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2026年高考数学模拟冲刺卷4（1卷）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．已知点是的重心，若，则（ ）
A．-1 B． C．0 D．1
4．某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加（ ）
A．3min B．6min C．9min D．24min
5甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（每题6分，共18分）
9．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点到直线的距离为
C．直线与直线所成角的余弦值为
D．直线与直线是异面直线
10．设函数，则（ ）
A．曲线切线斜率的最小值为
B．的图象关于点对称
C．是的充要条件
D．是的充要条件
11．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列是等差数列
B．数列不是单调数列
C．数列中存在不同的两项，使是这两项的等比中项
D．记数列，则数列的前2026项的和为4052
三．填空题（每题5分，共15分）
12．63．的展开式中的系数是____________．
13．若存在4条不同的直线既是圆的切线，也是曲线的切线，则的取值范围是__________.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（15分）．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，，，的面积为，求边的长.
16（13分）．如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥.
(1)证明：平面平面；
(2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值.
17（17分）．已知抛物线的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，以线段为直径作圆，该圆是否恒过上一定点？若是，求出该点坐标；若否，请说明理由．
18（17分）．某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审的概率为，各专家评审能否通过相互独立．
(1)求该项目予以立项的概率；
(2)记评审通过该项目的专家人数为，求的分布列与期望．
19（15分）．已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
参考答案
一．单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B D C B B
二．多选题
8.ABC
9.AD
10.AC
三．填空题
12. 13. 14./
四．解答题
15.【详解】（1），
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）因为，
又为的内角，则
故，
所以，所以.
设角所对边分别为，
因为，由正弦定理得.①
因为三角形的面积为，所以.②
由①②解得：，
由余弦定理得，
所以.
16【详解】（1）由题意得，为等边三角形，
又为中点，所以，，故.
又因为，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知，，
又，所以即为二面角的平面角，即.
则，，，.
，，，
设平面的法向量，
则，即，取
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为，
因为点在抛物线上，可得，解得，
又因为，根据抛物线的定义，可得，即，
整理得，解得或，
因为，所以，所以抛物线的方程为.
（2）解：设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
则，
，
假设以线段为直径的圆恒过上的点，则，
因为，且，
所以，
整理得，
因为，所以，
两边同时除以，可得，
即，即，
将代入上式，可得，
整理得，
因为上式对任意恒成立，所以，解得，
当时，可得，
所以以线段为直径的圆恒过抛物线上一定点.
18.【详解】（1）该项目予以立项的事件是两位初审专家都评审通过该项目的事件与
两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的事件和，
两位初审专家都评审通过该项目的概率，
两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的概率，
所以该项目予以立项的概率．
（2）依题意，的取值可能为，
且，，由（1）知，
所以的分布列为
0 1 2
数学期望.
19.【详解】（1）当时，，
，则，
又，∴曲线在点处的切线方程为．
（2），，
，，由，得，由，得．
的单调递增区间为，单调递减区间为．

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