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广东省梅州市兴宁 实验学校、兴宁市宁江中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，请将答案写在答题卡上）
1．（2025八下·梅州期中）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·梅州期中）已知a＞b，下列不等式中正确的是（　　）
A．a+3＜b+3 B． C．﹣a＞﹣b D．a﹣1＜b﹣1
3．（2025八下·梅州期中）下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·梅州期中）老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2025八下·梅州期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点
6．（2025八下·梅州期中）平面直角坐标系中，点平移后对应的点为，则点平移距离为（　　）．
A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度
7．（2025八下·梅州期中）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）
A．＜-1 B．≤2 C．-1＜≤2 D．≤-1
8．（2025八下·梅州期中）在平面直角坐标系中，直线的位置如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八下·梅州期中）如图所示， △ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP=3，那么PP'的长等于（　　）
A． B． C．3 D．4
10．（2025八下·梅州期中）如图，平分，于E点，，则的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．不能确定
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（2025八下·梅州期中）等腰三角形的两边长为3和7，则第三边长为　 　．
12．（2025八下·梅州期中）点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为　 　
13．（2025八下·梅州期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则　 　．
14．（2025八下·梅州期中）已知关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是　 　．
15．（2025八下·梅州期中）如图，，平分交于点D，E是的垂直平分线与的交点，连接，则的周长为　 　．
16．（2025八下·梅州期中）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是　 　cm2
17．（2025八下·梅州期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确的有：　 　．
①是等边三角形；②是直角三角形；③；④．
三、解答题（一）（本题共3个小题，每题6分，共18分）
18．（2025八下·梅州期中）分解因式：
（1）；
（2）．
19．（2025八下·梅州期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．（2025八下·梅州期中）已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
21．（2025八下·梅州期中）直线和直线分别交y轴于A、B两点，两直线交于点．
（1）求m，k的值；
（2）求的面积；
（3）根据图像直接写出当时x的取值范围．
22．（2025八下·梅州期中）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过预选赛？
23．（2025八下·梅州期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'的顶点都在格点上．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1；
（2）若△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心的坐标是　 　．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分.
24．（2025八下·梅州期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 2台 900元
第二周 5台 3台 1450元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
25．（2025八下·梅州期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图2，连接，过点O作交直线于点F，求证：；
（3）若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形而不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.依据不等式的性质1可知a+3>b+3，故A不符合题意；
B.依据不等式的性质2可知 ，故B符合题意；
C.依据不等式的性质3可知 a< b，故C不符合题意；
D.依据不等式的性质1可知a 1>b 1，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据不等式的3个基本性质进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、，是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：因为用不等号连接的式子叫做不等式，其中常用不等号有：>，<，≥，≤，≠，所以属于不等式的是：①②③⑥.
故答案为：C.
【分析】用不等号连接的式子叫做不等式，据此逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点．
故选：B．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理可求得PQ=5，所以点P平移距离为5个单位长度，
故选C.
【分析】根据点的平移即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：∵是空心原点，且线向左，
∴x<-1，
故选A．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得，
当时，对应的函数值大于1，
∴不等式的解集是，
故选：C．
【分析】根据函数图象即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，易得△ACP'≌△ABP，∠BAP=∠CAP'，AP=AP'，
∵∠BAP+∠PAC=90°，
∴∠PP'C+∠PAC=90°，
∴△APP'是等腰直角三角形，
由勾股定理得PP'===.
故答案为：A.
【分析】先利用旋转的性质可得△ACP'≌△ABP，∠BAP=∠CAP'，AP=AP'，再利用角的运算和等量代换可得∠PP'C+∠PAC=90°，最后利用勾股定理求出PP'的长即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点D作于点F，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积求出，从而可得.
11．【答案】7
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵
所以不能构成三角形，故舍去，
故答案为：7．
【分析】根据等腰三角形的性质两边相等，分类两种情况，3为腰或者7为腰的时候，在根据三角形任意两边之和大于第三边来判断是否都能构成三角形.
12．【答案】（8，1）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为，
即：（8，1）.
故答案为：（8，1）.
【分析】将点M（a，b）先向右平移m个单位，再向下平移n个单位后的坐标为（a+m，b-n），据此解答.
13．【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解方程得：，
∵关于x的方程的解是负数，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】先求出方程的解，再利用“方程的解是负数”可得，最后求出k的取值范围即可.
15．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵点为的垂直平分线与的交点，
∴，
∴的周长为，
故答案为：14．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△CDE的周长即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，
∴AC=AB=7cm，
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是()
故答案为：
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AC，根据等腰直角三角形性质可得CF，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形， 故①正确；
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形， 故②正确；
∵是等边三角形，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
∴，所以④错误．
故答案为：①②③．
【分析】先利用全等的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，证出是等边三角形，判断出①是否正确；再利用勾股定理的逆定理证出，可得是直角三角形，判断出②是否正确；再利用角的运算求出，判断出③是否正确；再求出，判断出④是否正确，从而得解.
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．

【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）提公因式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
19．【答案】解：解不等式，得：，
解不等式得：x＜4，
则不等式组的解集为．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可．
20．【答案】证明：∵D是中点，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据线段中点可得AD=BD，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰三角形0判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：把代入中得：，
∴，
把代入中得：，
∴；
（2）解：当时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当直线的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围为，∴当时x的取值范围，
故答案为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出与x轴交点A、B的坐标，再根据解题即可；
（3）借助图象得到直线上方时的自变量的取值范围解题即可．
（1）解：把代入中得：，
∴，
把代入中得：，
∴；
（2）解：当时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当直线的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围为，
∴当时x的取值范围，
故答案为：．
22．【答案】解：设答对道题可以通过预选赛．
由题可知：，
解得：，
答：至少答对12道题才能通过预选赛．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设答对道题可以通过预选赛，利用“ 总得分不少于80分 ”列出不等式求解即可.
23．【答案】解：（1）三角形的旋转可以分开看作每条边的旋转，分别找到对应的点，连接即可，故△A1BC1如图所示；
（2）（3，4）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）连接并作其垂直平分线，连接并作其垂直平分线，交点即为旋转中心．如图所示，旋转中心为（3，4），
故答案为（3，4）．
故答案为：（3，4）.
【分析】（1）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转图形的定义及特征分析求解即可.
24．【答案】（1）解：设、两种型号的电风扇分别为元和元，
根据题意得：，
解得：，
答：求、两种型号的电风扇的销售单价分别为200元台和150元台.
（2）解：设型号电风扇有台，则型台，
由题意得：，
解得：，
答：种型号的电风扇最多能采购37台．
（3）解：能．
设超市销售利润为，设型号电风扇有台，则型台，
则，
当超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元时，
，
解得，
由（2），
为整数，
，37，
则有2种采购方案分别为型36台、型14台或型37台、型13台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设、两种型号的电风扇分别为元和元，利用“第一周和第二周的收入”列出方程组求解即可；
（2）设型号电风扇有台，则型台，利用“ 超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台 ”列出不等式求解即可；
（3）设超市销售利润为，设型号电风扇有台，则型台，利用“利润=单价×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设、两种型号的电风扇分别为元和元，根据题意得：
，
解得：，
答：求、两种型号的电风扇的销售单价分别为200元台和150元台.
（2）解：设型号电风扇有台，则型台，
由题意得：
，
解得：，
答：种型号的电风扇最多能采购37台．
（3）解：能．
设超市销售利润为，设型号电风扇有台，则型台，
则，
当超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元时，
，
解得，
由（2），
为整数，
，37，
则有2种采购方案分别为型36台、型14台或型37台、型13台．
25．【答案】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，
当时，，当，则，
∴，
∴，
∵将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为.
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∵，将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴.
（3）点P的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
如图，当，此时轴，，
∴，
此时点P的坐标为；
如图，当，此时，，
∵将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
当点Q在点D的右侧时，，
∴点Q的坐标为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得， 解得：，
∴点P的坐标为；
当点Q在点D的右侧时，，
同理可得直线为，
∴，
∴同理可得：点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【分析】（1）先求出点C、D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式即可；
（2）先求出，再证出，利用全等三角形的性质可得，再证出是等腰直角三角形，最后可得；
（3）分类讨论：①当，②当，第一种：当点Q在点D的右侧时，第二种：当点Q在点D的右侧时，先画出图形，再利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点P的坐标即可.
（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，
当时，，当，则，
∴，
∴，
∵将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∵，将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：∵，
∴，
如图，当，此时轴，，
∴，
此时点P的坐标为；
如图，当，此时，，
∵将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
当点Q在点D的右侧时，，
∴点Q的坐标为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得， 解得：，
∴点P的坐标为；
当点Q在点D的右侧时，，
同理可得直线为，
∴，
∴同理可得：点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
1 / 1广东省梅州市兴宁 实验学校、兴宁市宁江中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，请将答案写在答题卡上）
1．（2025八下·梅州期中）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形而不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2025八下·梅州期中）已知a＞b，下列不等式中正确的是（　　）
A．a+3＜b+3 B． C．﹣a＞﹣b D．a﹣1＜b﹣1
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.依据不等式的性质1可知a+3>b+3，故A不符合题意；
B.依据不等式的性质2可知 ，故B符合题意；
C.依据不等式的性质3可知 a< b，故C不符合题意；
D.依据不等式的性质1可知a 1>b 1，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据不等式的3个基本性质进行判断即可．
3．（2025八下·梅州期中）下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、，是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八下·梅州期中）老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：因为用不等号连接的式子叫做不等式，其中常用不等号有：>，<，≥，≤，≠，所以属于不等式的是：①②③⑥.
故答案为：C.
【分析】用不等号连接的式子叫做不等式，据此逐一判断即可.
5．（2025八下·梅州期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点．
故选：B．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
6．（2025八下·梅州期中）平面直角坐标系中，点平移后对应的点为，则点平移距离为（　　）．
A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度
【答案】C
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理可求得PQ=5，所以点P平移距离为5个单位长度，
故选C.
【分析】根据点的平移即可求出答案.
7．（2025八下·梅州期中）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）
A．＜-1 B．≤2 C．-1＜≤2 D．≤-1
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：∵是空心原点，且线向左，
∴x<-1，
故选A．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可求出答案.
8．（2025八下·梅州期中）在平面直角坐标系中，直线的位置如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得，
当时，对应的函数值大于1，
∴不等式的解集是，
故选：C．
【分析】根据函数图象即可求出答案.
9．（2025八下·梅州期中）如图所示， △ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP=3，那么PP'的长等于（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，易得△ACP'≌△ABP，∠BAP=∠CAP'，AP=AP'，
∵∠BAP+∠PAC=90°，
∴∠PP'C+∠PAC=90°，
∴△APP'是等腰直角三角形，
由勾股定理得PP'===.
故答案为：A.
【分析】先利用旋转的性质可得△ACP'≌△ABP，∠BAP=∠CAP'，AP=AP'，再利用角的运算和等量代换可得∠PP'C+∠PAC=90°，最后利用勾股定理求出PP'的长即可.
10．（2025八下·梅州期中）如图，平分，于E点，，则的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点D作于点F，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积求出，从而可得.
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（2025八下·梅州期中）等腰三角形的两边长为3和7，则第三边长为　 　．
【答案】7
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵
所以不能构成三角形，故舍去，
故答案为：7．
【分析】根据等腰三角形的性质两边相等，分类两种情况，3为腰或者7为腰的时候，在根据三角形任意两边之和大于第三边来判断是否都能构成三角形.
12．（2025八下·梅州期中）点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为　 　
【答案】（8，1）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为，
即：（8，1）.
故答案为：（8，1）.
【分析】将点M（a，b）先向右平移m个单位，再向下平移n个单位后的坐标为（a+m，b-n），据此解答.
13．（2025八下·梅州期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则　 　．
【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
14．（2025八下·梅州期中）已知关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解方程得：，
∵关于x的方程的解是负数，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】先求出方程的解，再利用“方程的解是负数”可得，最后求出k的取值范围即可.
15．（2025八下·梅州期中）如图，，平分交于点D，E是的垂直平分线与的交点，连接，则的周长为　 　．
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵点为的垂直平分线与的交点，
∴，
∴的周长为，
故答案为：14．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△CDE的周长即可.
16．（2025八下·梅州期中）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是　 　cm2
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，
∴AC=AB=7cm，
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是()
故答案为：
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AC，根据等腰直角三角形性质可得CF，再根据三角形面积即可求出答案.
17．（2025八下·梅州期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确的有：　 　．
①是等边三角形；②是直角三角形；③；④．
【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形， 故①正确；
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形， 故②正确；
∵是等边三角形，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
∴，所以④错误．
故答案为：①②③．
【分析】先利用全等的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，证出是等边三角形，判断出①是否正确；再利用勾股定理的逆定理证出，可得是直角三角形，判断出②是否正确；再利用角的运算求出，判断出③是否正确；再求出，判断出④是否正确，从而得解.
三、解答题（一）（本题共3个小题，每题6分，共18分）
18．（2025八下·梅州期中）分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．

【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）提公因式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
19．（2025八下·梅州期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式，得：，
解不等式得：x＜4，
则不等式组的解集为．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可．
20．（2025八下·梅州期中）已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形．
【答案】证明：∵D是中点，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据线段中点可得AD=BD，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等腰三角形0判定定理即可求出答案.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
21．（2025八下·梅州期中）直线和直线分别交y轴于A、B两点，两直线交于点．
（1）求m，k的值；
（2）求的面积；
（3）根据图像直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1）解：把代入中得：，
∴，
把代入中得：，
∴；
（2）解：当时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当直线的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围为，∴当时x的取值范围，
故答案为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出与x轴交点A、B的坐标，再根据解题即可；
（3）借助图象得到直线上方时的自变量的取值范围解题即可．
（1）解：把代入中得：，
∴，
把代入中得：，
∴；
（2）解：当时，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可知，当直线的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围为，
∴当时x的取值范围，
故答案为：．
22．（2025八下·梅州期中）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过预选赛？
【答案】解：设答对道题可以通过预选赛．
由题可知：，
解得：，
答：至少答对12道题才能通过预选赛．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设答对道题可以通过预选赛，利用“ 总得分不少于80分 ”列出不等式求解即可.
23．（2025八下·梅州期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'的顶点都在格点上．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1；
（2）若△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心的坐标是　 　．
【答案】解：（1）三角形的旋转可以分开看作每条边的旋转，分别找到对应的点，连接即可，故△A1BC1如图所示；
（2）（3，4）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）连接并作其垂直平分线，连接并作其垂直平分线，交点即为旋转中心．如图所示，旋转中心为（3，4），
故答案为（3，4）．
故答案为：（3，4）.
【分析】（1）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转图形的定义及特征分析求解即可.
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分.
24．（2025八下·梅州期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 2台 900元
第二周 5台 3台 1450元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设、两种型号的电风扇分别为元和元，
根据题意得：，
解得：，
答：求、两种型号的电风扇的销售单价分别为200元台和150元台.
（2）解：设型号电风扇有台，则型台，
由题意得：，
解得：，
答：种型号的电风扇最多能采购37台．
（3）解：能．
设超市销售利润为，设型号电风扇有台，则型台，
则，
当超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元时，
，
解得，
由（2），
为整数，
，37，
则有2种采购方案分别为型36台、型14台或型37台、型13台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设、两种型号的电风扇分别为元和元，利用“第一周和第二周的收入”列出方程组求解即可；
（2）设型号电风扇有台，则型台，利用“ 超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台 ”列出不等式求解即可；
（3）设超市销售利润为，设型号电风扇有台，则型台，利用“利润=单价×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设、两种型号的电风扇分别为元和元，根据题意得：
，
解得：，
答：求、两种型号的电风扇的销售单价分别为200元台和150元台.
（2）解：设型号电风扇有台，则型台，
由题意得：
，
解得：，
答：种型号的电风扇最多能采购37台．
（3）解：能．
设超市销售利润为，设型号电风扇有台，则型台，
则，
当超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元时，
，
解得，
由（2），
为整数，
，37，
则有2种采购方案分别为型36台、型14台或型37台、型13台．
25．（2025八下·梅州期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图2，连接，过点O作交直线于点F，求证：；
（3）若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，
当时，，当，则，
∴，
∴，
∵将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为.
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∵，将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴.
（3）点P的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
如图，当，此时轴，，
∴，
此时点P的坐标为；
如图，当，此时，，
∵将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
当点Q在点D的右侧时，，
∴点Q的坐标为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得， 解得：，
∴点P的坐标为；
当点Q在点D的右侧时，，
同理可得直线为，
∴，
∴同理可得：点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【分析】（1）先求出点C、D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式即可；
（2）先求出，再证出，利用全等三角形的性质可得，再证出是等腰直角三角形，最后可得；
（3）分类讨论：①当，②当，第一种：当点Q在点D的右侧时，第二种：当点Q在点D的右侧时，先画出图形，再利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点P的坐标即可.
（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，
当时，，当，则，
∴，
∴，
∵将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∵，将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：∵，
∴，
如图，当，此时轴，，
∴，
此时点P的坐标为；
如图，当，此时，，
∵将绕坐标原点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
当点Q在点D的右侧时，，
∴点Q的坐标为，
把代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得， 解得：，
∴点P的坐标为；
当点Q在点D的右侧时，，
同理可得直线为，
∴，
∴同理可得：点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
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