEO＝∠CFO=90°，结合对顶角相等，利用“AAS”证△AOE≌△COF，根据全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等可得AE＝CF＝12cm，根据勾股定理求得BE，BF，进而根据线段和差求得EF，最后根据S平行四边形AFCE=2S△AEF列式计算即可.
（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CFB中
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132，
22．【答案】（1）(2+0.2x)
（2）解： y关于x的函数关系式为：
（3）解：由题意可得：
利润，
∴当时，利润最大，是405元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：原价为2，每天上涨元，
存放x天后可上涨元，
∴ x天后每千克鲜葡萄的市场价；
故答案为：(2+0.2x)；
（2）解：∵ 日平均每天还有1kg葡萄变质丢弃 ，
∴冷藏x天后可售葡萄的数量为(200-x)kg；
∵冷藏x天后每千克鲜葡萄的市场价为(2+0.2x)元，
∴ 存放x天后将鲜葡萄一次性出售，鲜葡萄的销售总金额为；
【分析】（1）根据市场价原价天上涨的价格列式即可；
（2）销售总金额天后的市场价可售葡萄的总质量可建立出y关于x的函数解析式；
（3）根据最大利润=销售总金额-冷藏x天的总费用-成本列出Q关于x的函数解析式，再根据函数性质求解即可.
（1）解：原价为2，每天上涨元，
存放x天后可上涨元，
∴；
（2）解：由题意可得：
；
（3）解：由题意可得：
利润，
当时，利润最大，是405元．
23．【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
24．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，AB∥OC
∵
∴，
又∵点G是OF的中点，
∴F(0，8)，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图1：连接交于，作于．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当点P与P'重合时，的值最小=．
由题意，
则运用待定系数法可得：直线的解析式为，
∴，
∴，
∴当点P坐标为时，的值最小．
（3）解：存在，当时，满足条件的N坐标为或或；当M（，）时，满足条件的点N坐标为（，）或（，﹣）或（﹣，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：设，
∵，
∴，
∴，解得或，
∴或，
当、时，
∵O、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当为边时，点N的纵坐标为或，则点N坐标或；
②当为对角线时，设N的坐标为
∵的中点为，
∴，解得：
∴点N坐标
∴点N的纵坐标为或或；
同理：当M时，满足条件的点N坐标为或或．
综上，满足条件的点N坐标为或或或或或．
【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分且对边平行得出OE=BE，AB∥OC，根据点的坐标与图形性质可得点G（0，4），然后利用中点坐标公式可求出点E、F的坐标，最后再运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）如图1：连接交于，作于，根据平行线间的距离相等可得FG=OG=P'H'，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出P'H'∥FG，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形FGH'P'是平行四边形，由平行四边形的对边相等得FP'=GH'，则当点P与P'重合时，的值最小；根据中点坐标公式易得点Q(4，-4)，然后利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据直线与x轴交点坐标特点求出点H'的坐标，最后根据点的坐标与图形性质求出点P'的坐标；
（3）根据点的坐标与图形性质，设，根据可得，利用平面内两点间的距离公式建立方程根可求出或，从而求得或；分类讨论： 当、时， ①当为边时， ②当为对角线时； 当M时， ①当为边时， ②当为对角线时； 分别结合平行四边形的性质及中点坐标公式求解即可.
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图1：连接交于，作于．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当点P与P'重合时，的值最小=．
由题意，则运用待定系数法可得：直线的解析式为，
∴，
∴，
∴当点P坐标为时，的值最小．
（3）解：设，
∵，
∴，
∴，解得或，
∴或，
当、时，
∵O、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当为边时，点N的纵坐标为或，则点N坐标或；
当为对角线时，设N的坐标为
∵的中点为，
∴，解得：
∴点N坐标
∴点N的纵坐标为或或；
同理：当M时，满足条件的点N坐标为或或．
综上，满足条件的点N坐标为或或或或或．
1 / 1浙江省金华市义乌市稠州中学2024-2025学年下学期八年级数学期中检测卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·义乌期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 是最简二次根式，符合题意；
B.的被开方数含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.的被开方数含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意；
D.的被开方数含有小数0.01，故不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：∶A.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
2．（2025八下·义乌期中）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.
故答案为：B.
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（2025八下·义乌期中）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
鞋的尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量双 1 2 5 11 7 3 1
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（　　）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，
又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，
所以该店主最应关注的销售数据是众数.
故答案为：C.
【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数.
4．（2025八下·义乌期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程得，
得，
得，
故答案为：D．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
5．（2025八下·义乌期中）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（　　）
A．直角三角形的每个锐角都小于
B．直角三角形有一个锐角大于
C．直角三角形的每个锐角都大于
D．直角三角形有一个锐角小于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应先假设直角三角形每个锐角都小于．
故答案为：A．
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立；在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
6．（2025八下·义乌期中）已知一组数据，，方差是2，则另一组数据，，方差是（　　）
A．2 B．0 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据，，方差是2，
∴数据，，的方差是；
故答案为：C．
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此可得若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，从而可得答案.
7．（2025八下·义乌期中）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每月的下降率为，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
∴每月的下降率为，
故答案为：B．
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可.
8．（2025八下·义乌期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故B选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故C选项正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB；
又∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故D选项正确，不符合题意；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ABD=∠CDB；如果添加BE=FD，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加BF=DE，能推出BE=DF，可用“SAS”证△ABE≌△CDF；如果添加∠1=∠2，可用“ASA”证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，由等角的补角相等推出∠AEF=∠CFE，由内错角相等，两直线平行推出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，据此即可逐一判断得出答案.
9．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）
A．12 B．15 C．15 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
10．（2025八下·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；等腰直角三角形；不等式的性质
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥OA于点D，
∴∠CDO=90°，
又∵∠AOC=45°，
∴∠OCD=∠COD=45°，
∴OD=CD=
∴
∵OA=4，
∴A(4，0)，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，且OA=BC，
∴点B，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则
解得：
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则
解得：
∴直线AC的解析式为：，
∴，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，
∴，
∵EP=3PF，
∴，
∴点P的横坐标为：，
∵，
∴．
∴
故答案为：A．
【分析】过点C作CD⊥OA于点D，易得△OCD是等腰直角三角形，由勾股定理求出OD=CD=，则可得点由OA=4可得A(4，0)，由平行四边形的对边平行且相等得出BC∥OA，且OA=BC，根据点的坐标与图形性质求出B；用待定系数法求出直线AB的解析式为：y=x-4，则x=y+4，用待定系数法求出直线AC的解析式为：，则，根据点的坐标与图形性质可得点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，根据两点间的距离公式表示出EF，结合PE=3PF可得，从而得点P的横坐标为：，结合即可求出m的取值范围.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2025八下·义乌期中）若根式有意义，则x的取值范围是　 　 ．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数、分式的分母不能为零及0指数幂的底数不能为零列出不等式组，求解即可.
12．（2025八下·义乌期中）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是　 　．
【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意可知，
(n-2)×180°=2×360°，
即n=6，
∴正多边形的边数为六.
故答案为：六.
【分析】根据多边形内角和定理列出方程，解方程即可得到答案.
13．（2025八下·义乌期中）设，是方程的两实数根，则=　 　．
【答案】2014
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，
∴x1+x2=1，
∴x2=1-x1，．
∴
．
故答案为：2014.
【分析】根据一元二次方程根的定义得出，则，根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=1，则x2=1-x1，然后将待求式子拆为，然后依次整体代入计算即可.
14．（2025八下·义乌期中）关于x的方程有实数根，则m能取的所有正整数的和为　 　 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【解答】解：当m-1=0，即m=1时，原方程为-4x+10=0，解得x=；
当，则，
解得且．
故m能取的正整数值为1，2，3，其和，6．
故答案为：6．
【分析】分类讨论：当m-1=0，即m=1时，方程为一元一次方程，一定有实数根；当m-1≠0时，方程为一元二次方程，根据一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围，综上，求出所有满足条件的m的正整数值，再求和即可.
15．（2025八下·义乌期中）如图，长方形纸片ABCD，，，E、F分别在边AB、BC上，将BEF沿EF折叠，点B落在处，当在AD上时，在AD上可移动的最大距离为　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图1，当点F与点C重合时， ，
在长方形ABCD中，，，
∴CD=AB=5，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
如图2，当点E与点A重合时， ，
∴B'在AD上可移动的最大距离为5-1=4．
故答案为：4.
【分析】根据翻折变换，当点F与点C重合时，点B'到达最左边，此时B'F=BC=13，由长方形性质得CD=AB=5，∠D=90°，利用勾股定理算出B'D，由线段和差算出AB'的长；当点E与点A重合时，点B'到达最右边，此时AB'=AB=5，所以点B'就在这两个点之间移动，从而即可求出B'移动的最大距离.
16．（2025八下·义乌期中）如图，在中，，，．点P从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点C运动，同时点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿向终点B运动，过点P作于点Q，连结，以为邻边作矩形，当点P运动到终点时，整个运动停止，点P的运动时间为t秒．当过点Q和点N的直线垂直于的一边时，　 　 ．
【答案】2或
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，∵，，，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=20，
∴；
∴；
∵点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿向终点B运动，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，MN=PQ=
如图，若，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，若，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当或时，过点Q和点N的直线垂直于的一边．
故答案为：2或．
【分析】由路程、速度、时间三者的关系得AM=4t，PB=t，根据含30°角直角三角形的性质得，AC=10，利用勾股定理算出BQ=3t，BC=；由线段和差得MQ=20-7t，由矩形对边相等得PN=MQ=20-7t，MN=PQ=；分类讨论：当NQ⊥AC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得NQ∥BC，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠MQN，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出△ABC∽△NQM，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出t；当NQ⊥BC时，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得NQ∥AC，由二直线平行，同位角相等得∠A=∠BQN，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出△ABC∽△QNM，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出t，综上可得答案.
三、解答题（共8大题，共66分）
17．（2025八下·义乌期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则“”及除法法则“”计算二次根式的乘除法，再根据二次根式性质将各个二次根式化简即可；
（2）先根据二次根式性质化简各个二次根式，再利用那个乘法分配律展开括号，进而计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．（2025八下·义乌期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）把(x+2)看成一个整体，将方程右边利用提取公因式法分解因式后整体移到方程的左边，然后将方程左边再利用提取公因式分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，．
19．（2025八下·义乌期中）如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20米，坝顶宽CD为45米，求大坝横截面的面积和周长．
【答案】解：，米，
，
米，
，米，
，
米，
∵四边形ABCD是梯形，
∴CD∥AB，
∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE∥CF，∠DEF=90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴EF=CD=45米
（米），
（平方米）．
∵，
，
=（米），
大坝的横截面积为1350平方米，周长为（米）．
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】坡比就是坡面的竖直高度与水平宽度的比值，据此求出AE、BF的长，由梯形两底平行得出CD∥AB，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DE∥CF，则可得四边形DEFC是矩形，由矩形的对边相等得EF=CD=45米，根据线段和差算出AB的长，进而根据梯形面积公式可求出梯形ABCD的面积；在Rt△ADE与Rt△BFC中，分别根据勾股定理算出AD与BC，最后根据梯形周长计算公式算出梯形的周长即可.
20．（2025八下·义乌期中）某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了如下统计图：
（1）根据上图提供的数据填空：
　 平均数 中位数 众数 方差
初中部 * 85 70
高中部 85 100 *
的值是 ，的值是 ；
（2）结合两队的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩好；
（3）根据题（1）中的数据，试通过计算说明，哪个代表队的成绩比较稳定？
【答案】解：（1）80，85
（2）（分）
因为初中代表队和高中代表队的平均数相同，但是初中代表队的中位数高于高中代表队，所以初中代表队的决赛成绩更好．
(3)高中部方差为：
∴初中部的成绩比较稳定．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）将高中代表队的成绩由低到高排列70，75，80，100，100，∴中位数为80，
∵初中代表队85分的有2个选手，出现次数最多，所以众数是85．
故答案为：80，85；
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可；
（2）利用平均数计算方法求出初中部参赛5位学生的平均成绩，由于初中部与高中部代表队的平均数相同，故直接比较中位数即可得出结论；
（3）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此计算出高中部参赛5位学生成绩的方差，即可判断得出答案.
21．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．
【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO=90°，
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠BFC=∠AEB=90°
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，由垂直的定义得∠AEO＝∠CFO=90°，结合对顶角相等，利用“AAS”证△AOE≌△COF，根据全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等可得AE＝CF＝12cm，根据勾股定理求得BE，BF，进而根据线段和差求得EF，最后根据S平行四边形AFCE=2S△AEF列式计算即可.
（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CFB中
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132，
22．（2025八下·义乌期中）有一种葡萄，从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，若放在冷藏室，可延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质．假设保鲜期内的个体重量基本保持不变，现有一个体户，按市场价收购了这种葡萄，放在冷藏室内，此时市场价格为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的价格每天可上涨元，但是存放一天需各种费用20元，日平均每天还有葡萄变质丢弃．
（1）设x天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，P＝ 元．
（2）若存放x天后将鲜葡萄一次性出售，设鲜葡萄的销售总金额为y元，写出y关于x的函数关系式．
（3）该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获最大利润Q？最大利润Q是多少？（本题不要求写出自变量的取值范围）
【答案】（1）(2+0.2x)
（2）解： y关于x的函数关系式为：
（3）解：由题意可得：
利润，
∴当时，利润最大，是405元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：原价为2，每天上涨元，
存放x天后可上涨元，
∴ x天后每千克鲜葡萄的市场价；
故答案为：(2+0.2x)；
（2）解：∵ 日平均每天还有1kg葡萄变质丢弃 ，
∴冷藏x天后可售葡萄的数量为(200-x)kg；
∵冷藏x天后每千克鲜葡萄的市场价为(2+0.2x)元，
∴ 存放x天后将鲜葡萄一次性出售，鲜葡萄的销售总金额为；
【分析】（1）根据市场价原价天上涨的价格列式即可；
（2）销售总金额天后的市场价可售葡萄的总质量可建立出y关于x的函数解析式；
（3）根据最大利润=销售总金额-冷藏x天的总费用-成本列出Q关于x的函数解析式，再根据函数性质求解即可.
（1）解：原价为2，每天上涨元，
存放x天后可上涨元，
∴；
（2）解：由题意可得：
；
（3）解：由题意可得：
利润，
当时，利润最大，是405元．
23．（2025八下·义乌期中）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
24．（2025八下·义乌期中）如图，平面直角坐标系中一平行四边形，点A的坐标，点B的坐标，与交于点E，与y轴交于点G，直线交y轴于点F且G为线段的中点．
（1）求出直线的解析式．
（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段上的一动点，过点P作轴，垂足为H，连接．问是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
（3）点M是直线上的一个动点，且满足，在坐标平面内是否存在另一点N，使以O、F，M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，AB∥OC
∵
∴，
又∵点G是OF的中点，
∴F(0，8)，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图1：连接交于，作于．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当点P与P'重合时，的值最小=．
由题意，
则运用待定系数法可得：直线的解析式为，
∴，
∴，
∴当点P坐标为时，的值最小．
（3）解：存在，当时，满足条件的N坐标为或或；当M（，）时，满足条件的点N坐标为（，）或（，﹣）或（﹣，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：设，
∵，
∴，
∴，解得或，
∴或，
当、时，
∵O、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当为边时，点N的纵坐标为或，则点N坐标或；
②当为对角线时，设N的坐标为
∵的中点为，
∴，解得：
∴点N坐标
∴点N的纵坐标为或或；
同理：当M时，满足条件的点N坐标为或或．
综上，满足条件的点N坐标为或或或或或．
【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分且对边平行得出OE=BE，AB∥OC，根据点的坐标与图形性质可得点G（0，4），然后利用中点坐标公式可求出点E、F的坐标，最后再运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）如图1：连接交于，作于，根据平行线间的距离相等可得FG=OG=P'H'，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出P'H'∥FG，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形FGH'P'是平行四边形，由平行四边形的对边相等得FP'=GH'，则当点P与P'重合时，的值最小；根据中点坐标公式易得点Q(4，-4)，然后利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据直线与x轴交点坐标特点求出点H'的坐标，最后根据点的坐标与图形性质求出点P'的坐标；
（3）根据点的坐标与图形性质，设，根据可得，利用平面内两点间的距离公式建立方程根可求出或，从而求得或；分类讨论： 当、时， ①当为边时， ②当为对角线时； 当M时， ①当为边时， ②当为对角线时； 分别结合平行四边形的性质及中点坐标公式求解即可.
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图1：连接交于，作于．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当点P与P'重合时，的值最小=．
由题意，则运用待定系数法可得：直线的解析式为，
∴，
∴，
∴当点P坐标为时，的值最小．
（3）解：设，
∵，
∴，
∴，解得或，
∴或，
当、时，
∵O、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当为边时，点N的纵坐标为或，则点N坐标或；
当为对角线时，设N的坐标为
∵的中点为，
∴，解得：
∴点N坐标
∴点N的纵坐标为或或；
同理：当M时，满足条件的点N坐标为或或．
综上，满足条件的点N坐标为或或或或或．
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