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广东省深圳市罗湖区滨河实验中学2024-2025学年下学期中考数学模拟试卷
一、选择题（本部分共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）
1．（2025九下·罗湖期中）如图所示的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】主视图就是从正面看到的图形，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线，只有选项A的图形符合题意，
故答案为：A．
【分析】考查三视图中主视图的识别与判断，核心是掌握主视图的定义——从物体正面观察所得到的视图，同时要明确视图绘制的基本规则：可见的轮廓线用实线表示，不可见的轮廓线用虚线表示。结合该几何体的结构特征，从正面观察时，其轮廓形状需符合实线、虚线的区分要求，进而筛选出符合条件的选项。
2．（2025九下·罗湖期中）方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1
C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝0
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
则x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
故答案为：C．
【分析】考查一元二次方程的求解方法，重点是因式分解法的灵活运用。观察方程结构可知，等式两边均含有因式，因此首先通过移项将所有项移到等式左边，得到，再提取公因式进行因式分解，转化为。根据“若两个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别令两个因式等于0，即可求出方程的两个根。
3．（2025九下·罗湖期中）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D．
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC=9.6(cm)．
故选：C．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算即可求出答案.
4．（2025九下·罗湖期中）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　）
累计抽测的学生数
近视学生数与的比值
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于，
故选：D ．
【分析】
大量重复试验的频率逐渐趋向于概率．
5．（2025九下·罗湖期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC=4：5，AE交BD于F ，则BF：FD等于（　　）
A．4：5 B．3：5 C．4：9 D．3：8
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．
∵BE：EC=4：5，∴BE：BC=4：9，∴BE：AD=4：9．
∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴BF：FD=BE：AD=4：9．
故选C．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，进而根据相似三角形的判定与性质证明△BEF∽△DAF即可得到BF：FD=BE：AD=4：9．
6．（2025九下·罗湖期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每件商品售价为元，则每天可销售件，
依题意，得：，
即．
故答案为：D．
【分析】考查一元二次方程在销售利润问题中的应用，核心是建立“日盈利=每件利润×日销售量”的数学模型。设每件商品售价为x元，则每件商品的利润为元；根据“每降价0.5元多售1件”，可知售价从150元降到x元时，降价金额为元，多销售的件数为，因此日销售量为，化简后为。结合日盈利为2100元，即可列出方程。
7．（2025九下·罗湖期中）若函数y1＝（x＞0）与函数y2＝﹣2x＋8的图象如图所示，则不等式的解集是（　　）
A．1≤x≤3 B．2≤x≤6 C．x≤1 D．x≥3
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： 由题意得不等式的解集即为函数y1＝（x＞0）的图像在函数y2＝﹣2x＋8的图象的下方或者交点处的x的取值，
∵函数y1＝（x＞0）与函数y2＝﹣2x＋8的图象的交点为（1，6）、（3，2），
∴不等式的解集为，
故答案为A．
【分析】考查反比例函数与一次函数图象的综合应用，核心是理解不等式的几何意义。不等式表示的是反比例函数的图象在一次函数的图象下方（或两图象交点处）对应的x取值范围。因此首先需求出两函数的交点坐标，联立，解得交点为(1，6)和(3，2)，结合的条件，即可确定解集为。
8．（2025九下·罗湖期中）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；直角三角形斜边上的中线；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：设，
则，
∵点M在x轴上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）
∴．
∵P点在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据直线上点的坐标特点设，由两点间的距离公式用含x的式子表示出OP的长，根据反比例函数的对称性及直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，利用同底等高三角形面积相等得出，进而根据三角形的面积计算公式建立关于x的方程，求出点P坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特点即可得到k值．
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）．
9．（2025九下·罗湖期中）已知，．则　 　，　 　．
【答案】；19
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
故答案为：；19．
【分析】考查代数式的化简求值及完全平方公式的灵活应用。对于，首先进行通分运算，转化为，无需单独求解a、b的值，直接将、整体代入，即可求出结果；对于，利用完全平方公式的变形形式，同样代入已知条件，通过计算得出结果。
10．（2025九下·罗湖期中）一元二次方程的一个解为，则　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程的一个解为，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】考查一元二次方程的解的定义，即能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此将代入方程中，得到关于a的一元一次方程，解这个一元一次方程，即可求出a的值。
11．（2025九下·罗湖期中）如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接，如果量出的长为25米，那么池塘宽为　 　米．
【答案】50
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解∶∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵米，
∴米．
故答案为∶50．
【分析】考查相似三角形的判定与性质在实际测量中的应用。首先根据题意得出，且与是对顶角，因此。根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定。再由相似三角形“对应边成比例”的性质，得出，代入米，即可求出米。
12．（2025九下·罗湖期中）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且， 反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接，，．若的面积为2，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设点，
∵矩形的对称中心为M，
∴延长则经过点B，，
∵，
∴，
∴，
过点M作于点N，
∴，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，设点，根据对称性质可得延长则经过点B，，，过点M作于点N，根据三角形面积可得，再根据反比例函数k的几何意义可得，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
13．（2025九下·罗湖期中）如图，在矩形中，，平分交于点，连接，将矩形沿翻折，翻折后点与点点对应，再将所得绕着点旋转，线段与线段交于点．当时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，假设当旋转到如下位置时，，过DF⊥交于F．
∵四边形ABCD为矩形，DC=AB=4，
∴∠BAD=∠B=∠C=90°，
∵平分，
∴∠BAE=45°，∠AEB=90°-∠BAE=45°，
∴BE=AB=4，EC=BC-BE=3，
在Rt△DCE中，根据勾股定理
，
根据翻折和旋转的性质可得，
设，
∴，
在中根据勾股定理，
，即，解得，
即，
在和中，
∵，
∴∽，
∴ ，即，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】考查矩形的性质、反比例函数k的几何意义及割补法求三角形面积。首先设矩形顶点，由矩形对称中心的性质可知，对称中心M的坐标为；结合，可得点D的坐标为。因为反比例函数经过点D，所以，即。利用割补法，的面积等于矩形的面积减去、的面积，即，代入，解方程即可求出k的值。
三、解答题（本大题共7题．其中16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，共61分）．
14．（2025九下·罗湖期中）计算：
（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
，
将代入得：原式．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；分式的化简求值；分母有理化；多项式除以单项式
【解析】【分析】(1) 考察整式的混合运算，涉及多项式乘以多项式、多项式除以单项式的运算法则。首先计算多项式乘以多项式：；再计算多项式除以单项式：；最后将两部分结果相加，合并同类项得到化简结果。
(2) 考察分式的化简求值及二次根式的分母有理化。首先对括号内的式子进行通分运算，将转化为，再与相减，得到；接着将除法转化为乘法，乘以，约分后化简为；最后将代入，进行分母有理化计算出最终值。
（1）解：原式
．
（2）解：原式
，
将代入得：原式．
15．（2025九下·罗湖期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请你以原点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标．
【答案】解：如图，即为所求，点A、B的对应点、的坐标分别为，．
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】考查位似图形的性质及平面直角坐标系中点的坐标变换规律。位似图形的对应点的坐标比等于相似比，且位似中心为原点，第三象限内的点横、纵坐标均为负数。因此，将各顶点的横、纵坐标分别乘以-2（相似比为2，第三象限符号为负），即可得到对应点、、的坐标：，，，顺次连接各点即可得到所求位似图形。
16．（2025九下·罗湖期中）川北木偶、川北剪纸、高坪竹编是南充尤为出名的三项传统文化．学校九年级甲、乙两班各有5名同学特别熟悉这三项传统文化中的一项，具体如下表．
项目 川北木偶 川北剪纸 高坪竹编
甲班 2 2 1
乙班 1 2 2
（1）若从甲班5名同学中随机抽取一名，求抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率．
（2）若从两班各5名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
【答案】（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为.
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲 乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有2种，从而接利用概率公式计算概率即可；
（2）根据题意，用表格列举出所有等可能的情况数， 由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种， 然后利用概率公式计算概率即可．
（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲 乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
17．（2025九下·罗湖期中）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变．实验发现，当每次漂洗用水量（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量（克）与漂洗次数（次）满足（为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成次（）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
【答案】（1）解：把，，代入
得，
解得：．
（2）解：把，代入，
∵反比例函数在的范围内随的增大而减少，
∴当时，漂洗的次数，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）解：由（1）得，
∴，即．
由题意得，即，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，（舍去），
∴当时，每次漂洗用水（升），
所以，每次漂洗用水5升．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将，，代入解析式即可求出答案.
（2）将v=5代入解析式，结合反比例函数的性质即可求出答案.
（3）根据题意可得，再将代入，解方程即可求出答案.
（1）把，，代入
得，
解得．
（2）把，代入，
∵反比例函数在的范围内随的增大而减少，
∴当时，漂洗的次数，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）由（1）得，
∴，即．
由题意得，即，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，（舍去），
∴当时，每次漂洗用水（升），
所以，每次漂洗用水5升．
18．（2025九下·罗湖期中）如图，O为线段上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
∵为的半径，
是的切线．
（2）解：设，，
，，，
，，
，
，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，根据三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设，，则，，，根据勾股定理可得PC，再根据相似三角形性质即可求出答案.
（1）证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
∵为的半径，
是的切线．
（2）解：设，，
，，，
，，
，
，
．
19．（2025九下·罗湖期中）完成项目化学习：《观景拱桥的设计》．
《观景拱桥的设计》
驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画观景拱桥的横截面？ 2、如何铺设台阶地毯，保证观景拱桥的实惠性？ 3、如何安装脚手架，保证脚手架的安全性？ 4、如何设计射灯位置，保障观景拱桥的采光性？
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点（长度单位：m），直接写出抛物线的解析式：
任务2 利用模型 （2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元，求购买地毯需多少元？
任务3 利用模型 （3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离.
任务4
分析计算
（4）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
【答案】（1）；
（2）由（1）知，，
令，即，解得；
∴地毯的总长度为：，
∴，
答：购买地毯需要900元．
（3）设点G的坐标为，
根据题意得，，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴，
∴，．
（4）作直线的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H，作，垂足为G，如图所示，
∵，
设直线l的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
整理得
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∵射灯射出的光线与地面成角，
∴，
∵，
，
∴，
∴光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，由题意得：
，解得，
所以抛物线的解析式为，
故答案为：；
【分析】(1) 考察二次函数解析式的求解，已知抛物线顶点为，因此设顶点式。将点代入解析式，得到，解出，即可得到抛物线解析式。
(2) 考察二次函数在实际生活中的应用，首先求出抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令，解得，因此m。地毯的总长度为m（OC为顶点到地面的高度），结合地毯宽度1.5m和单价20元/，计算总费用为元。
(3) 考察二次函数与矩形周长的结合，设点，由矩形性质可知、，且。根据三边钢材长度为18.4m，列出方程，整理为一元二次方程，求解后舍去不合题意的解，得到，进而求出m，m。
(4) 考察二次函数与直线距离的计算，核心是找到与光线NP平行且与抛物线相切的直线。设该直线解析式为，联立抛物线解析式，整理为。由直线与抛物线相切，可知判别式，即，求出，得到直线解析式。再通过作垂线构造等腰直角三角形，计算两平行线间的距离，即为光线与抛物线的距离。
20．（2025九下·罗湖期中）（1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．直接写出与的数量关系____________．
（2）如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，求的大小．
（3）如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，当时，求出周长的最小值．
【答案】（1）；
（2）在上取，连接，如图，
由（1）同理可得，
，
∵是等腰直角三角形
∴，
，
，
，，
，而，
，
，
，
；
（3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，，如图，
由（2）知，，
，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
∴最小值为的长，
∵，
，，
由勾股定理得，
周长的最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）
理由如下：取的中点，连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
、分别为正方形的边、的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【分析】(1) 考察正方形的性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是构造全等三角形。取的中点F，连接，由正方形性质得出，。再由推出，根据“ASA”判定，得出。
(2) 考察正方形、全等三角形及等腰直角三角形的性质，在上取，连接。同理可证，得出。由、，推出，是等腰直角三角形，，因此，结合，求出。
(3) 考察轴对称-最短路径问题及勾股定理，核心是利用对称转化线段。作交延长线于G，由得出是等腰直角三角形，即点D与G关于对称，因此，其最小值为的长度。在中，，，由勾股定理求出，再结合，得出周长的最小值为。
1 / 1广东省深圳市罗湖区滨河实验中学2024-2025学年下学期中考数学模拟试卷
一、选择题（本部分共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）
1．（2025九下·罗湖期中）如图所示的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·罗湖期中）方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1
C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝0
3．（2025九下·罗湖期中）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·罗湖期中）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　）
累计抽测的学生数
近视学生数与的比值
A． B． C． D．
5．（2025九下·罗湖期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC=4：5，AE交BD于F ，则BF：FD等于（　　）
A．4：5 B．3：5 C．4：9 D．3：8
6．（2025九下·罗湖期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·罗湖期中）若函数y1＝（x＞0）与函数y2＝﹣2x＋8的图象如图所示，则不等式的解集是（　　）
A．1≤x≤3 B．2≤x≤6 C．x≤1 D．x≥3
8．（2025九下·罗湖期中）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）．
9．（2025九下·罗湖期中）已知，．则　 　，　 　．
10．（2025九下·罗湖期中）一元二次方程的一个解为，则　 　．
11．（2025九下·罗湖期中）如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接，如果量出的长为25米，那么池塘宽为　 　米．
12．（2025九下·罗湖期中）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且， 反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接，，．若的面积为2，则k的值为　 　．
13．（2025九下·罗湖期中）如图，在矩形中，，平分交于点，连接，将矩形沿翻折，翻折后点与点点对应，再将所得绕着点旋转，线段与线段交于点．当时，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共7题．其中16题8分，17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，共61分）．
14．（2025九下·罗湖期中）计算：
（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
15．（2025九下·罗湖期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请你以原点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标．
16．（2025九下·罗湖期中）川北木偶、川北剪纸、高坪竹编是南充尤为出名的三项传统文化．学校九年级甲、乙两班各有5名同学特别熟悉这三项传统文化中的一项，具体如下表．
项目 川北木偶 川北剪纸 高坪竹编
甲班 2 2 1
乙班 1 2 2
（1）若从甲班5名同学中随机抽取一名，求抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率．
（2）若从两班各5名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
17．（2025九下·罗湖期中）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变．实验发现，当每次漂洗用水量（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量（克）与漂洗次数（次）满足（为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成次（）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
18．（2025九下·罗湖期中）如图，O为线段上一点，以点O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
19．（2025九下·罗湖期中）完成项目化学习：《观景拱桥的设计》．
《观景拱桥的设计》
驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画观景拱桥的横截面？ 2、如何铺设台阶地毯，保证观景拱桥的实惠性？ 3、如何安装脚手架，保证脚手架的安全性？ 4、如何设计射灯位置，保障观景拱桥的采光性？
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点（长度单位：m），直接写出抛物线的解析式：
任务2 利用模型 （2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元，求购买地毯需多少元？
任务3 利用模型 （3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离.
任务4
分析计算
（4）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
20．（2025九下·罗湖期中）（1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．直接写出与的数量关系____________．
（2）如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，求的大小．
（3）如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，当时，求出周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】主视图就是从正面看到的图形，能看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线，只有选项A的图形符合题意，
故答案为：A．
【分析】考查三视图中主视图的识别与判断，核心是掌握主视图的定义——从物体正面观察所得到的视图，同时要明确视图绘制的基本规则：可见的轮廓线用实线表示，不可见的轮廓线用虚线表示。结合该几何体的结构特征，从正面观察时，其轮廓形状需符合实线、虚线的区分要求，进而筛选出符合条件的选项。
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
则x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
故答案为：C．
【分析】考查一元二次方程的求解方法，重点是因式分解法的灵活运用。观察方程结构可知，等式两边均含有因式，因此首先通过移项将所有项移到等式左边，得到，再提取公因式进行因式分解，转化为。根据“若两个因式的积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别令两个因式等于0，即可求出方程的两个根。
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D．
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC=9.6(cm)．
故选：C．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于，
故选：D ．
【分析】
大量重复试验的频率逐渐趋向于概率．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．
∵BE：EC=4：5，∴BE：BC=4：9，∴BE：AD=4：9．
∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴BF：FD=BE：AD=4：9．
故选C．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，进而根据相似三角形的判定与性质证明△BEF∽△DAF即可得到BF：FD=BE：AD=4：9．
6．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每件商品售价为元，则每天可销售件，
依题意，得：，
即．
故答案为：D．
【分析】考查一元二次方程在销售利润问题中的应用，核心是建立“日盈利=每件利润×日销售量”的数学模型。设每件商品售价为x元，则每件商品的利润为元；根据“每降价0.5元多售1件”，可知售价从150元降到x元时，降价金额为元，多销售的件数为，因此日销售量为，化简后为。结合日盈利为2100元，即可列出方程。
7．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： 由题意得不等式的解集即为函数y1＝（x＞0）的图像在函数y2＝﹣2x＋8的图象的下方或者交点处的x的取值，
∵函数y1＝（x＞0）与函数y2＝﹣2x＋8的图象的交点为（1，6）、（3，2），
∴不等式的解集为，
故答案为A．
【分析】考查反比例函数与一次函数图象的综合应用，核心是理解不等式的几何意义。不等式表示的是反比例函数的图象在一次函数的图象下方（或两图象交点处）对应的x取值范围。因此首先需求出两函数的交点坐标，联立，解得交点为(1，6)和(3，2)，结合的条件，即可确定解集为。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；直角三角形斜边上的中线；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：设，
则，
∵点M在x轴上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）
∴．
∵P点在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据直线上点的坐标特点设，由两点间的距离公式用含x的式子表示出OP的长，根据反比例函数的对称性及直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，利用同底等高三角形面积相等得出，进而根据三角形的面积计算公式建立关于x的方程，求出点P坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特点即可得到k值．
9．【答案】；19
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
故答案为：；19．
【分析】考查代数式的化简求值及完全平方公式的灵活应用。对于，首先进行通分运算，转化为，无需单独求解a、b的值，直接将、整体代入，即可求出结果；对于，利用完全平方公式的变形形式，同样代入已知条件，通过计算得出结果。
10．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程的一个解为，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】考查一元二次方程的解的定义，即能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此将代入方程中，得到关于a的一元一次方程，解这个一元一次方程，即可求出a的值。
11．【答案】50
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解∶∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵米，
∴米．
故答案为∶50．
【分析】考查相似三角形的判定与性质在实际测量中的应用。首先根据题意得出，且与是对顶角，因此。根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定。再由相似三角形“对应边成比例”的性质，得出，代入米，即可求出米。
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设点，
∵矩形的对称中心为M，
∴延长则经过点B，，
∵，
∴，
∴，
过点M作于点N，
∴，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，设点，根据对称性质可得延长则经过点B，，，过点M作于点N，根据三角形面积可得，再根据反比例函数k的几何意义可得，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，假设当旋转到如下位置时，，过DF⊥交于F．
∵四边形ABCD为矩形，DC=AB=4，
∴∠BAD=∠B=∠C=90°，
∵平分，
∴∠BAE=45°，∠AEB=90°-∠BAE=45°，
∴BE=AB=4，EC=BC-BE=3，
在Rt△DCE中，根据勾股定理
，
根据翻折和旋转的性质可得，
设，
∴，
在中根据勾股定理，
，即，解得，
即，
在和中，
∵，
∴∽，
∴ ，即，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】考查矩形的性质、反比例函数k的几何意义及割补法求三角形面积。首先设矩形顶点，由矩形对称中心的性质可知，对称中心M的坐标为；结合，可得点D的坐标为。因为反比例函数经过点D，所以，即。利用割补法，的面积等于矩形的面积减去、的面积，即，代入，解方程即可求出k的值。
14．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
，
将代入得：原式．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；分式的化简求值；分母有理化；多项式除以单项式
【解析】【分析】(1) 考察整式的混合运算，涉及多项式乘以多项式、多项式除以单项式的运算法则。首先计算多项式乘以多项式：；再计算多项式除以单项式：；最后将两部分结果相加，合并同类项得到化简结果。
(2) 考察分式的化简求值及二次根式的分母有理化。首先对括号内的式子进行通分运算，将转化为，再与相减，得到；接着将除法转化为乘法，乘以，约分后化简为；最后将代入，进行分母有理化计算出最终值。
（1）解：原式
．
（2）解：原式
，
将代入得：原式．
15．【答案】解：如图，即为所求，点A、B的对应点、的坐标分别为，．
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】考查位似图形的性质及平面直角坐标系中点的坐标变换规律。位似图形的对应点的坐标比等于相似比，且位似中心为原点，第三象限内的点横、纵坐标均为负数。因此，将各顶点的横、纵坐标分别乘以-2（相似比为2，第三象限符号为负），即可得到对应点、、的坐标：，，，顺次连接各点即可得到所求位似图形。
16．【答案】（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为.
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲 乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有2种，从而接利用概率公式计算概率即可；
（2）根据题意，用表格列举出所有等可能的情况数， 由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种， 然后利用概率公式计算概率即可．
（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲 乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
17．【答案】（1）解：把，，代入
得，
解得：．
（2）解：把，代入，
∵反比例函数在的范围内随的增大而减少，
∴当时，漂洗的次数，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）解：由（1）得，
∴，即．
由题意得，即，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，（舍去），
∴当时，每次漂洗用水（升），
所以，每次漂洗用水5升．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将，，代入解析式即可求出答案.
（2）将v=5代入解析式，结合反比例函数的性质即可求出答案.
（3）根据题意可得，再将代入，解方程即可求出答案.
（1）把，，代入
得，
解得．
（2）把，代入，
∵反比例函数在的范围内随的增大而减少，
∴当时，漂洗的次数，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）由（1）得，
∴，即．
由题意得，即，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，（舍去），
∴当时，每次漂洗用水（升），
所以，每次漂洗用水5升．
18．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
∵为的半径，
是的切线．
（2）解：设，，
，，，
，，
，
，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，根据三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，则，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设，，则，，，根据勾股定理可得PC，再根据相似三角形性质即可求出答案.
（1）证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
∵为的半径，
是的切线．
（2）解：设，，
，，，
，，
，
，
．
19．【答案】（1）；
（2）由（1）知，，
令，即，解得；
∴地毯的总长度为：，
∴，
答：购买地毯需要900元．
（3）设点G的坐标为，
根据题意得，，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴，
∴，．
（4）作直线的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H，作，垂足为G，如图所示，
∵，
设直线l的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
整理得
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∵射灯射出的光线与地面成角，
∴，
∵，
，
∴，
∴光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，由题意得：
，解得，
所以抛物线的解析式为，
故答案为：；
【分析】(1) 考察二次函数解析式的求解，已知抛物线顶点为，因此设顶点式。将点代入解析式，得到，解出，即可得到抛物线解析式。
(2) 考察二次函数在实际生活中的应用，首先求出抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令，解得，因此m。地毯的总长度为m（OC为顶点到地面的高度），结合地毯宽度1.5m和单价20元/，计算总费用为元。
(3) 考察二次函数与矩形周长的结合，设点，由矩形性质可知、，且。根据三边钢材长度为18.4m，列出方程，整理为一元二次方程，求解后舍去不合题意的解，得到，进而求出m，m。
(4) 考察二次函数与直线距离的计算，核心是找到与光线NP平行且与抛物线相切的直线。设该直线解析式为，联立抛物线解析式，整理为。由直线与抛物线相切，可知判别式，即，求出，得到直线解析式。再通过作垂线构造等腰直角三角形，计算两平行线间的距离，即为光线与抛物线的距离。
20．【答案】（1）；
（2）在上取，连接，如图，
由（1）同理可得，
，
∵是等腰直角三角形
∴，
，
，
，，
，而，
，
，
，
；
（3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，，如图，
由（2）知，，
，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
∴最小值为的长，
∵，
，，
由勾股定理得，
周长的最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）
理由如下：取的中点，连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
、分别为正方形的边、的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【分析】(1) 考察正方形的性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是构造全等三角形。取的中点F，连接，由正方形性质得出，。再由推出，根据“ASA”判定，得出。
(2) 考察正方形、全等三角形及等腰直角三角形的性质，在上取，连接。同理可证，得出。由、，推出，是等腰直角三角形，，因此，结合，求出。
(3) 考察轴对称-最短路径问题及勾股定理，核心是利用对称转化线段。作交延长线于G，由得出是等腰直角三角形，即点D与G关于对称，因此，其最小值为的长度。在中，，，由勾股定理求出，再结合，得出周长的最小值为。
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