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2026年高考数学模拟冲刺卷2（1卷）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．表示复数z的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为F，点A在C上，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
5若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．0 C． D．
6．．已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．－2
7．已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（每题6分，共18分）
9．在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点则下列说法中正确的有（ ）
A．平面 B．平面平面 C． D．平面
10．已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（ ）
A．的周长是
B．时，的面积是
C．的最大值是2
D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为
11．已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．为函数的一个对称轴
C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度
D．函数在区间上单调递增
三．填空题（每题5分，共15分）
12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
13．已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________
14．在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动：在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3次球，每次摸1个球，第次摸球，若摸到黑球，则得元奖金，若摸到黄球，则没有奖金．现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（15分）．已知数列的前n项和为，且，.
(1)求
(2)若，求数列的前n项和.
16（13分）．某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日
昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6
感冒人数 23 25 29 26 16 13 9
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率；
(2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据：
①求出关于的经验回归方程；
②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由．
附：
17（15分）．如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点.
(1)证明：平面.
(2)若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值.
18（17分）．已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4.
(1)求的方程；
(2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值.
19（17分）．已知函数
(1)当 时，求的极值.
(2)已知.
（i）证明: ；
（ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围.
参考答案
一．单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A B C A C D
二．多选题
8.BC
9.ACD
10.ABD
三．填空题
12. 1 13./ 14.90
四．解答题
15.【详解】（1）因为，且，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列，
则，所以.
（2）由（1）可知：，
当时，则，
且符合上式，所以，
可得，
设数列的前n项和为，
则，
所以数列的前n项和为.
16.【详解】（1）记事件为“选取的2组数据是不相邻的两个月”，
则
（2）①由题意，，.
1 3 2
4 8 5
则，
即，
所以关于的经验回归方程为.
②当时，；
当时，.
所以该小组所得经验回归方程是理想的.
17.【详解】（1）【小题1】证明：连接，.
因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱
所以，，所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面.
同理可得平面.
因为，所以平面平面.
又平面，所以平面.
(2)解：取的中点，连接，，则
在正三棱柱中，则，，.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，，
令，得.
由，
所以与平面所成角的正弦值.
得与平面所成角的正弦值为.
18.【详解】（1）由题得，，，得，，，
所以的方程为；
（2）（ⅰ）（法1）设，，，，
因为，两式作差得：，
又因为，即，所以，
所以；
（法2）由题可知直线斜率存在且不为0，
设：，，，，，
由，得，所以，
所以，，
因为，则，即有，所以；
（ⅱ）设，，其中，，，
因为，所以，
两式相乘得：，又因为，
所以，
所以，
令（），
所以，
令，又因为在区间上单调递增；
所以，
显然在上单调递增，因为，得，
所以，所以（当且仅当，时取等号），
综上，的最大值为.
19.【详解】（1）时，，，
令，得，解得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值.
（2）时，.
（i）要证，，即证，
令，则，
令，则，即化为，
因为，所以，所以，即，在单调递增，
又，所以，即.
（ii）由得，
当时，显然成立；
当时，不等式可化为，令，则
则，
令，
当时，，由得，又，
所以，所以，在单调递增，所以对，；
下面证明当时，，即，也即证：
令，则，
因为，所以，所以，所以，
所以在单调递增，所以，即，
所以.
综上，时，，所以，即实数的取值范围为.

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