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浙江省杭州市余杭区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
1．（2025七下·余杭期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·余杭期中）下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·余杭期中）一个长方形操场， 面积为 ， 其中一边长为 ， 则另一边长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·余杭期中）如图，下列说法中正确的是（　　）
A．与是同旁内角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是内错角
5．（2025七下·余杭期中）如图，能判定的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·余杭期中）已知，，则值为（　　）
A．7 B．10 C． D．
7．（2025七下·余杭期中）对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．11
8．（2025七下·余杭期中）已知若x-y=7，则m的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
9．（2025七下·余杭期中）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：
①；②；③；④，你认为其中正确的有（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
10．（2025七下·余杭期中）有一条围巾，两条长边互相平行，按图所示折叠．已知，且，则等于（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·余杭期中）已知 ，用含 的代数式表示 ，则 　 　.
12．（2025七下·余杭期中）计算：　 　．
13．（2025七下·余杭期中） 已知m+n=2，mn=-4，则（1-m）（1-n）= 　 　.
14．（2025七下·余杭期中）已知 是二元一次方程7x+2y＝10的一组解，则m的值是　 　.
15．（2025七下·余杭期中）如图，已知，，，则　 　．
16．（2025七下·余杭期中）观察下列各式：
；
；
；
……
根据这一规律计算：
（1）　 　．
（2）　 　．
17．（2025七下·余杭期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·余杭期中）先化简，再求值：，其中，．
19．（2025七下·余杭期中）解方程组
（1）； （2）
20．（2025七下·余杭期中）如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O，，求的度数．
21．（2025七下·余杭期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)CD与EF平行吗？请说明理由．
(2)如果∠1=∠2，且∠3=60°，求∠ACB的度数．
22．（2025七下·余杭期中）图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：______；
方法2：______；
（2）直接写出三个代数式(m+n)2，(m﹣n)2，mn之间的等量关系：______；
（3）若a+b＝7，ab＝6，求a﹣b的值．
23．（2025七下·余杭期中）某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名。
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满。
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金。
24．（2025七下·余杭期中）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项可判断A；根据同底数幂的乘法可判断B；根据幂的乘方可判断C、D．
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：选项A、B、C的方程不符合二元一次方程的定义，故ABC不符合题意；
D、方程3x=2y符合二元一次方程的定义，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1的整式方程是二元一次方程，逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵ 一个长方形操场， 面积为a2b+a， 其中一边长为a，
∴这个长方形操场的另一边长为(a2b+a)÷a=ab+1.
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，可得用面积除以一条边长可得另一条边长，据此列出式子，然后根据多项式除以单项式法则计算可得答案.
4．【答案】A
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A、与是同旁内角，A正确；
B、与是同旁内角，B错误；
C.与是同旁内角，C错误；
D.与不是内错角，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义逐一判断即可．
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠C和∠ABE，既不是同位角也不是内错角，不能判定任何直线平行，不符合题意；
B、∠A和∠EBD，既不是同位角也不是内错角，不能判定任何直线平行，不符合题意；
C、∠A和∠ABE，是内错角，内错角相等两直线平行，符合题意；；
D、∠C和∠ABC，虽然是同旁内角，但其和不等于180°，不能判定任何直线平行，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查的是平行线的判定定理，根据题目和答案进行逐一分析即可．
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】利用同底数幂相乘的逆运算，可得到mx+y=mx·my，再代入求值.
7．【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得，
得：，
把代入得：，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据新定义列出二元一次方程组，解出m，n的值，再计算即可．
8．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②-①得到：
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】用②-①得到：结合题意得到即可求出m的值.
9．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：①把长方形看成最大的一个长方形的面积为；
②把长方形看成竖着三个小长方形可表示为；
③把长方形看成横着两个小长方形可表示为；
④把长方形看成六个个小长方形可表示为，
故答案为：D．
【分析】根据长方形的面积公式把最大长方形分割若干个小长方形，再求各小长方形的面积的和，表示大长方形的面积即可．
10．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：将围巾展开，如图所示，
则，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
解得，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质和角的关系，再利用两直线平行，内错角相等计算即可．
11．【答案】2x+6
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程 ，
解得： .
故答案为：2x+6.
【分析】将不含y的项移至等号的右边即可.
12．【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
13．【答案】-5
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵ m+n=2，mn=-4，
∴ (1-m)(1-n)=1－n－m＋nm=1－(m+n)+mn=1－2－4=﹣5.
故答案为：﹣5.
【分析】 先根据多项式乘以多项式的运算法则将（1-m）（1-n）进行展开，然后根据题目给出的m+n=2和mn=-4进行代入计算，即可得到答案.
14．【答案】﹣9
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把
代入方程7x+2y＝10，
得，28+2m＝10，
解得m＝﹣9，
故答案为：﹣9.
【分析】把
代入原方程，得出一个关于m的一元一次方程求解即可.
15．【答案】110
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：110．
【分析】由二直线平行，内错角相等得出∠BCD=∠1=50°，然后根据角的构成，由∠DCE=∠2+∠BCD求出∠DCE的度数，最后根据二直线平行，内错角相等求出∠3=∠DCE，从而可得答案.
16．【答案】；
【知识点】多项式乘多项式；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）观察代数式可得，
故答案为：；
（2）解：观察代数式可得，
把代入得，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据代数式的规律分析即可；
（2）先根据代数式的规律得，再进行化简即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式计算即可；
（2）根据单项式乘以多项式计算即可．
（1）
（2）
18．【答案】解：原式
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式，完全平方公式展开、合并同类项，再根据多项式除以单项式计算化简，最后将，代入求解即可．
19．【答案】解：
把②代入①得：2y 3y+3=1，
解得y=2，
把y=2，代入①可得，x=1，
解得
①-②得：，
解得t= ，
把t= 代入①可得s= ，
解得.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法先求出y，再代入①式求出x即可；
根据加减消元法先求出t，再得出s即可．
20．【答案】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠EOC=35°，
∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°= 55°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°．
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【分析】由垂直定义得出∠AOE=90°，由角的构成即可求得∠AOC的度数，再利用邻补即可得出∠AOD的度数．
21．【答案】解：(1)平行，证明如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB=∠EFB=90°，
∴CD∥EF；
(2)∵CD∥EF，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠3=∠ACB=60°
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据垂直得出∠CDB=∠EFB=90°，再根据同位角相等，两直线平行证出即可；（2）先根据两直线平行，同位角相等得出∠2=∠BCD，进而求出∠1=∠BCD，再根据内错角相等，两直线平行得出DG∥BC，最后再根据两直线平行，同位角相等证出即可．
22．【答案】（1）(m-n)2；(m+n)2-4mn
（2）(m-n)2=(m+n)2-4mn
（3）解：由(2)知：(a-b)2=(a+b)2-4ab，
a+b＝7，ab＝6，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：阴影部分的小正方形的边长为m-n，故面积为：(m-n)2，
大正方形的面积为：(m+n)2，4个矩形的面积为：4mn，
故阴影部分的面积为：(m+n)2-4mn，
故答案为：(m-n)2；(m+n)2-4mn；
（2）解：(m-n)2与(m+n)2-4mn表示的都是阴影部分的面积，
(m-n)2=(m+n)2-4mn，
故答案为：(m-n)2=(m+n)2-4mn；
【分析】（1）由图可得阴影小正方形的边长为m-n，根据正方形面积公式可得其面积为(m-n)2；利用割补法可得阴影部分面积等于边长为m+n的正方形的面积与四个长为m、宽为n的长方形面积得差，据此可得阴影部分的面积为(m+n)2-4mn；
（2）根据两种表示法都是表示阴影部分的面积，则二者相等，即可求解；
（3）利用（2）的结论整体代入计算后再求平方根即可.
（1）解：阴影部分的小正方形的边长为m-n，故面积为：(m-n)2，
大正方形的面积为：(m+n)2，4个矩形的面积为：4mn，
故阴影部分的面积为：(m+n)2-4mn，
故答案为：(m-n)2；(m+n)2-4mn；
（2）解：(m-n)2与(m+n)2-4mn表示的都是阴影部分的面积，
(m-n)2=(m+n)2-4mn，
故答案为：(m-n)2=(m+n)2-4mn；
（3）解：由(2)知：(a-b)2=(a+b)2-4ab，
a+b＝7，ab＝6，
，
．
23．【答案】（1）解：设每辆小客车能坐α名学生，每辆大客车能坐b名学生，由题意得：
，
解得
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生.
（2）解：①根据题意，得20x+45y=400，
所以
因为х，y为非负整数，
∴y是4的倍数，
∴，，
答：租车方案有3种：
方案1：小客车20辆，大客车0辆；
方案2：小客车11辆，大客车4辆；
方案3：小客车2辆，大客车8辆.
②方案1：1600×20=32000(元)；
方案2：1600×11+2700×4=28400(元)；
方案3：1600×2+2700×8=24800(元)，
因为32000>28400>24800，
所以最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）由题意得等量关系“ 1辆小客车可载的人数+2辆大客车可载的人数＝110”，“3辆小客车可载的人数+1辆大客车可载的人数＝105”，设每辆小客车能坐α名学生，每辆大客车能坐b名学生，再根据等量关系列方程并求解即可；
（2）根据等量关系“ x辆小客车可载的人数+y辆大客车可载的人数＝400”可列方程20x+45y=400，再根据х，y为非负整数，确定满足条件的租车方案即可；
（3）分别计算出每种情况下的租车费用，再比较大小，即可得到最划算的方案.
24．【答案】（1）解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图②中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边的值为．
②如图③中，当时，延长交于．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图③﹣1中，当时，延长交于R．
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
综上，当边时，的值为或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】（1）先根据角平分线求出∠ECN的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠QEC的度数，再利用角的和差解题即可；
（2）①根据平行线的性质得到，解题即可；
②分两种情形：当时，延长交于．利用两直线平行，同位角相等得到；当时，延长交于．利用两直线平行，同旁内角互补得到，分别列方程解题即可．
1 / 1浙江省杭州市余杭区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
1．（2025七下·余杭期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项可判断A；根据同底数幂的乘法可判断B；根据幂的乘方可判断C、D．
2．（2025七下·余杭期中）下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：选项A、B、C的方程不符合二元一次方程的定义，故ABC不符合题意；
D、方程3x=2y符合二元一次方程的定义，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1的整式方程是二元一次方程，逐项进行判断，即可得出答案.
3．（2025七下·余杭期中）一个长方形操场， 面积为 ， 其中一边长为 ， 则另一边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵ 一个长方形操场， 面积为a2b+a， 其中一边长为a，
∴这个长方形操场的另一边长为(a2b+a)÷a=ab+1.
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，可得用面积除以一条边长可得另一条边长，据此列出式子，然后根据多项式除以单项式法则计算可得答案.
4．（2025七下·余杭期中）如图，下列说法中正确的是（　　）
A．与是同旁内角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是内错角
【答案】A
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A、与是同旁内角，A正确；
B、与是同旁内角，B错误；
C.与是同旁内角，C错误；
D.与不是内错角，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义逐一判断即可．
5．（2025七下·余杭期中）如图，能判定的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠C和∠ABE，既不是同位角也不是内错角，不能判定任何直线平行，不符合题意；
B、∠A和∠EBD，既不是同位角也不是内错角，不能判定任何直线平行，不符合题意；
C、∠A和∠ABE，是内错角，内错角相等两直线平行，符合题意；；
D、∠C和∠ABC，虽然是同旁内角，但其和不等于180°，不能判定任何直线平行，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查的是平行线的判定定理，根据题目和答案进行逐一分析即可．
6．（2025七下·余杭期中）已知，，则值为（　　）
A．7 B．10 C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】利用同底数幂相乘的逆运算，可得到mx+y=mx·my，再代入求值.
7．（2025七下·余杭期中）对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．11
【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得，
得：，
把代入得：，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据新定义列出二元一次方程组，解出m，n的值，再计算即可．
8．（2025七下·余杭期中）已知若x-y=7，则m的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②-①得到：
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】用②-①得到：结合题意得到即可求出m的值.
9．（2025七下·余杭期中）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：
①；②；③；④，你认为其中正确的有（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：①把长方形看成最大的一个长方形的面积为；
②把长方形看成竖着三个小长方形可表示为；
③把长方形看成横着两个小长方形可表示为；
④把长方形看成六个个小长方形可表示为，
故答案为：D．
【分析】根据长方形的面积公式把最大长方形分割若干个小长方形，再求各小长方形的面积的和，表示大长方形的面积即可．
10．（2025七下·余杭期中）有一条围巾，两条长边互相平行，按图所示折叠．已知，且，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：将围巾展开，如图所示，
则，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
解得，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质和角的关系，再利用两直线平行，内错角相等计算即可．
11．（2025七下·余杭期中）已知 ，用含 的代数式表示 ，则 　 　.
【答案】2x+6
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程 ，
解得： .
故答案为：2x+6.
【分析】将不含y的项移至等号的右边即可.
12．（2025七下·余杭期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
13．（2025七下·余杭期中） 已知m+n=2，mn=-4，则（1-m）（1-n）= 　 　.
【答案】-5
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵ m+n=2，mn=-4，
∴ (1-m)(1-n)=1－n－m＋nm=1－(m+n)+mn=1－2－4=﹣5.
故答案为：﹣5.
【分析】 先根据多项式乘以多项式的运算法则将（1-m）（1-n）进行展开，然后根据题目给出的m+n=2和mn=-4进行代入计算，即可得到答案.
14．（2025七下·余杭期中）已知 是二元一次方程7x+2y＝10的一组解，则m的值是　 　.
【答案】﹣9
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把
代入方程7x+2y＝10，
得，28+2m＝10，
解得m＝﹣9，
故答案为：﹣9.
【分析】把
代入原方程，得出一个关于m的一元一次方程求解即可.
15．（2025七下·余杭期中）如图，已知，，，则　 　．
【答案】110
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：110．
【分析】由二直线平行，内错角相等得出∠BCD=∠1=50°，然后根据角的构成，由∠DCE=∠2+∠BCD求出∠DCE的度数，最后根据二直线平行，内错角相等求出∠3=∠DCE，从而可得答案.
16．（2025七下·余杭期中）观察下列各式：
；
；
；
……
根据这一规律计算：
（1）　 　．
（2）　 　．
【答案】；
【知识点】多项式乘多项式；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）观察代数式可得，
故答案为：；
（2）解：观察代数式可得，
把代入得，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据代数式的规律分析即可；
（2）先根据代数式的规律得，再进行化简即可．
17．（2025七下·余杭期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式计算即可；
（2）根据单项式乘以多项式计算即可．
（1）
（2）
18．（2025七下·余杭期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式，完全平方公式展开、合并同类项，再根据多项式除以单项式计算化简，最后将，代入求解即可．
19．（2025七下·余杭期中）解方程组
（1）； （2）
【答案】解：
把②代入①得：2y 3y+3=1，
解得y=2，
把y=2，代入①可得，x=1，
解得
①-②得：，
解得t= ，
把t= 代入①可得s= ，
解得.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法先求出y，再代入①式求出x即可；
根据加减消元法先求出t，再得出s即可．
20．（2025七下·余杭期中）如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O，，求的度数．
【答案】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠EOC=35°，
∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°= 55°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°．
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【分析】由垂直定义得出∠AOE=90°，由角的构成即可求得∠AOC的度数，再利用邻补即可得出∠AOD的度数．
21．（2025七下·余杭期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)CD与EF平行吗？请说明理由．
(2)如果∠1=∠2，且∠3=60°，求∠ACB的度数．
【答案】解：(1)平行，证明如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB=∠EFB=90°，
∴CD∥EF；
(2)∵CD∥EF，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠3=∠ACB=60°
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据垂直得出∠CDB=∠EFB=90°，再根据同位角相等，两直线平行证出即可；（2）先根据两直线平行，同位角相等得出∠2=∠BCD，进而求出∠1=∠BCD，再根据内错角相等，两直线平行得出DG∥BC，最后再根据两直线平行，同位角相等证出即可．
22．（2025七下·余杭期中）图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四块小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：______；
方法2：______；
（2）直接写出三个代数式(m+n)2，(m﹣n)2，mn之间的等量关系：______；
（3）若a+b＝7，ab＝6，求a﹣b的值．
【答案】（1）(m-n)2；(m+n)2-4mn
（2）(m-n)2=(m+n)2-4mn
（3）解：由(2)知：(a-b)2=(a+b)2-4ab，
a+b＝7，ab＝6，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：阴影部分的小正方形的边长为m-n，故面积为：(m-n)2，
大正方形的面积为：(m+n)2，4个矩形的面积为：4mn，
故阴影部分的面积为：(m+n)2-4mn，
故答案为：(m-n)2；(m+n)2-4mn；
（2）解：(m-n)2与(m+n)2-4mn表示的都是阴影部分的面积，
(m-n)2=(m+n)2-4mn，
故答案为：(m-n)2=(m+n)2-4mn；
【分析】（1）由图可得阴影小正方形的边长为m-n，根据正方形面积公式可得其面积为(m-n)2；利用割补法可得阴影部分面积等于边长为m+n的正方形的面积与四个长为m、宽为n的长方形面积得差，据此可得阴影部分的面积为(m+n)2-4mn；
（2）根据两种表示法都是表示阴影部分的面积，则二者相等，即可求解；
（3）利用（2）的结论整体代入计算后再求平方根即可.
（1）解：阴影部分的小正方形的边长为m-n，故面积为：(m-n)2，
大正方形的面积为：(m+n)2，4个矩形的面积为：4mn，
故阴影部分的面积为：(m+n)2-4mn，
故答案为：(m-n)2；(m+n)2-4mn；
（2）解：(m-n)2与(m+n)2-4mn表示的都是阴影部分的面积，
(m-n)2=(m+n)2-4mn，
故答案为：(m-n)2=(m+n)2-4mn；
（3）解：由(2)知：(a-b)2=(a+b)2-4ab，
a+b＝7，ab＝6，
，
．
23．（2025七下·余杭期中）某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名。
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满。
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金。
【答案】（1）解：设每辆小客车能坐α名学生，每辆大客车能坐b名学生，由题意得：
，
解得
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生.
（2）解：①根据题意，得20x+45y=400，
所以
因为х，y为非负整数，
∴y是4的倍数，
∴，，
答：租车方案有3种：
方案1：小客车20辆，大客车0辆；
方案2：小客车11辆，大客车4辆；
方案3：小客车2辆，大客车8辆.
②方案1：1600×20=32000(元)；
方案2：1600×11+2700×4=28400(元)；
方案3：1600×2+2700×8=24800(元)，
因为32000>28400>24800，
所以最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）由题意得等量关系“ 1辆小客车可载的人数+2辆大客车可载的人数＝110”，“3辆小客车可载的人数+1辆大客车可载的人数＝105”，设每辆小客车能坐α名学生，每辆大客车能坐b名学生，再根据等量关系列方程并求解即可；
（2）根据等量关系“ x辆小客车可载的人数+y辆大客车可载的人数＝400”可列方程20x+45y=400，再根据х，y为非负整数，确定满足条件的租车方案即可；
（3）分别计算出每种情况下的租车费用，再比较大小，即可得到最划算的方案.
24．（2025七下·余杭期中）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值．
【答案】（1）解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图②中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边的值为．
②如图③中，当时，延长交于．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图③﹣1中，当时，延长交于R．
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
综上，当边时，的值为或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】（1）先根据角平分线求出∠ECN的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠QEC的度数，再利用角的和差解题即可；
（2）①根据平行线的性质得到，解题即可；
②分两种情形：当时，延长交于．利用两直线平行，同位角相等得到；当时，延长交于．利用两直线平行，同旁内角互补得到，分别列方程解题即可．
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