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浙江省嘉兴市南湖区2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷
1．（2025八下·南湖期中）要使二次根式 有意义，则x不能取的值是（　　）
A．－1 B．2 C．3 D．
2．（2025八下·南湖期中）下列汽车图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·南湖期中）已知在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝230°，则∠B的度数是（　　）
A．55° B．65° C．85° D．115°
4．（2025八下·南湖期中）用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·南湖期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2025八下·南湖期中）在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2025八下·南湖期中）估计的值应在（　　）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．5到6之间 D．到之间
8．（2025八下·南湖期中）若以，，三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2025八下·南湖期中）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·南湖期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（　　）
A．8 B．5 C．2.5 D．
11．（2025八下·南湖期中）若二次根式的值为9，则的值为　 　．
12．（2025八下·南湖期中）已知一组数据1，2，3，4，5，将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是　 　．
13．（2025八下·南湖期中）某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　 　．
14．（2025八下·南湖期中）如图，在中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为　 　．
15．（2025八下·南湖期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　(填序号)．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程：则；
③若满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有．
16．（2025八下·南湖期中）如图，在中，，，，点为的中点，点为上任意一点，连结并将线段绕点逆时针旋转得线段，当点落在各边所在直线上时，的长度为　 　．
17．（2025八下·南湖期中）小南和小湖两位同学解方程的过程如下框：
小南： 移项，得 提取公因式得 则，或， 解得，． 小湖： 两边同除以，得 则．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在相应框内打“√；若错误请在相应框内打“×”，并写出你的解答过程．
18．（2025八下·南湖期中）计算：
（1）；
（2）．
19．（2025八下·南湖期中）如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）：
（1）在图1中，作出的角平分线；
（2）在图2中，作出的角平分线．
20．（2025八下·南湖期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少．
（1）求这个多边形的边数．
（2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
21．（2025八下·南湖期中）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
22．（2025八下·南湖期中）某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取名进行满意度调查打分（满分分，只打整数分），并对分数进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
（I）甲民宿名顾客的满意度分数为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（II）乙民宿名顾客的满意度分数条形统计图如下图所示：
乙民宿抽取的顾客满意度分数条形统计图
甲、乙民宿满意度分数统计表
民宿 平均分 众数 中位数 分及分以上人数所占百分比
甲
乙
（III）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、分及分以上人数所占百分比如上表所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出上述表中的的值；
（2）春节假期期间，共有人入住甲民宿，人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打分及分以上的人数共有多少人？
（3）根据以上表中信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？用尽可能多的统计量说明理由．
23．（2025八下·南湖期中）
草莓销售问题
素材1 草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“农夫”草莓园的草莓已成熟，可以进行采摘销售．销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草莓园区内采摘购买．
素材2 今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是元/千克和元/千克，一共销售了千克，销售总收入为元．
素材3 为了促进销量，进而增加销售收入，该草莓园决定4月第四周将城区每千克售价降低元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加和．
问题解决
任务1 该草莓园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草莓？
任务2 若该草莓园今年4月第四周销售总额为元，请你用含的代数式表示．
任务3 若预计该草莓园今年4月第四周销售收入为元，求的值．
24．（2025八下·南湖期中）（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
2-x≥0，
解得：x≤2，
∴x不能取的值是3.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得2-x≥0，求解即可.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项中图形找不到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B选项中图形找不到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项中图形可以找到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D选项中图形找不到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图形完全重合．
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝230°，
∴∠A＝∠C＝115°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝65°，
故选：B．
【分析】平行四边形的对角相等、邻角互补．
4．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意得，应先假设；
故答案为：D．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：
，
解得：，
则三角形的两边长分别为：2，8，
设第三边为x，则由三角形的三边关系定理得：，
即，
只有8符合题意，
故选：C．
【分析】先利用因式分解法解方程可得两边分别为2和8，再根据三角形的三边关系定理可第三边的长度介于6和10之间．
6．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵22出现了3次，出现的次数最多，再在这组数据中插入一个任意数，众数也不会改变
∴一定不会改变的是众数，
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】先利用乘法公式可得原式的结果为，再对无理数估值可得，再利用不等式的性质求解即可．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；点的坐标与象限的关系；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设平行四边形的第四个顶点D的坐标为，连接、、，
当AB为对角线时，
即，点D在第二象限；
当AC为对角线时，
即，点D在第三象限；
当AD为对角线时，
即，点D在第一象限；
综上所述，第四个顶点不可能在第四象限，
故选：D．
【分析】可设第四个顶点为D，由于平行四边形的对角线互相平分，则可分类讨论，即当AB为对角线时AB与CD互相平分，此时可利用中点坐标公式求得点D坐标，同理再讨论当AC或AD为对角线时，方法同前．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，
由题意知：，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：或，
根据题意，
∴，
经检验，是原方程的解；
故选：C．
【分析】由于和共底同高，则两三角形的面积比等于底边的比，则同题意知，，，再由勾股定理可由含m的代数式表示出AB，再利用面积比可得关于m的方程并求解即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】．
12．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：数据1，2，3，4，5的平均数为，
方差为
∵新数据是将这组数据中的每一个数都减去20所得，
∴新数据与原数据的波动幅度不变，
∴将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是2．
故答案为：2．
【分析】由方差计算公式知，新数据的平均值比原数据的平均值大20，则两组数据的方差不变．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)，
∴每次降价的百分率为．
故答案为：．
【分析】平均增长（减小）率常列方程，其中分别代表起始数据、终止数据和平均增长（减小）率，注意求平均增长率时括号内用“+”号，反之用“-”号．
14．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，
又∵AC=CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴S△ABC=S△ADC=S平行四边形ABCD；
，，
，，，
，
．
故答案为：6．
【分析】由平行四边形的对边相等得AD=BC，CD=AB，从而利用“SSS”判断出△ABC≌△CDA，由全等三角形的面积相等可得S△ABC=S△ADC=S平行四边形ABCD；从而根据三角形面积计算公式及平行四边形的面积计算公式建立方程，求解即可.
15．【答案】①②③④
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①，
，
解得：，
方程是倍根方程；
故①正确；
②，
解得：
是倍根方程，
或即或
，
故②正确；
③，
解方程得：
，
故③正确；
④设方程的根为，
关于的方程是倍根方程，
令，
；故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】①利用因式分解法求得方程的两个根恰好满足2倍关系；
②先解方程，再根据倍根方程的定义得或，则；
③利用求根公式并结合已知得结论成立；
④利用根与系数的关系结合“倍根”方程的概念判断即可．
16．【答案】或或
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
四边形是平行四边形，，，，
，，，，，
在中，，
，
点为的中点，
，
点为上任意一点，
当点落在各边所在直线上时，有以下三种情况：
①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
，
由旋转的性质得：，，
，
四边形是矩形，
，
根据平行线间的距离相等得：
在中，
，
；
②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，如图所示：
同①证明：四边形是矩形，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
在中，，
，
③当点落在直线上时，过点作于点，过点作，交延长线于点，如图所示：
同①证明：四边形是矩形，
，，
同②证明：，
由①可知：，
综上所述的长为：或或．
故答案为：或或．
【分析】先过点作于点，先求出根据点为的中点得，再分类讨论：
①如图所示，当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，
则四边形是矩形，则，，则等于；
②如图所示，当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，则由旋转全等模型可得和全等，则FM=FK、GM=EK，四边形是正方形，
此时可设，则解直角三角形可得MG，再EK、BN，再解直角三角形可得GN，再利用MN的长可得关于a的方程并求解求出CM即可；
③如图所示，
当点落在直线上时，过点作于点，过作，交延长线于点，则四边形是矩形，再由旋转的性质知且都是等腰直角三角形，所以FT等于ET等于，再借助第一种情况知CT等于5，则CF可求．
17．【答案】解：均不对，
∵，
∴，
则，
∴或，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先移项，再提公因式化一元二次方程为两个一元一次方程并分别求解即可．
18．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，再进行二次根式的化简，最后再合并同类二次根式即可；
（2）先分别分母有理化，再进行二次根式乘法运算，然后合并同类二次根式即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．【答案】（1）答：如图1所示：即为的平分线；
（2）答：如图2所示，为的角平分线；
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)作射线即可，先由等边对等角可得，再由两直线平行，内错角相等可得，再等量代换即可得平分；
(2)连接交于点，再作射线，由平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，再由等腰三角形的三线合一可得为的角平分线．
（1）如图1所示：即为的平分线；
（2）如图2所示，为的角平分线；
20．【答案】（1）解：设这个多边形的边数是
由题意得，
解得，
答：这个多边形的边数是
（2）解：剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了．
截完后所形成的新多边形的边数可能是或或，
①当多边形为四边形时，其内角和为；
②当多边形为五边形时，其内角和为；
③当多边形为六边形时，其内角和为；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）设多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式、外角和是列方程并求解即可；
（2）由于截去一个角后所得的多边形边不确定，因此可分类讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
（1）解：设这个多边形的边数是
由题意得，
解得，
答：这个多边形的边数是；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了．
截完后所形成的新多边形的边数可能是或或，
①当多边形为四边形时，其内角和为；
②当多边形为五边形时，其内角和为；
③当多边形为六边形时，其内角和为；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或．
21．【答案】（1）解：∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴为直角三角形
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由方程解的概念可把代入原方程，得出，又，则该三角形为等腰三角形；
（2）由一元二次方程根的判别式可得出，即该三角形为直角三角形．
（1）解：∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
22．【答案】（1）解：甲民宿9分及9分以上人数所占百分比乙民宿的平均分（分），
将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为
∴
（2）解：（人），
答：估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有100人
（3）答：甲民宿，理由如下：
甲民宿顾客满意度分数的平均数、众数和9分及9分以上人数所占百分比都比乙的要大，因此选择甲民宿
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）观察条形统计图可得出a，再根据平均数和中位数的定义分别求出b、c即可；
（2）根据甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数所占的百分比可估计总体中入住甲民宿、乙民宿的顾客中打9分及9分以上的人数；
（3）分别比较平均数、众数和9分及9分以上的人数所占的百分比的大小即可．
（1）解：甲民宿9分及9分以上人数所占百分比
乙民宿的平均分（分），
将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为
∴
（2）（人），
答：估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有100人；
（3）甲民宿，理由如下：
甲民宿顾客满意度分数的平均数、众数和9分及9分以上人数所占百分比都比乙的要大，因此选择甲民宿．
23．【答案】任务1：设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据题意得：，
解得，
答：今年四月份第三周城区销售600千克，园区内销售400千克；
任务2：，
；
任务3：根据题意得：，
整理得：，
，（不符合题意，舍去）．．
∴的值为3
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据等量关系：一共销售了千克，销售总收入为元，列出方程求解即可；
任务2：根据销售总额城区销售收入园区销售收入，可得函数关系式；
任务3：根据任务2，求得的函数表达式列出方程求解即可．
24．【答案】（1）证明：是的中线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：延长到点，使，连接，如图2，
是的中线，
，
四边形ABFC是平行四边形，
、，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：延长到点，使，连接，如图3，
由（2）知，，，
则取最小值时，最小，故时，最小，
是的中线，
，
，
在中，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）倍长中线AD到点F，使DF=AD，连接CF、BF，则四边形ABFC是平行四边形，所以AB平行CF，再由平行公理可得EM平行CF，又CE平行AF，则四边形ECFM是平行四边形，所以EM=CF，则有AB平行且相等于EM，即四边形ABME是平行四边形；
（3）同（2）延长到点，使，连接，则EM等于CF等于AB，即EM是定值，则求的最小值实质是求CM的最小值，由于C是直线AD外一定点，则当CM垂直AD时CM有最小值，此时由倍长中线构造全等三角形模型知，即DF=AD，再利用勾股定理和等面积法求出CM的长即可．
1 / 1浙江省嘉兴市南湖区2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷
1．（2025八下·南湖期中）要使二次根式 有意义，则x不能取的值是（　　）
A．－1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
2-x≥0，
解得：x≤2，
∴x不能取的值是3.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得2-x≥0，求解即可.
2．（2025八下·南湖期中）下列汽车图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项中图形找不到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B选项中图形找不到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项中图形可以找到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D选项中图形找不到一个点，使图形旋转后能够与原图形完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图形完全重合．
3．（2025八下·南湖期中）已知在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝230°，则∠B的度数是（　　）
A．55° B．65° C．85° D．115°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝230°，
∴∠A＝∠C＝115°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝65°，
故选：B．
【分析】平行四边形的对角相等、邻角互补．
4．（2025八下·南湖期中）用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意得，应先假设；
故答案为：D．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
5．（2025八下·南湖期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：
，
解得：，
则三角形的两边长分别为：2，8，
设第三边为x，则由三角形的三边关系定理得：，
即，
只有8符合题意，
故选：C．
【分析】先利用因式分解法解方程可得两边分别为2和8，再根据三角形的三边关系定理可第三边的长度介于6和10之间．
6．（2025八下·南湖期中）在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵22出现了3次，出现的次数最多，再在这组数据中插入一个任意数，众数也不会改变
∴一定不会改变的是众数，
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义即可得出答案.
7．（2025八下·南湖期中）估计的值应在（　　）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．5到6之间 D．到之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】先利用乘法公式可得原式的结果为，再对无理数估值可得，再利用不等式的性质求解即可．
8．（2025八下·南湖期中）若以，，三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；点的坐标与象限的关系；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设平行四边形的第四个顶点D的坐标为，连接、、，
当AB为对角线时，
即，点D在第二象限；
当AC为对角线时，
即，点D在第三象限；
当AD为对角线时，
即，点D在第一象限；
综上所述，第四个顶点不可能在第四象限，
故选：D．
【分析】可设第四个顶点为D，由于平行四边形的对角线互相平分，则可分类讨论，即当AB为对角线时AB与CD互相平分，此时可利用中点坐标公式求得点D坐标，同理再讨论当AC或AD为对角线时，方法同前．
9．（2025八下·南湖期中）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
10．（2025八下·南湖期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（　　）
A．8 B．5 C．2.5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，
由题意知：，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：或，
根据题意，
∴，
经检验，是原方程的解；
故选：C．
【分析】由于和共底同高，则两三角形的面积比等于底边的比，则同题意知，，，再由勾股定理可由含m的代数式表示出AB，再利用面积比可得关于m的方程并求解即可．
11．（2025八下·南湖期中）若二次根式的值为9，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】．
12．（2025八下·南湖期中）已知一组数据1，2，3，4，5，将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是　 　．
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：数据1，2，3，4，5的平均数为，
方差为
∵新数据是将这组数据中的每一个数都减去20所得，
∴新数据与原数据的波动幅度不变，
∴将这组数据的每个数都减去20得到一组新的数据，这组新数据的方差是2．
故答案为：2．
【分析】由方差计算公式知，新数据的平均值比原数据的平均值大20，则两组数据的方差不变．
13．（2025八下·南湖期中）某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)，
∴每次降价的百分率为．
故答案为：．
【分析】平均增长（减小）率常列方程，其中分别代表起始数据、终止数据和平均增长（减小）率，注意求平均增长率时括号内用“+”号，反之用“-”号．
14．（2025八下·南湖期中）如图，在中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，
又∵AC=CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴S△ABC=S△ADC=S平行四边形ABCD；
，，
，，，
，
．
故答案为：6．
【分析】由平行四边形的对边相等得AD=BC，CD=AB，从而利用“SSS”判断出△ABC≌△CDA，由全等三角形的面积相等可得S△ABC=S△ADC=S平行四边形ABCD；从而根据三角形面积计算公式及平行四边形的面积计算公式建立方程，求解即可.
15．（2025八下·南湖期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　(填序号)．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程：则；
③若满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有．
【答案】①②③④
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①，
，
解得：，
方程是倍根方程；
故①正确；
②，
解得：
是倍根方程，
或即或
，
故②正确；
③，
解方程得：
，
故③正确；
④设方程的根为，
关于的方程是倍根方程，
令，
；故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】①利用因式分解法求得方程的两个根恰好满足2倍关系；
②先解方程，再根据倍根方程的定义得或，则；
③利用求根公式并结合已知得结论成立；
④利用根与系数的关系结合“倍根”方程的概念判断即可．
16．（2025八下·南湖期中）如图，在中，，，，点为的中点，点为上任意一点，连结并将线段绕点逆时针旋转得线段，当点落在各边所在直线上时，的长度为　 　．
【答案】或或
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
四边形是平行四边形，，，，
，，，，，
在中，，
，
点为的中点，
，
点为上任意一点，
当点落在各边所在直线上时，有以下三种情况：
①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
，
由旋转的性质得：，，
，
四边形是矩形，
，
根据平行线间的距离相等得：
在中，
，
；
②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，如图所示：
同①证明：四边形是矩形，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
在中，，
，
③当点落在直线上时，过点作于点，过点作，交延长线于点，如图所示：
同①证明：四边形是矩形，
，，
同②证明：，
由①可知：，
综上所述的长为：或或．
故答案为：或或．
【分析】先过点作于点，先求出根据点为的中点得，再分类讨论：
①如图所示，当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，
则四边形是矩形，则，，则等于；
②如图所示，当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，则由旋转全等模型可得和全等，则FM=FK、GM=EK，四边形是正方形，
此时可设，则解直角三角形可得MG，再EK、BN，再解直角三角形可得GN，再利用MN的长可得关于a的方程并求解求出CM即可；
③如图所示，
当点落在直线上时，过点作于点，过作，交延长线于点，则四边形是矩形，再由旋转的性质知且都是等腰直角三角形，所以FT等于ET等于，再借助第一种情况知CT等于5，则CF可求．
17．（2025八下·南湖期中）小南和小湖两位同学解方程的过程如下框：
小南： 移项，得 提取公因式得 则，或， 解得，． 小湖： 两边同除以，得 则．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在相应框内打“√；若错误请在相应框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：均不对，
∵，
∴，
则，
∴或，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先移项，再提公因式化一元二次方程为两个一元一次方程并分别求解即可．
18．（2025八下·南湖期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，再进行二次根式的化简，最后再合并同类二次根式即可；
（2）先分别分母有理化，再进行二次根式乘法运算，然后合并同类二次根式即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．（2025八下·南湖期中）如图，平行四边形中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果．）：
（1）在图1中，作出的角平分线；
（2）在图2中，作出的角平分线．
【答案】（1）答：如图1所示：即为的平分线；
（2）答：如图2所示，为的角平分线；
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)作射线即可，先由等边对等角可得，再由两直线平行，内错角相等可得，再等量代换即可得平分；
(2)连接交于点，再作射线，由平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，再由等腰三角形的三线合一可得为的角平分线．
（1）如图1所示：即为的平分线；
（2）如图2所示，为的角平分线；
20．（2025八下·南湖期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少．
（1）求这个多边形的边数．
（2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
【答案】（1）解：设这个多边形的边数是
由题意得，
解得，
答：这个多边形的边数是
（2）解：剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了．
截完后所形成的新多边形的边数可能是或或，
①当多边形为四边形时，其内角和为；
②当多边形为五边形时，其内角和为；
③当多边形为六边形时，其内角和为；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）设多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式、外角和是列方程并求解即可；
（2）由于截去一个角后所得的多边形边不确定，因此可分类讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
（1）解：设这个多边形的边数是
由题意得，
解得，
答：这个多边形的边数是；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了．
截完后所形成的新多边形的边数可能是或或，
①当多边形为四边形时，其内角和为；
②当多边形为五边形时，其内角和为；
③当多边形为六边形时，其内角和为；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或．
21．（2025八下·南湖期中）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴为直角三角形
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由方程解的概念可把代入原方程，得出，又，则该三角形为等腰三角形；
（2）由一元二次方程根的判别式可得出，即该三角形为直角三角形．
（1）解：∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
22．（2025八下·南湖期中）某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取名进行满意度调查打分（满分分，只打整数分），并对分数进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
（I）甲民宿名顾客的满意度分数为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（II）乙民宿名顾客的满意度分数条形统计图如下图所示：
乙民宿抽取的顾客满意度分数条形统计图
甲、乙民宿满意度分数统计表
民宿 平均分 众数 中位数 分及分以上人数所占百分比
甲
乙
（III）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、分及分以上人数所占百分比如上表所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出上述表中的的值；
（2）春节假期期间，共有人入住甲民宿，人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打分及分以上的人数共有多少人？
（3）根据以上表中信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？用尽可能多的统计量说明理由．
【答案】（1）解：甲民宿9分及9分以上人数所占百分比乙民宿的平均分（分），
将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为
∴
（2）解：（人），
答：估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有100人
（3）答：甲民宿，理由如下：
甲民宿顾客满意度分数的平均数、众数和9分及9分以上人数所占百分比都比乙的要大，因此选择甲民宿
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）观察条形统计图可得出a，再根据平均数和中位数的定义分别求出b、c即可；
（2）根据甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数所占的百分比可估计总体中入住甲民宿、乙民宿的顾客中打9分及9分以上的人数；
（3）分别比较平均数、众数和9分及9分以上的人数所占的百分比的大小即可．
（1）解：甲民宿9分及9分以上人数所占百分比
乙民宿的平均分（分），
将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为
∴
（2）（人），
答：估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有100人；
（3）甲民宿，理由如下：
甲民宿顾客满意度分数的平均数、众数和9分及9分以上人数所占百分比都比乙的要大，因此选择甲民宿．
23．（2025八下·南湖期中）
草莓销售问题
素材1 草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“农夫”草莓园的草莓已成熟，可以进行采摘销售．销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草莓园区内采摘购买．
素材2 今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是元/千克和元/千克，一共销售了千克，销售总收入为元．
素材3 为了促进销量，进而增加销售收入，该草莓园决定4月第四周将城区每千克售价降低元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加和．
问题解决
任务1 该草莓园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草莓？
任务2 若该草莓园今年4月第四周销售总额为元，请你用含的代数式表示．
任务3 若预计该草莓园今年4月第四周销售收入为元，求的值．
【答案】任务1：设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据题意得：，
解得，
答：今年四月份第三周城区销售600千克，园区内销售400千克；
任务2：，
；
任务3：根据题意得：，
整理得：，
，（不符合题意，舍去）．．
∴的值为3
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据等量关系：一共销售了千克，销售总收入为元，列出方程求解即可；
任务2：根据销售总额城区销售收入园区销售收入，可得函数关系式；
任务3：根据任务2，求得的函数表达式列出方程求解即可．
24．（2025八下·南湖期中）（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度．
【答案】（1）证明：是的中线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：延长到点，使，连接，如图2，
是的中线，
，
四边形ABFC是平行四边形，
、，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：延长到点，使，连接，如图3，
由（2）知，，，
则取最小值时，最小，故时，最小，
是的中线，
，
，
在中，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）倍长中线AD到点F，使DF=AD，连接CF、BF，则四边形ABFC是平行四边形，所以AB平行CF，再由平行公理可得EM平行CF，又CE平行AF，则四边形ECFM是平行四边形，所以EM=CF，则有AB平行且相等于EM，即四边形ABME是平行四边形；
（3）同（2）延长到点，使，连接，则EM等于CF等于AB，即EM是定值，则求的最小值实质是求CM的最小值，由于C是直线AD外一定点，则当CM垂直AD时CM有最小值，此时由倍长中线构造全等三角形模型知，即DF=AD，再利用勾股定理和等面积法求出CM的长即可．
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