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2026年高考数学模拟冲刺卷3（1卷）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足 则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（ ）
A． B． C． D．
5三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
8．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（每题6分，共18分）
9．春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为
B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小
C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为
D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为
10．若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ）
A．与有相同的零点 B．为偶函数
C．与有相同的极值点 D．对任意的，都有
11．已知抛物线的准线方程为．过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．过点作轴的垂线，交直线于点．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程是
B．的取值范围为
C．若，则的取值范围为
D．线段的中点在一条定直线上
三．填空题（每题5分，共15分）
12．已知随机变量服从正态分布，若，则______.
13．曲线在点处的切线方程为_______．
14．如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（15分）．在中，角的对边分别为，且.
(1)若，求的值.
(2)若的内切圆的面积为，求的面积.
16（13分）．如图，在三棱锥中，，，D是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
17（15分）．如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点.
(1)证明：平面.
(2)若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值.
18（17分）．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求实数的取值范围.
19（17分）．某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.
(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；
(2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.
（ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；
（ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值.
（估值参考：当时，，，，.）
参考答案
一．单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D A D A A A
二．多选题
8.BCD
9.ABD
10.ACD
三．填空题
12. 0.8 13. 14.2
四．解答题
15.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
所以，
所以，
所以
在中，因为，所以有，即得，即，
因为，所以，即得，，
所以.
（2）内切圆的面积为，所以内切圆半径，
又，则有，
由余弦定理得
，
所以，解得或（舍），
所以，
则.
16【详解】（1）由，D是的中点，得，而，，
平面，则平面，而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，则，
而，解得，
即，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量，则，令，得，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即，
则，，
又因为的面积，即，，
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）可知：，，
则直线的斜率，且线段的中点为，
假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，，
即，则，
可得线段的中点为，直线的斜率，
此时，可知直线与直线不垂直，
这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意.
18.【详解】（1）当时，，则，
由得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，无极大值；
（2）等价于，
令，则在上恒成立，
则，得，
因为，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时，，
综上，实数的取值范围为.
19.【详解】（1）设抽到的第张奖券的金额为．
设甲获得最大金额奖励．
注意到．
则．
（2）（i）仍设：甲获得最大金额奖励，
若，则，故只需考虑的情况．
设：抽到的第张奖券金额为．
由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则．
只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则．
则．
若，当时，．
（ii）由估值参考得，则．
令，则．
当时，．
当时，单调递增；
当时，单调递减，
因此，当时，取得最大值．
此时，不是整数，
又，
所以的最大值约为0.3679，此时．

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