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贵州省毕节市2025-2026学年上学期九年级数学 期末复习试题
1．（2026九上·毕节期末）已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面观察该几何体，能看到一个长方形，上方有一个半圆与长方形相连，且中间是圆孔，选项B符合．
故选：B．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．（2026九上·毕节期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，当时，方程变为，此时则不是一元二次方程，错误；
B、，含有两个未知数和，不是一元二次方程，错误；
C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程是一元二次方程的定义，正确；
D、，其中是分式，不是整式方程，因此不是一元二次方程，错误．
故答案为：C．
【分析】只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程的方程是一元二次方程。本题根据一元二次方程的定义，逐个选项进行分析判断，即可选出正确选项。
3．（2026九上·毕节期末）在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题先利用勾股定理列式求出，然后列出，最后将、AB=8代入计算并化简即可。
4．（2026九上·毕节期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（　　）
A．始终不变 B．不断变小
C．不断变大 D．先变小后变大
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，且点P为的中点，
∴为斜边上的中线，
∴，
∵梯子的长度不变，
∴P点和C点的距离始终不变．
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
5．（2026九上·毕节期末）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的倍，
根据题意得，，
解得，（舍去），
∴每轮传染中平均每人传染6人，
则三轮传染后得流感的人数为（人）．
故答案为：A．
【分析】本题先假设每轮传染中平均每人传染x人。而原来有4人患了流感，因此第一轮中会传染给4x人，此时患了流感的人有4x+4=4（1+x）人；则第二轮会在第一轮的基础上传染给4（1+x）x人，此时患了流感的人有4（1+x）x+4（1+x）=，而“ 经过两轮传染后共有196人患了流感 ”，此时即可列出方程，求解后取正数即可。最后再计算三轮后的传染总人数即可。
6．（2026九上·毕节期末）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，设该群一共有个人，则可列方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设该群一共有个人，即每人收到红包数为个，则红包总数为，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题根据条件“ 群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包 ”，因此每人收到个红包，因此红包总数为，且“ 群内所有人共收到个红包 ”，据此即可列方程。
7．（2026九上·毕节期末）下面四组线段中不能成比例线段的是（　　）
A．3、6、2、4 B．4、6、8、10
C．1、 D．、2、2
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.2×6＝3×4，能成比例，不符合题意；
B.4×10≠6×8，不能成比例，符合题意；
C．，能成比例，不符合题意；
D．，能成比例，不符合题意．
故选：B．
【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案．
8．（2026九上·毕节期末）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，是位似中心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴。
故答案为：C．
【分析】本题根据位似图形的性质可得，此时即可得出，然后根据相似三角形对应边成比例列式得出，最后价格AB=2代入计算即可得出答案．
9．（2026九上·毕节期末）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意；
D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】根据程序框图，结合矩形，菱形，正方形的判定定理即可求出答案.
10．（2026九上·毕节期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．且 C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：∵关于的方程为一元二次方程，
∴，
解得，，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
∴的取值范围是且，
故选：A ．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
11．（2026九上·毕节期末）在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
，，
，
故选：A．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
12．（2026九上·毕节期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（　　）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】根据反比例函数k的结合意义可得，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2026九上·毕节期末）二次三项式的最小值是　 　．
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题先观察发现，可以变形为，然后通过完全平方公式将原式变形为，最后利用平方的非负性即可求出最小值。
14．（2026九上·毕节期末）已知均不为0，且，若，则的值为　 　；
【答案】2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设
∴，，
∴b+c+c+a+a+b=ak+bk+ck，
即，
∵，
∴.
∴，
故答案为：2
【分析】本题先令原式=k，此时得到，，，然后三个式子相加并整理得到，根据条件，即可得出。
15．（2026九上·毕节期末）关于x的反比例函数 的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是　 　.
【答案】m＜2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：m-2＜0，
解得：m＜2.
故答案为：m＜2.
【分析】利用反比例函数y=（k≠0）的图象位于第二、四象限，得k＜0，于是可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
16．（2026九上·毕节期末）如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB=BC==6cm，
作点E关于直线BD的对称点E'，连接CE'交BD于点P，则CE'的长即为PE﹢PC的最小值，如图所示
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴E'在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE'=BC=×6=3，
∵BE'=BE=BC，
∴△BCE'是直角三角形，
∴CE'=，
∴PE﹢PC的最小值是3．
故答案为：3．
【分析】先根据菱形的四条边想的，可以求出菱形各边的长度为6cm；然后依据将军饮马原理做辅助线，结合图中信息发现，CE'的长即为PE﹢PC的最小值，然后由菱形的性质依据对称性质，计算得出BE=BE'=3，然后由直角三角形的判定定理可得出△BCE'是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出CE'的长．
17．（2026九上·毕节期末）解方程及计算
（1）；
（2）．
（3）计算
【答案】（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：；
（3）解：
.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法先将原式进行因式分解，然后进行计算即可；
（2）利用配方法将原式进行变形，进行计算即可；
（3）先分别计算出特殊角的三角函数值sin30°=、tan30°=、sin45°=1，代入进行计算即可。
（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：；
（3）解：
.
18．（2026九上·毕节期末）某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____．
（3）该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳．
（4）甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率．
【答案】（1）解：根据题意，得抽取的学生总人数为：（人），
∴参加D项活动的学生人数为：（人），
∴补全条形统计图如下：
（2）54°；
（3）解：(名)，
∴估计该校有2400名学生选择跳绳；
（4）解∶ 画树状图如下：
∴共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一类的结果有4种，
∴两人恰好选择同一类的概率为，
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2） 扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：54°.
【分析】（1）用参加C项活动的学生人数除以其所占百分比求出抽取的学生总人数，从而求出参加D项活动的学生人数，进而补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以参加A项活动的学生人数占比即可；
（3）用样本估计总体，将6000乘以参加D项活动的学生人数占比即可；
（4）先画出树状图得到所有的等可能结果数，从而得两人恰好选择同一类的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：总人数有：人，
参加D项活动的人数有：（人）
补全条形统计图如下：
（2）解：
（3）解：(名)
（4）解∶ 由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加四类活动的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，则两人恰好选择同一类的概率为，
19．（2026九上·毕节期末）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求的长；
（2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
【答案】（1）解：在中，，∴．
即的长为．
（2）解：设，在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；
（2）过点D作AB的垂线段DF，则四边形DFAE是矩形，所以FA等于DE；为便于计算，可设AB＝h，则BF等于h-3，再分别解和即可分别表示出AC与DF，而DF与AC的差恰好等于DE等于3，即可求出AB的长．
20．（2026九上·毕节期末）如图所示，和中，，，且平分．
（1）求证：；
（2）点是边的中点，连接和，和交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
，
即；
（2）解：点是边的中点，，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据角平分线以及相似三角形判定方法，得出，然后根据相似三角形对应边成比例列式变形即可得出证明结果；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线定理，计算得出，根据等腰三角形性质综合得出；此时依据平行线判断方法“内错角相等，两直线平行”，得出，从而得出，最后根据相似三角形对应边成比例，列式计算即可求出．
（1）证明：平分，
，
，
，
，
即；
（2）解：点是边的中点，，，
，
，
，
，
，
．
21．（2026九上·毕节期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．

（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
22．（2026九上·毕节期末）如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若，，，求AC的长．
【答案】（1）解：，分别为，的中点，
是的中位线．
．
，
四边形是平行四边形．
又，
．
四边形是矩形．
（2）解：，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形，
，，，
，
．
为的中点，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先结合条件和图中信息得出DE是的中位线，然后利用三角形中位线定理得出，此时依据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得出证明结果；
（2）先利用等腰直角三角形性质以及条件，计算求出=3，结合矩形性质求出=8，再通过三角形中位线以及矩形的性质，可以求出DE=4、CG=3，此时可以利用勾股定理求出CE=，最后根据中点定义计算即可得出的长．
（1）解：，分别为，的中点，
是的中位线．
．
，
四边形是平行四边形．
又，
．
四边形是矩形．
（2）解：，，
是等腰直角三角形，．
，
，
由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形，
，，，
，
．
为的中点，
．
23．（2026九上·毕节期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E，已知C点的坐标是，．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求的面积．
（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围
【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
点在反比例函数上，且，
，代入得：，解得，
点的坐标为．
、两点在直线上，则，解得，
一次函数的关系式为。
（2）解：。
（3）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法将点代入，即可求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法将C、D两点坐标代入，列出二元一次方程求解后即可得出一次函数表达式；
（2）从图上可以看出，的面积可以看作是以DE为底、高为D点横坐标与C点横坐标的差的绝对值；而DE=3，D点横坐标与C点横坐标的差的绝对值为，最后代入三角形面积计算公式中进行计算即可；
（3）观察函数图象发现，一次函数的值大于反比例函数的值的部分，为D点的左侧或D点和C点之间，而的坐标为， C点的坐标 ，此时即可得出答案．
（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
点在反比例函数上，且，
，代入得：，解得，
点的坐标为．
、两点在直线上，则，解得，
一次函数的关系式为；
（2）解：；
（3）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
24．（2026九上·毕节期末）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其形子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段表示三片风叶，，某时刻的影子恰好重合为线段于点D，测得，同一时刻测得高为的标杆影长为．
（1）直接写出的度数及的长；
（2）求风叶转动时点B到地面的最小距离．
【答案】（1），
（2）解：如图2，作于H点，于点G，
∵，
∴，
则四边形为矩形，
由题意可知，
，
，
∴点B到地面的最小距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，同一时刻测得高为的标杆影长为．
∴，
∴；
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）作于H点，于点G，根据直线平行性质可得，则四边形为矩形，再解直角三角形即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，同一时刻测得高为的标杆影长为．
∴，
∴；
（2）解：如图2，作于H点，于点G，
∵，
∴，
则四边形为矩形，
由题意可知，
，
，
∴点B到地面的最小距离为．
25．（2026九上·毕节期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
（1）在图2中，的度数是 （直接写答案）．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度．
（3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
【答案】（1）；
解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，
，，，，
直角梯形中，（），，，
，
四边形是正方形，，，
点与重合，、、三点共线，
，
由可知，
在和中，，
（），
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：；
（3）当时，线段有最大值，最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
故答案为：；
当时，线段有最大值，
如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、，
是等腰直角三角形，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，即，
在和中，，
，
，
当有最大值时，有最大值，
，，
当、、三点共线时，有最大值，
最大值为，
，
此时，
当时，线段有最大值，最大值为．
【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据正方形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转性质可得，，，，根据正方形判定定理可得四边形是正方形，，，则点与重合，、、三点共线， 再根据全等三角形判定定理可得（），则，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将绕点逆时针旋转得线段，连接、，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，根据勾股定理可得CF，再根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，当有最大值时，有最大值，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1贵州省毕节市2025-2026学年上学期九年级数学 期末复习试题
1．（2026九上·毕节期末）已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·毕节期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·毕节期末）在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·毕节期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（　　）
A．始终不变 B．不断变小
C．不断变大 D．先变小后变大
5．（2026九上·毕节期末）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
6．（2026九上·毕节期末）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，设该群一共有个人，则可列方程是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026九上·毕节期末）下面四组线段中不能成比例线段的是（　　）
A．3、6、2、4 B．4、6、8、10
C．1、 D．、2、2
8．（2026九上·毕节期末）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·毕节期末）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
10．（2026九上·毕节期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．且 C． D．
11．（2026九上·毕节期末）在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2026九上·毕节期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（　　）
A．9 B．6 C．3 D．12
13．（2026九上·毕节期末）二次三项式的最小值是　 　．
14．（2026九上·毕节期末）已知均不为0，且，若，则的值为　 　；
15．（2026九上·毕节期末）关于x的反比例函数 的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是　 　.
16．（2026九上·毕节期末）如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是　 　．
17．（2026九上·毕节期末）解方程及计算
（1）；
（2）．
（3）计算
18．（2026九上·毕节期末）某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____．
（3）该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳．
（4）甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率．
19．（2026九上·毕节期末）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求的长；
（2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
20．（2026九上·毕节期末）如图所示，和中，，，且平分．
（1）求证：；
（2）点是边的中点，连接和，和交于点，若，，求的长．
21．（2026九上·毕节期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
22．（2026九上·毕节期末）如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若，，，求AC的长．
23．（2026九上·毕节期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E，已知C点的坐标是，．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求的面积．
（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围
24．（2026九上·毕节期末）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其形子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段表示三片风叶，，某时刻的影子恰好重合为线段于点D，测得，同一时刻测得高为的标杆影长为．
（1）直接写出的度数及的长；
（2）求风叶转动时点B到地面的最小距离．
25．（2026九上·毕节期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
（1）在图2中，的度数是 （直接写答案）．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度．
（3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面观察该几何体，能看到一个长方形，上方有一个半圆与长方形相连，且中间是圆孔，选项B符合．
故选：B．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，当时，方程变为，此时则不是一元二次方程，错误；
B、，含有两个未知数和，不是一元二次方程，错误；
C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程是一元二次方程的定义，正确；
D、，其中是分式，不是整式方程，因此不是一元二次方程，错误．
故答案为：C．
【分析】只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程的方程是一元二次方程。本题根据一元二次方程的定义，逐个选项进行分析判断，即可选出正确选项。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题先利用勾股定理列式求出，然后列出，最后将、AB=8代入计算并化简即可。
4．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，且点P为的中点，
∴为斜边上的中线，
∴，
∵梯子的长度不变，
∴P点和C点的距离始终不变．
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的倍，
根据题意得，，
解得，（舍去），
∴每轮传染中平均每人传染6人，
则三轮传染后得流感的人数为（人）．
故答案为：A．
【分析】本题先假设每轮传染中平均每人传染x人。而原来有4人患了流感，因此第一轮中会传染给4x人，此时患了流感的人有4x+4=4（1+x）人；则第二轮会在第一轮的基础上传染给4（1+x）x人，此时患了流感的人有4（1+x）x+4（1+x）=，而“ 经过两轮传染后共有196人患了流感 ”，此时即可列出方程，求解后取正数即可。最后再计算三轮后的传染总人数即可。
6．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设该群一共有个人，即每人收到红包数为个，则红包总数为，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题根据条件“ 群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包 ”，因此每人收到个红包，因此红包总数为，且“ 群内所有人共收到个红包 ”，据此即可列方程。
7．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.2×6＝3×4，能成比例，不符合题意；
B.4×10≠6×8，不能成比例，符合题意；
C．，能成比例，不符合题意；
D．，能成比例，不符合题意．
故选：B．
【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案．
8．【答案】C
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，是位似中心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴。
故答案为：C．
【分析】本题根据位似图形的性质可得，此时即可得出，然后根据相似三角形对应边成比例列式得出，最后价格AB=2代入计算即可得出答案．
9．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意；
D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】根据程序框图，结合矩形，菱形，正方形的判定定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：∵关于的方程为一元二次方程，
∴，
解得，，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
∴的取值范围是且，
故选：A ．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
，，
，
故选：A．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】根据反比例函数k的结合意义可得，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题先观察发现，可以变形为，然后通过完全平方公式将原式变形为，最后利用平方的非负性即可求出最小值。
14．【答案】2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设
∴，，
∴b+c+c+a+a+b=ak+bk+ck，
即，
∵，
∴.
∴，
故答案为：2
【分析】本题先令原式=k，此时得到，，，然后三个式子相加并整理得到，根据条件，即可得出。
15．【答案】m＜2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：m-2＜0，
解得：m＜2.
故答案为：m＜2.
【分析】利用反比例函数y=（k≠0）的图象位于第二、四象限，得k＜0，于是可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
16．【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB=BC==6cm，
作点E关于直线BD的对称点E'，连接CE'交BD于点P，则CE'的长即为PE﹢PC的最小值，如图所示
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴E'在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE'=BC=×6=3，
∵BE'=BE=BC，
∴△BCE'是直角三角形，
∴CE'=，
∴PE﹢PC的最小值是3．
故答案为：3．
【分析】先根据菱形的四条边想的，可以求出菱形各边的长度为6cm；然后依据将军饮马原理做辅助线，结合图中信息发现，CE'的长即为PE﹢PC的最小值，然后由菱形的性质依据对称性质，计算得出BE=BE'=3，然后由直角三角形的判定定理可得出△BCE'是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出CE'的长．
17．【答案】（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：；
（3）解：
.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法先将原式进行因式分解，然后进行计算即可；
（2）利用配方法将原式进行变形，进行计算即可；
（3）先分别计算出特殊角的三角函数值sin30°=、tan30°=、sin45°=1，代入进行计算即可。
（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：；
（3）解：
.
18．【答案】（1）解：根据题意，得抽取的学生总人数为：（人），
∴参加D项活动的学生人数为：（人），
∴补全条形统计图如下：
（2）54°；
（3）解：(名)，
∴估计该校有2400名学生选择跳绳；
（4）解∶ 画树状图如下：
∴共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一类的结果有4种，
∴两人恰好选择同一类的概率为，
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2） 扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：54°.
【分析】（1）用参加C项活动的学生人数除以其所占百分比求出抽取的学生总人数，从而求出参加D项活动的学生人数，进而补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以参加A项活动的学生人数占比即可；
（3）用样本估计总体，将6000乘以参加D项活动的学生人数占比即可；
（4）先画出树状图得到所有的等可能结果数，从而得两人恰好选择同一类的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：总人数有：人，
参加D项活动的人数有：（人）
补全条形统计图如下：
（2）解：
（3）解：(名)
（4）解∶ 由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加四类活动的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，则两人恰好选择同一类的概率为，
19．【答案】（1）解：在中，，∴．
即的长为．
（2）解：设，在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；
（2）过点D作AB的垂线段DF，则四边形DFAE是矩形，所以FA等于DE；为便于计算，可设AB＝h，则BF等于h-3，再分别解和即可分别表示出AC与DF，而DF与AC的差恰好等于DE等于3，即可求出AB的长．
20．【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
，
即；
（2）解：点是边的中点，，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据角平分线以及相似三角形判定方法，得出，然后根据相似三角形对应边成比例列式变形即可得出证明结果；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线定理，计算得出，根据等腰三角形性质综合得出；此时依据平行线判断方法“内错角相等，两直线平行”，得出，从而得出，最后根据相似三角形对应边成比例，列式计算即可求出．
（1）证明：平分，
，
，
，
，
即；
（2）解：点是边的中点，，，
，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．

（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
22．【答案】（1）解：，分别为，的中点，
是的中位线．
．
，
四边形是平行四边形．
又，
．
四边形是矩形．
（2）解：，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形，
，，，
，
．
为的中点，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先结合条件和图中信息得出DE是的中位线，然后利用三角形中位线定理得出，此时依据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得出证明结果；
（2）先利用等腰直角三角形性质以及条件，计算求出=3，结合矩形性质求出=8，再通过三角形中位线以及矩形的性质，可以求出DE=4、CG=3，此时可以利用勾股定理求出CE=，最后根据中点定义计算即可得出的长．
（1）解：，分别为，的中点，
是的中位线．
．
，
四边形是平行四边形．
又，
．
四边形是矩形．
（2）解：，，
是等腰直角三角形，．
，
，
由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形，
，，，
，
．
为的中点，
．
23．【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
点在反比例函数上，且，
，代入得：，解得，
点的坐标为．
、两点在直线上，则，解得，
一次函数的关系式为。
（2）解：。
（3）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法将点代入，即可求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法将C、D两点坐标代入，列出二元一次方程求解后即可得出一次函数表达式；
（2）从图上可以看出，的面积可以看作是以DE为底、高为D点横坐标与C点横坐标的差的绝对值；而DE=3，D点横坐标与C点横坐标的差的绝对值为，最后代入三角形面积计算公式中进行计算即可；
（3）观察函数图象发现，一次函数的值大于反比例函数的值的部分，为D点的左侧或D点和C点之间，而的坐标为， C点的坐标 ，此时即可得出答案．
（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
点在反比例函数上，且，
，代入得：，解得，
点的坐标为．
、两点在直线上，则，解得，
一次函数的关系式为；
（2）解：；
（3）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
24．【答案】（1），
（2）解：如图2，作于H点，于点G，
∵，
∴，
则四边形为矩形，
由题意可知，
，
，
∴点B到地面的最小距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，同一时刻测得高为的标杆影长为．
∴，
∴；
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）作于H点，于点G，根据直线平行性质可得，则四边形为矩形，再解直角三角形即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，同一时刻测得高为的标杆影长为．
∴，
∴；
（2）解：如图2，作于H点，于点G，
∵，
∴，
则四边形为矩形，
由题意可知，
，
，
∴点B到地面的最小距离为．
25．【答案】（1）；
解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，
，，，，
直角梯形中，（），，，
，
四边形是正方形，，，
点与重合，、、三点共线，
，
由可知，
在和中，，
（），
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：；
（3）当时，线段有最大值，最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
故答案为：；
当时，线段有最大值，
如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、，
是等腰直角三角形，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，即，
在和中，，
，
，
当有最大值时，有最大值，
，，
当、、三点共线时，有最大值，
最大值为，
，
此时，
当时，线段有最大值，最大值为．
【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据正方形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转性质可得，，，，根据正方形判定定理可得四边形是正方形，，，则点与重合，、、三点共线， 再根据全等三角形判定定理可得（），则，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将绕点逆时针旋转得线段，连接、，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，根据勾股定理可得CF，再根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，当有最大值时，有最大值，再根据边之间的关系即可求出答案.
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