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广西壮族自治区柳州市柳江中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题
1．（2026高一上·柳江期末）若集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，得，，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用对数型函数的单调性和对数型函数的定义域，从而得到集合，再由交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2026高一上·柳江期末）已知，则（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】分子分母同时除以，由同角三角函数的商的关系将弦化切，可解.
3．（2026高一上·柳江期末）已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（　　）
A．4 B． C．12 D．
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的弧长为，圆心角为，半径为，
由题意可得，解得，则.
故答案为：C.
【分析】设扇形的弧长为，圆心角为，半径为，利用扇形面积公式以及弧长公式求解即可.
4．（2026高一上·柳江期末）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为函数为增函数，函数为减函数，
所以，，且，
又因为为减函数，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.
5．（2026高一上·柳江期末）设，则“”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意，知，
先证充分性：当时，则，故充分性满足；
再证必要性：当时，则或，故必要性不满足，
综上可得，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，再结合一元二次不等式求解方法，从而找出正确的选项.
6．（2026高一上·柳江期末）若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由在上的增函数，
得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合函数的单调性，从而得出，解不等式组得出实数a的取值范围.
7．（2026高一上·柳江期末）设为奇函数，且在上是增函数，，则的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为为奇函数，且在上是增函数，
可得在上也是增函数，
又因为，
所以，
由不等式，如图所示，
当时，则，可得；
当时，则，可得，
所以，不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合函数的单调性和奇偶性，则判断出函数在上也是增函数且，再分类讨论，从而得出不等式的解集.
8．（2026高一上·柳江期末）函数在上为减函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数在上为减函数，
可得函数在上大于零，且为减函数，且，
则，所以，，
故答案为：．
【分析】由已知条件结合复合函数的单调性，即同增异减，从而可得关于的不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围．
9．（2026高一上·柳江期末）下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．幂函数的图象过点，则
D．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】换底公式及其推论；幂函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：对于A，由，
可得：，故A正确；
对于B，由，
可得：，故B正确；
对于C，设，将代入，可得：，
解得：，所以，故C不正确；
对于D，当时，原不等式等价于，无解，
则关于的不等式的解集为，满足条件，
当时， 要使关于的不等式的解集为，
则，解得：，
综上所述：的取值范围是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正切的和角公式判断出选项A；利用换底公式化简判断出选项B；将点代入，从而求出幂函数的解析式，再利用代入法得出函数的值，则判断出选项C；分类讨论和两种情况结合不等式为空集的求解方法，从而得出实数a的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2026高一上·柳江期末）下列说法中正确的有（　　）
A．与是同一个函数
B．函数在定义域内是减函数
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是
【答案】C,D
【知识点】充要条件；同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的定义域为，
又因为函数的定义域为，
所以，两个函数的定义域不一样，则两个函数不是同一个函数，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为且在定义域内不单调，故B错误；
对于C，在函数中，，则，
因此，函数的定义域为，故C正确；
对于D，若方程有两个正实数根，则，
解得，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用函数三要素判断同一函数的方法，则可判断选项A；利用幂函数的单调性，则可判断选项B；根据抽象函数的定义域求解方法，则可判断选项C；根据一元二次方程根的分布和充要条件的判断方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2026高一上·柳江期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．
C．是函数的一个对称中心
D．在区间的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：依题意，，
由图象，得，则，
又因为，所以，
由五点法作图，得，解得，
因此.
对于A，因为的最小正周期，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，是函数图象的一个对称中心，故C正确；
对于D，当时，，
所以，
则最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知的函数图象结合五点法作图，从而求出函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的解析式、换元法和正弦函数的对称性、正弦函数求最值的方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
12．（2026高一上·柳江期末）已知，，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：由，
得.
故答案为：.
【分析】根据和二倍角正切公式以及两角差的正切公式，从而得出的值.
13．（2026高一上·柳江期末）科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的　 　倍.
【答案】1000
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以，
则，
所以，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的1000倍.
故答案为：1000.
【分析】先根据指数式与对数式的互化公式，得，再利用指数幂的运算法则得出里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的倍数.
14．（2026高一上·柳江期末）已知函数，当方程有两解时， 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：，作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，所求的的取值范围是.
故答案为：.
【分析】有分段函数性质可作出函数的图象，得函数与直线的交点，得的取值范围是.
15．（2026高一上·柳江期末）已知不等式的解集为集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：不等式，化为，解得，
当时，，不等式化为，解得，
则，或，
所以，.
（2）解：由（1）知，，，由，
得或，解得或，
所以实数的取值范围或.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意将代入 ，解一元二次不等式可得求出集合A，解分式不等式得集合B，由补集定义得，交集、并集的定义得解；
（2）由（1）因式分解求出，由交集定义可得或可求出的范围.
（1）不等式，化为，解得，
当时，，不等式化为，解得，
则，或，
所以，.
（2）由（1）知，，，由，
得或，解得或，
所以实数的取值范围或.
16．（2026高一上·柳江期末）已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c∵f（0）=0∴c=0
∴f（x）=ax2+bxf（x）+x+1=ax2+（b+1）x+1f（x+1）
=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b∵f（x+1）
=f（x）+x+1∴ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1
∴∴
（2）f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立
∴x＞a在x∈[﹣1，1]恒成立
∴在x∈[﹣1，1]恒成立．
=-
∴a
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数类型设出函数的解析式，然后根据f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，建立两个等式关系，解之即可；
（2）要使f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，只需研究函数f（x）在闭区间[﹣1，1]上的最小值即可，利用配方法结合二次函数的性质即可求出f（x）的最小值．
17．（2026高一上·柳江期末）已知.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）解：因为所以
则.
（2）解：因为
所以，
结合，
则，
所以
=，
因为
所以，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据角的取值范围和不等式的基本性质以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（2）根据角的取值范围和不等式的基本性质以及同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式，从而得出角的值.
（1）由于故
因此
（2）由于则，结合，故
，
故
，
由于则，
故，
18．（2026高一上·柳江期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额）
【答案】（1）解：设为前年的总盈利额，单位：万元，
由题意，可得：，
由，得，
又因为，所以该设备从第年开始实现总盈利.
（2）解：方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值，此时处理掉设备，
则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为：，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即当时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元，
综上所述，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，
则方案二更合适.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中已知条件得出，再列出不等式求解得出该设备从第年开始实现总盈利.
（2）利用已知条件和二次函数求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而得出总盈利额的最大值和平均盈利额的最大值，进而分别求出两种方案的总利润和所需要的时间，再比较得出最为合理的方案.
（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.
19．（2026高一上·柳江期末）已知函数的图象关于点对称．
（1）若，求函数的最值及取最值时的的值；
（2）若，且，求．
【答案】（1）解：因为函数
又因为因为函数图象关于点对称，
所以，
则，
又因为，所以，
则，
因为，所以，
则当时，即当时，函数取最大值，且最大值为1；
当时，即当时，函数取最小值，且最小值为.
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
当时，则，与题意不符，
所以，则，
所以
则，
所以
．
【知识点】两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式进行化简，将代入求出的值，从而求出的取值范围，再结合换元法和正弦函数求最值的方法，从而得出函数的最值及取最值时的的值.
（2）利用得出，再得出的取值范围，利用平方关系得出的值，最后由两角差的余弦公式得出的值．
（1）函数
因为函数图象关于点对称，所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1，
当，即时，函数取最小值，且最小值为，
（2）因为，即，
因为，所以，又，所以，
当时，则，与题意不符，
所以，有，所以
所以．
所以
．
1 / 1广西壮族自治区柳州市柳江中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题
1．（2026高一上·柳江期末）若集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2026高一上·柳江期末）已知，则（　　）
A．2 B． C．3 D．
3．（2026高一上·柳江期末）已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（　　）
A．4 B． C．12 D．
4．（2026高一上·柳江期末）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高一上·柳江期末）设，则“”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2026高一上·柳江期末）若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高一上·柳江期末）设为奇函数，且在上是增函数，，则的解集为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026高一上·柳江期末）函数在上为减函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026高一上·柳江期末）下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．幂函数的图象过点，则
D．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是
10．（2026高一上·柳江期末）下列说法中正确的有（　　）
A．与是同一个函数
B．函数在定义域内是减函数
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是
11．（2026高一上·柳江期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．
C．是函数的一个对称中心
D．在区间的最小值为
12．（2026高一上·柳江期末）已知，，则　 　.
13．（2026高一上·柳江期末）科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的　 　倍.
14．（2026高一上·柳江期末）已知函数，当方程有两解时， 的取值范围是　 　.
15．（2026高一上·柳江期末）已知不等式的解集为集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
16．（2026高一上·柳江期末）已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．
17．（2026高一上·柳江期末）已知.
（1）求；
（2）求.
18．（2026高一上·柳江期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．
（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额）
19．（2026高一上·柳江期末）已知函数的图象关于点对称．
（1）若，求函数的最值及取最值时的的值；
（2）若，且，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，得，，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用对数型函数的单调性和对数型函数的定义域，从而得到集合，再由交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】分子分母同时除以，由同角三角函数的商的关系将弦化切，可解.
3．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的弧长为，圆心角为，半径为，
由题意可得，解得，则.
故答案为：C.
【分析】设扇形的弧长为，圆心角为，半径为，利用扇形面积公式以及弧长公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为函数为增函数，函数为减函数，
所以，，且，
又因为为减函数，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意，知，
先证充分性：当时，则，故充分性满足；
再证必要性：当时，则或，故必要性不满足，
综上可得，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，再结合一元二次不等式求解方法，从而找出正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由在上的增函数，
得，解得.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合函数的单调性，从而得出，解不等式组得出实数a的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为为奇函数，且在上是增函数，
可得在上也是增函数，
又因为，
所以，
由不等式，如图所示，
当时，则，可得；
当时，则，可得，
所以，不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合函数的单调性和奇偶性，则判断出函数在上也是增函数且，再分类讨论，从而得出不等式的解集.
8．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数在上为减函数，
可得函数在上大于零，且为减函数，且，
则，所以，，
故答案为：．
【分析】由已知条件结合复合函数的单调性，即同增异减，从而可得关于的不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围．
9．【答案】A,B,D
【知识点】换底公式及其推论；幂函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：对于A，由，
可得：，故A正确；
对于B，由，
可得：，故B正确；
对于C，设，将代入，可得：，
解得：，所以，故C不正确；
对于D，当时，原不等式等价于，无解，
则关于的不等式的解集为，满足条件，
当时， 要使关于的不等式的解集为，
则，解得：，
综上所述：的取值范围是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正切的和角公式判断出选项A；利用换底公式化简判断出选项B；将点代入，从而求出幂函数的解析式，再利用代入法得出函数的值，则判断出选项C；分类讨论和两种情况结合不等式为空集的求解方法，从而得出实数a的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】C,D
【知识点】充要条件；同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的定义域为，
又因为函数的定义域为，
所以，两个函数的定义域不一样，则两个函数不是同一个函数，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为且在定义域内不单调，故B错误；
对于C，在函数中，，则，
因此，函数的定义域为，故C正确；
对于D，若方程有两个正实数根，则，
解得，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用函数三要素判断同一函数的方法，则可判断选项A；利用幂函数的单调性，则可判断选项B；根据抽象函数的定义域求解方法，则可判断选项C；根据一元二次方程根的分布和充要条件的判断方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：依题意，，
由图象，得，则，
又因为，所以，
由五点法作图，得，解得，
因此.
对于A，因为的最小正周期，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，是函数图象的一个对称中心，故C正确；
对于D，当时，，
所以，
则最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知的函数图象结合五点法作图，从而求出函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的解析式、换元法和正弦函数的对称性、正弦函数求最值的方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：由，
得.
故答案为：.
【分析】根据和二倍角正切公式以及两角差的正切公式，从而得出的值.
13．【答案】1000
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以，
则，
所以，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的1000倍.
故答案为：1000.
【分析】先根据指数式与对数式的互化公式，得，再利用指数幂的运算法则得出里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的倍数.
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：，作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，所求的的取值范围是.
故答案为：.
【分析】有分段函数性质可作出函数的图象，得函数与直线的交点，得的取值范围是.
15．【答案】（1）解：不等式，化为，解得，
当时，，不等式化为，解得，
则，或，
所以，.
（2）解：由（1）知，，，由，
得或，解得或，
所以实数的取值范围或.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意将代入 ，解一元二次不等式可得求出集合A，解分式不等式得集合B，由补集定义得，交集、并集的定义得解；
（2）由（1）因式分解求出，由交集定义可得或可求出的范围.
（1）不等式，化为，解得，
当时，，不等式化为，解得，
则，或，
所以，.
（2）由（1）知，，，由，
得或，解得或，
所以实数的取值范围或.
16．【答案】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c∵f（0）=0∴c=0
∴f（x）=ax2+bxf（x）+x+1=ax2+（b+1）x+1f（x+1）
=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b∵f（x+1）
=f（x）+x+1∴ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1
∴∴
（2）f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立
∴x＞a在x∈[﹣1，1]恒成立
∴在x∈[﹣1，1]恒成立．
=-
∴a
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数类型设出函数的解析式，然后根据f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，建立两个等式关系，解之即可；
（2）要使f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，只需研究函数f（x）在闭区间[﹣1，1]上的最小值即可，利用配方法结合二次函数的性质即可求出f（x）的最小值．
17．【答案】（1）解：因为所以
则.
（2）解：因为
所以，
结合，
则，
所以
=，
因为
所以，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据角的取值范围和不等式的基本性质以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（2）根据角的取值范围和不等式的基本性质以及同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式，从而得出角的值.
（1）由于故
因此
（2）由于则，结合，故
，
故
，
由于则，
故，
18．【答案】（1）解：设为前年的总盈利额，单位：万元，
由题意，可得：，
由，得，
又因为，所以该设备从第年开始实现总盈利.
（2）解：方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值，此时处理掉设备，
则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为：，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即当时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元，
综上所述，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，
则方案二更合适.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中已知条件得出，再列出不等式求解得出该设备从第年开始实现总盈利.
（2）利用已知条件和二次函数求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而得出总盈利额的最大值和平均盈利额的最大值，进而分别求出两种方案的总利润和所需要的时间，再比较得出最为合理的方案.
（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.
19．【答案】（1）解：因为函数
又因为因为函数图象关于点对称，
所以，
则，
又因为，所以，
则，
因为，所以，
则当时，即当时，函数取最大值，且最大值为1；
当时，即当时，函数取最小值，且最小值为.
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
当时，则，与题意不符，
所以，则，
所以
则，
所以
．
【知识点】两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式进行化简，将代入求出的值，从而求出的取值范围，再结合换元法和正弦函数求最值的方法，从而得出函数的最值及取最值时的的值.
（2）利用得出，再得出的取值范围，利用平方关系得出的值，最后由两角差的余弦公式得出的值．
（1）函数
因为函数图象关于点对称，所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1，
当，即时，函数取最小值，且最小值为，
（2）因为，即，
因为，所以，又，所以，
当时，则，与题意不符，
所以，有，所以
所以．
所以
．
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