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浙江省宁波市海曙区储能学校2024-2025学年下学期期中试卷八年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025八下·海曙期中）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，A选项符合题意；
B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，B选项不符合题意；
C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，C选项不符合题意；
D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，D选项不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握两者的定义是解题关键。
轴对称图形：一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。
中心对称图形：一个图形绕某点旋转180度后，旋转后的图形能与原图形完全重合，该点称为对称中心。
2．（2025八下·海曙期中）若可以合并为一项，则可以是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：可以合并为一项，
与是同类二次根式，
当时，与不是同类二次根式；故不符合题意；
当时，与是同类二次根式；故符合题意；
当时，与不是同类二次根式；故不符合题意；
当时，与不是同类二次根式；故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据2+可以合并为一项，可得2和是同类二次根式，把各选项中的值代入计算即可判断求解.
3．（2025八下·海曙期中）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x-1）2=6 D．（x-2）2=9
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】由原方程移项，得
x2-2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得
x2-2x+1=6
∴（x-1)2=6．
故选：C．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（2025八下·海曙期中）八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：7位同学的成绩按从高到低排列后，中位数对应第4名的成绩。要判断何同学是否进入前4名，只需比较他的成绩与中位数的大小关系：若成绩≥中位数，则必定进入前4名。
其他统计量分析：
平均数（A）反映整体平均水平；众数（B）反映最频繁出现的数值；方差（C）反映数据的离散程度；
这些统计量均无法直接确定具体排名位置。
故选：D．
【分析】本题考查中位数的实际应用。在奇数个有序数据中，中位数能准确划分数据的上半部分（前50%），因此通过比较个体数据与中位数的关系，可以判断其是否位于前50%的排名中。
5．（2025八下·海曙期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．矩形的邻边不能相等
B．菱形的对角线不能相等
C．矩形的对角线不能相互垂直
D．平行四边形的对角线可以互相垂直
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】A选项：矩形的邻边长度可以相等，当邻边相等时，矩形就转化为正方形，故A不正确。
B选项：菱形的对角线长度不一定相等，当对角线相等时，菱形就转化为正方形，故B不正确。
C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，当对角线互相垂直时，矩形就转化为正方形，故C不正确。
D选项：平行四边形的对角线可以具备互相垂直的性质，当对角线互相垂直时，平行四边形就转化为菱形，故D正确。
故答案选：D。
【分析】本题主要考查几何图形的性质判定。通过分析矩形、菱形、平行四边形等特殊四边形的性质变化，判断各选项命题的真伪。当四边形满足某些特殊条件时，会转化为更高一级的特殊四边形（如矩形→正方形，菱形→正方形，平行四边形→菱形），这是解题的关键依据。
6．（2025八下·海曙期中）用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于90° B．每一个内角都大于90°
C．有一个内角小于或等于90° D．每一个内角都小于90°
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设每一个内角都小于90°.
故答案为：D.
【分析】根据至少有一个内角大于或等于90°的反面就是每一个内角都小于90°。
7．（2025八下·海曙期中）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解方程，
因式分解得。
由此可得 或，
解得，。
根据题意，菱形的两条对角线长度即为方程的两个根，因此对角线长度分别为4和8。
利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算边长：
故答案选：A。
【分析】本题综合考查一元二次方程的解法和菱形的性质。首先通过因式分解法求出方程的两个实数根，即为菱形的两条对角线长度。再利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，通过勾股定理计算出边长。解题关键在于理解菱形的几何特性与代数方程的对应关系。
8．（2025八下·海曙期中）如图，将折叠，使点分别落在点处（点都在所在的直线上），折痕为，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，
根据折叠性质可知：MNAE，且∠FMN=∠DMN，
所以ABCDMN，
所以∠DMN=∠FMN=∠A，
已知∠AMF=50°，
所以∠DMF=180°-∠AMF=130°，
所以∠FMN=∠DMN=∠A=65°，
故答案选：D。
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、平行线的判定与性质以及折叠变换的特征，解题时需要结合图形进行分析。由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A，又由平角的定义，根据∠AMF＝50°，求得∠DMF的度数，然后可求得∠A的度数．
9．（2025八下·海曙期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少 若设门的对角线长为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设门的对角线长度为尺，根据题意可列出方程：；
故答案选：D。
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键在于正确理解题意并建立等量关系。设门的对角线为尺，根据题目描述：当竹竿横向放置时比门宽多4尺，竖向放置时比门高多2尺，斜向放置时正好与门对角线等长，运用勾股定理即可建立上述方程。
10．（2025八下·海曙期中）如图，平行四边形中，点E、F分别在上，依次连接，图中空白部分的面积分别为，已知，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．38 B．40 C．42 D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】设平行四边形总面积为S，则有：。
通过分析图形可得面积关系式：
，
由此解得，
最终阴影面积。
故答案选：A。
【分析】本题主要考查平行四边形性质的应用，解题关键在于理解图形各部分面积之间的关系。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八下·海曙期中）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．（2025八下·海曙期中）如果一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，那么这个多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为，其内角和公式为，外角和恒为。根据题意建立方程：
解得：
因此，这个多边形是六边形。
故答案填：6.
【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和的性质。解题关键是：记住n边形内角和公式，任何凸多边形的外角和都是，根据题意建立方程并求解即可。
13．（2025八下·海曙期中）在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：根据题目中给出的方差计算公式，
可以确定：数据个数（因为公式分母为20，表示有20个数据），
平均数（因为每个数据都减去25求方差），
因此，所求比值为：
故答案填：。
【分析】本题考查方差公式的理解与应用。通过分析方差公式的结构，可以确定数据个数和平均数，进而求出它们的比值。掌握方差公式的特点是解决此类问题的关键。
14．（2025八下·海曙期中）绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．若设全组有x名同学，则根据题意列出方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设全组共有x名同学，则每名同学所赠的作品为：件，
可得，
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于重要考点，掌握相关知识是解题关键。首先计算每名同学赠送的作品数量，然后计算x名同学总共赠送的作品数量，最后根据总作品数为182件建立方程。
15．（2025八下·海曙期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时：舍去，
②
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时，符合题意；
③
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时；
综上所述，的值为．
故答案为：
【分析】
按照新定义的概念分三种情况进行讨论，即：①；②；③，再进一步计算并检验即可.
16．（2025八下·海曙期中）在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，根据题目条件可知：
由此可得（根据勾股定理逆定理）
由于且，因此四边形构成矩形，从而有：
由于M是的中点，根据直角三角形性质：
要使PM最小，需使EF最小，即AP最小。根据垂线段最短原理，当时，AP取得最小值。
利用三角形面积公式：
计算得：
故答案为：
【分析】本题综合考查了以下知识点：勾股定理逆定理的应用，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质， 垂线段最短原理。首先证明四边形AEPF为矩形，得AP=EF；然后利用直角三角形性质得出PM=EF；最后通过面积法求出AP的最小值，从而确定PM的最小值。
三、解答题（本大题有7小题，共52分，第17—19题每题6分，第20—22题每题8分，第23题10分）
17．（2025八下·海曙期中）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】解：（1）原式
；
（2）
，
，
，
，
解得：，．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程的能力，需要熟练掌握相关运算法则和解题步骤。
（1）该小题考查二次根式的混合运算，解答时需按照二次根式的运算规则逐步计算；
（2）该小题考查解一元二次方程，解题时需要先将方程化为标准形式，然后运用配方法进行求解。
18．（2025八下·海曙期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，线段的两端点、都在格点上 ．
（1）在图1中画一个以为边、面积为12的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上）
（2）在图2中画一个以为对角线、面积为12的平行四边形．（要求：另外两个顶点也在格点上）
【答案】（1）解：如图，矩形即为所求，
（2）解：如图，平行四边即为所求，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形和矩形的性质，灵活运用相关性质是解题的关键。
1.利用矩形的性质，结合面积为12的要求，绘制图形；
2.根据平行四边形的性质，在面积为12的条件下，完成图形绘制。
（1）解：如图，矩形即为所求，
（2）解：如图，平行四边即为所求，
19．（2025八下·海曙期中）某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选．如表为甲、乙两位同学的得分情况．其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分．
学生 人气分 学习分 行规分 工作分
老师票数 学生票数 分数
甲 4 20 a 85 95 85
乙 2 25 70 90 92 90
（1） ___________ ， ___________ ；
（2）经全班同学讨论决定，候选人的最终得分将根据如图所示的百分比折算后计入总分，经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选．
【答案】（1）80，30
（2）甲被选上，理由如下：甲候选人的最后得分是：（分），
乙候选人的最后得分是：（分），
∵，
∴甲被选上．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】（1）根据题目描述，甲同学的人气分a计算如下：
（分）；
同时，百分比b的计算过程为：
，
因此。
故答案为：80，30。
【分析】本题主要考查加权平均数和扇形统计图的应用。解题关键在于熟练掌握加权平均数的计算公式，并能够通过扇形统计图提取有效信息。
（1）甲同学的人气分a由两部分组成：老师投票（每票10分）和同学投票（每票2分），两部分得分相加即为a的值。百分比b则是通过整体1减去其他已知百分比得出的。
（2）通过加权平均数的计算，可以分别求出甲、乙两位候选人的最终得分，进而进行比较。
（1）由题意，得（分）；
，即；
故答案为：80，30；
（2）甲被选上，理由如下：
甲候选人的最后得分是：（分），
乙候选人的最后得分是：（分），
∵，
∴甲被选上．
20．（2025八下·海曙期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若、是该方程的两个根，且，求的值．
【答案】（1）解：，
方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：，，
，
，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，以及根与系数关系的应用。
（1）通过计算判别式Δ的值，根据Δ的符号即可证明方程有两个实数根；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=k+4和x1x2=4k，然后将这些关系代入方程2x1+2x2=3x1x2中，解出k的值。
（1）解：，
方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：，，
，
，
解得：．
21．（2025八下·海曙期中）如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长．
【答案】（1）证明：连接AC交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，，
∴BO＝DO＝2，
，
∵四边形AFCE是矩形，
∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF，
，
．

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用。其中，通过勾股定理求出AO的长度是解决本题的关键步骤。（1）连接AC交EF于点O，根据平行四边形的性质可知AO＝CO，BO＝DO。可证明OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理，可证得四边形AFCE是平行四边形。
（2）利用勾股定理求出BD和AO的长度。根据矩形的性质可得AO＝EO＝，从而进一步求解。
（1）证明：连接AC交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，
，
∴BO＝DO＝2，
，
∵四边形AFCE是矩形，
∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF，
，
．
22．（2025八下·海曙期中）综合与实践
矩形菜园最大面积探究
情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度），用长的篱笆围出一个矩形菜园．
问题初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和长的篱笆围出矩形菜园，设，矩形菜园的面积为，完成下题： （1） （用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为时，则的长为多少？
问题续探 矩形菜园面积能否超过？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）．
【答案】解：问题初探：（1）由题意可得：，
（2）设，则，
∴，
∴，
解得，，
当时，，不符合题意，
∴．
变式探究：能，示意图如下：
此时面积为：，符合题意．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用以及列代数式的能力。
（1）设CD的长度为，则BC的长度可以通过总篱笆长度22m减去两倍的CD长度得到，即。
（2）设，根据面积公式可得：。解这个方程即可求出x的值。变式探究：当，时，满足题目条件，此时可以通过画图来验证。
23．（2025八下·海曙期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
∵无论x取何实数，都有，
∴，即的最小值为1．
【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ；
【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；
【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ．
【答案】（1）2
（2）解：，
∵，
∴，
∴无论x取何实数，二次根式都有意义；
（3）∵，，
∴，
∴
∵，
∴当，四边形的面积最大，最大值为．
（4）面积的最大值为．

【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程；偶次方的非负性；不等式的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）解：，
无论取何实数，都有，
，即的最小值为；
故答案为：；
（4）连结，如图，
∵点M是的中点，
∴，，
∴，
∵点M是的中点，点N是的中点，
∴，
∴ ， ，
∴
，
∵ 四边形的面积最大值为 ，
∴面积的最大值为．

【分析】（1）通过配方法将多项式化为完全平方式，利用其非负性质确定最小值。（2）对表达式进行配方，得到。由于最小值为正，故二次根式对所有实数x都有意义。
（3）由题可知，。，通过配方法求其最大值。
（4）连接，利用中点性质得和。推导与四边形面积的关系，结合（3）中四边形面积最大值，求出面积的最大值。
1 / 1浙江省宁波市海曙区储能学校2024-2025学年下学期期中试卷八年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025八下·海曙期中）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·海曙期中）若可以合并为一项，则可以是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．18
3．（2025八下·海曙期中）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x-1）2=6 D．（x-2）2=9
4．（2025八下·海曙期中）八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
5．（2025八下·海曙期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．矩形的邻边不能相等
B．菱形的对角线不能相等
C．矩形的对角线不能相互垂直
D．平行四边形的对角线可以互相垂直
6．（2025八下·海曙期中）用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于90° B．每一个内角都大于90°
C．有一个内角小于或等于90° D．每一个内角都小于90°
7．（2025八下·海曙期中）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·海曙期中）如图，将折叠，使点分别落在点处（点都在所在的直线上），折痕为，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·海曙期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少 若设门的对角线长为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·海曙期中）如图，平行四边形中，点E、F分别在上，依次连接，图中空白部分的面积分别为，已知，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．38 B．40 C．42 D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八下·海曙期中）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
12．（2025八下·海曙期中）如果一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，那么这个多边形的边数是　 　．
13．（2025八下·海曙期中）在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为　 　．
14．（2025八下·海曙期中）绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．若设全组有x名同学，则根据题意列出方程为　 　．
15．（2025八下·海曙期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为　 　．
16．（2025八下·海曙期中）在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题有7小题，共52分，第17—19题每题6分，第20—22题每题8分，第23题10分）
17．（2025八下·海曙期中）（1）计算：．
（2）解方程：．
18．（2025八下·海曙期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，线段的两端点、都在格点上 ．
（1）在图1中画一个以为边、面积为12的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上）
（2）在图2中画一个以为对角线、面积为12的平行四边形．（要求：另外两个顶点也在格点上）
19．（2025八下·海曙期中）某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选．如表为甲、乙两位同学的得分情况．其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分．
学生 人气分 学习分 行规分 工作分
老师票数 学生票数 分数
甲 4 20 a 85 95 85
乙 2 25 70 90 92 90
（1） ___________ ， ___________ ；
（2）经全班同学讨论决定，候选人的最终得分将根据如图所示的百分比折算后计入总分，经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选．
20．（2025八下·海曙期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若、是该方程的两个根，且，求的值．
21．（2025八下·海曙期中）如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长．
22．（2025八下·海曙期中）综合与实践
矩形菜园最大面积探究
情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度），用长的篱笆围出一个矩形菜园．
问题初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和长的篱笆围出矩形菜园，设，矩形菜园的面积为，完成下题： （1） （用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为时，则的长为多少？
问题续探 矩形菜园面积能否超过？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）．
23．（2025八下·海曙期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
∵无论x取何实数，都有，
∴，即的最小值为1．
【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ；
【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；
【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，A选项符合题意；
B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，B选项不符合题意；
C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，C选项不符合题意；
D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，D选项不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握两者的定义是解题关键。
轴对称图形：一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。
中心对称图形：一个图形绕某点旋转180度后，旋转后的图形能与原图形完全重合，该点称为对称中心。
2．【答案】B
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：可以合并为一项，
与是同类二次根式，
当时，与不是同类二次根式；故不符合题意；
当时，与是同类二次根式；故符合题意；
当时，与不是同类二次根式；故不符合题意；
当时，与不是同类二次根式；故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据2+可以合并为一项，可得2和是同类二次根式，把各选项中的值代入计算即可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】由原方程移项，得
x2-2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得
x2-2x+1=6
∴（x-1)2=6．
故选：C．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：7位同学的成绩按从高到低排列后，中位数对应第4名的成绩。要判断何同学是否进入前4名，只需比较他的成绩与中位数的大小关系：若成绩≥中位数，则必定进入前4名。
其他统计量分析：
平均数（A）反映整体平均水平；众数（B）反映最频繁出现的数值；方差（C）反映数据的离散程度；
这些统计量均无法直接确定具体排名位置。
故选：D．
【分析】本题考查中位数的实际应用。在奇数个有序数据中，中位数能准确划分数据的上半部分（前50%），因此通过比较个体数据与中位数的关系，可以判断其是否位于前50%的排名中。
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】A选项：矩形的邻边长度可以相等，当邻边相等时，矩形就转化为正方形，故A不正确。
B选项：菱形的对角线长度不一定相等，当对角线相等时，菱形就转化为正方形，故B不正确。
C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，当对角线互相垂直时，矩形就转化为正方形，故C不正确。
D选项：平行四边形的对角线可以具备互相垂直的性质，当对角线互相垂直时，平行四边形就转化为菱形，故D正确。
故答案选：D。
【分析】本题主要考查几何图形的性质判定。通过分析矩形、菱形、平行四边形等特殊四边形的性质变化，判断各选项命题的真伪。当四边形满足某些特殊条件时，会转化为更高一级的特殊四边形（如矩形→正方形，菱形→正方形，平行四边形→菱形），这是解题的关键依据。
6．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设每一个内角都小于90°.
故答案为：D.
【分析】根据至少有一个内角大于或等于90°的反面就是每一个内角都小于90°。
7．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解方程，
因式分解得。
由此可得 或，
解得，。
根据题意，菱形的两条对角线长度即为方程的两个根，因此对角线长度分别为4和8。
利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算边长：
故答案选：A。
【分析】本题综合考查一元二次方程的解法和菱形的性质。首先通过因式分解法求出方程的两个实数根，即为菱形的两条对角线长度。再利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，通过勾股定理计算出边长。解题关键在于理解菱形的几何特性与代数方程的对应关系。
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，
根据折叠性质可知：MNAE，且∠FMN=∠DMN，
所以ABCDMN，
所以∠DMN=∠FMN=∠A，
已知∠AMF=50°，
所以∠DMF=180°-∠AMF=130°，
所以∠FMN=∠DMN=∠A=65°，
故答案选：D。
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、平行线的判定与性质以及折叠变换的特征，解题时需要结合图形进行分析。由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A，又由平角的定义，根据∠AMF＝50°，求得∠DMF的度数，然后可求得∠A的度数．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设门的对角线长度为尺，根据题意可列出方程：；
故答案选：D。
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键在于正确理解题意并建立等量关系。设门的对角线为尺，根据题目描述：当竹竿横向放置时比门宽多4尺，竖向放置时比门高多2尺，斜向放置时正好与门对角线等长，运用勾股定理即可建立上述方程。
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】设平行四边形总面积为S，则有：。
通过分析图形可得面积关系式：
，
由此解得，
最终阴影面积。
故答案选：A。
【分析】本题主要考查平行四边形性质的应用，解题关键在于理解图形各部分面积之间的关系。
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为，其内角和公式为，外角和恒为。根据题意建立方程：
解得：
因此，这个多边形是六边形。
故答案填：6.
【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和的性质。解题关键是：记住n边形内角和公式，任何凸多边形的外角和都是，根据题意建立方程并求解即可。
13．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：根据题目中给出的方差计算公式，
可以确定：数据个数（因为公式分母为20，表示有20个数据），
平均数（因为每个数据都减去25求方差），
因此，所求比值为：
故答案填：。
【分析】本题考查方差公式的理解与应用。通过分析方差公式的结构，可以确定数据个数和平均数，进而求出它们的比值。掌握方差公式的特点是解决此类问题的关键。
14．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设全组共有x名同学，则每名同学所赠的作品为：件，
可得，
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于重要考点，掌握相关知识是解题关键。首先计算每名同学赠送的作品数量，然后计算x名同学总共赠送的作品数量，最后根据总作品数为182件建立方程。
15．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时：舍去，
②
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时，符合题意；
③
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时；
综上所述，的值为．
故答案为：
【分析】
按照新定义的概念分三种情况进行讨论，即：①；②；③，再进一步计算并检验即可.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，根据题目条件可知：
由此可得（根据勾股定理逆定理）
由于且，因此四边形构成矩形，从而有：
由于M是的中点，根据直角三角形性质：
要使PM最小，需使EF最小，即AP最小。根据垂线段最短原理，当时，AP取得最小值。
利用三角形面积公式：
计算得：
故答案为：
【分析】本题综合考查了以下知识点：勾股定理逆定理的应用，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质， 垂线段最短原理。首先证明四边形AEPF为矩形，得AP=EF；然后利用直角三角形性质得出PM=EF；最后通过面积法求出AP的最小值，从而确定PM的最小值。
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）
，
，
，
，
解得：，．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程的能力，需要熟练掌握相关运算法则和解题步骤。
（1）该小题考查二次根式的混合运算，解答时需按照二次根式的运算规则逐步计算；
（2）该小题考查解一元二次方程，解题时需要先将方程化为标准形式，然后运用配方法进行求解。
18．【答案】（1）解：如图，矩形即为所求，
（2）解：如图，平行四边即为所求，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形和矩形的性质，灵活运用相关性质是解题的关键。
1.利用矩形的性质，结合面积为12的要求，绘制图形；
2.根据平行四边形的性质，在面积为12的条件下，完成图形绘制。
（1）解：如图，矩形即为所求，
（2）解：如图，平行四边即为所求，
19．【答案】（1）80，30
（2）甲被选上，理由如下：甲候选人的最后得分是：（分），
乙候选人的最后得分是：（分），
∵，
∴甲被选上．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】（1）根据题目描述，甲同学的人气分a计算如下：
（分）；
同时，百分比b的计算过程为：
，
因此。
故答案为：80，30。
【分析】本题主要考查加权平均数和扇形统计图的应用。解题关键在于熟练掌握加权平均数的计算公式，并能够通过扇形统计图提取有效信息。
（1）甲同学的人气分a由两部分组成：老师投票（每票10分）和同学投票（每票2分），两部分得分相加即为a的值。百分比b则是通过整体1减去其他已知百分比得出的。
（2）通过加权平均数的计算，可以分别求出甲、乙两位候选人的最终得分，进而进行比较。
（1）由题意，得（分）；
，即；
故答案为：80，30；
（2）甲被选上，理由如下：
甲候选人的最后得分是：（分），
乙候选人的最后得分是：（分），
∵，
∴甲被选上．
20．【答案】（1）解：，
方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：，，
，
，
解得：．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，以及根与系数关系的应用。
（1）通过计算判别式Δ的值，根据Δ的符号即可证明方程有两个实数根；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=k+4和x1x2=4k，然后将这些关系代入方程2x1+2x2=3x1x2中，解出k的值。
（1）解：，
方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：，，
，
，
解得：．
21．【答案】（1）证明：连接AC交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，，
∴BO＝DO＝2，
，
∵四边形AFCE是矩形，
∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF，
，
．

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用。其中，通过勾股定理求出AO的长度是解决本题的关键步骤。（1）连接AC交EF于点O，根据平行四边形的性质可知AO＝CO，BO＝DO。可证明OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理，可证得四边形AFCE是平行四边形。
（2）利用勾股定理求出BD和AO的长度。根据矩形的性质可得AO＝EO＝，从而进一步求解。
（1）证明：连接AC交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，
，
∴BO＝DO＝2，
，
∵四边形AFCE是矩形，
∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF，
，
．
22．【答案】解：问题初探：（1）由题意可得：，
（2）设，则，
∴，
∴，
解得，，
当时，，不符合题意，
∴．
变式探究：能，示意图如下：
此时面积为：，符合题意．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用以及列代数式的能力。
（1）设CD的长度为，则BC的长度可以通过总篱笆长度22m减去两倍的CD长度得到，即。
（2）设，根据面积公式可得：。解这个方程即可求出x的值。变式探究：当，时，满足题目条件，此时可以通过画图来验证。
23．【答案】（1）2
（2）解：，
∵，
∴，
∴无论x取何实数，二次根式都有意义；
（3）∵，，
∴，
∴
∵，
∴当，四边形的面积最大，最大值为．
（4）面积的最大值为．

【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程；偶次方的非负性；不等式的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）解：，
无论取何实数，都有，
，即的最小值为；
故答案为：；
（4）连结，如图，
∵点M是的中点，
∴，，
∴，
∵点M是的中点，点N是的中点，
∴，
∴ ， ，
∴
，
∵ 四边形的面积最大值为 ，
∴面积的最大值为．

【分析】（1）通过配方法将多项式化为完全平方式，利用其非负性质确定最小值。（2）对表达式进行配方，得到。由于最小值为正，故二次根式对所有实数x都有意义。
（3）由题可知，。，通过配方法求其最大值。
（4）连接，利用中点性质得和。推导与四边形面积的关系，结合（3）中四边形面积最大值，求出面积的最大值。
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