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2025年8月第十四届海峡两岸青少年文化交流活动（全国总决赛）八年级数学二试试题
1．（2025·文化月考）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为。例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为。请解答下列问题：
（1）若无理数（a为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值；
（2）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“整数区间”。
【答案】（1）解：无理数 的“整数区间”为 ，
，
，即 ，
的“整数区间”为 ，
，
，即 ，
，
，
为正整数，
或 ，
当 时，；
当 时，。
的值为 2 或 。
（2）解：∵，
∴、，
∴，
∴，
∴、，
两式相减，得，即，
∴的算术平方根为，
∵，
∴，
∴M的算术平方根的“整数区间”是(45，46)。
【知识点】无理数的估值；算术平方根的概念与表示
【解析】【分析】(1)先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可；
(2)由题意可得x+y-2026≥0、2026-x-y≥0，得出x+y=2026，进而得出2x+3y-m=0、3x+4y-2m=0，两式相减可得m=x+y=2026，再根据“整数区间”的定义求解即可.
2．（2025·文化月考）如图，在中，点D是BC边上一点，，连接AD，点E是AD上一点，，连接CE，点F是CE上一点，连接BF交AD于点G，若，，求四边形FGDC的面积。
【答案】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如图，连接BE，DF，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
，
解得：，
∴四边形FGDC的面积是：。
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题；等分面积模型
【解析】【分析】先依次求解，，，，，设，则，可得，，结合，可得，再建立方程求解即可.
3．（2025·文化月考）如图1，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点C(-1，3）是直线AB上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接OC、OD。
（1）若直线CD上存在点G，它到直线OD的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标；
（2）将沿射线BA方向平移一定的距离后，得到，点Q是反比例函数上一点，连接QC'，QO'，若四边形C'D'O'Q是平行四边形，求点Q的坐标。
【答案】（1）解：把C(-1，3)代入，得：，解得，
，
当x=2时，y=2+4=6，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，
，
把点A的坐标代入反比例函数解析式中，得，
，
；
轴，与y轴交于点E，C(-1，3)，
，，
当 时，，
，
，
点G在直线CD上，
设G(n，3)，则：DG=|n-4|，GH=GE=|n|，
作 于点H，则：，
，解得：或，
或 ；
（2）解：，设直线 交 y 轴与点 F，
∴当y=x+4=0时，x=-4，当x=0时，y=4，
∴B(-4，0)，F(0，4)，
∴OB=OF=4，
∴△BOF为等腰直角三角形，
∵将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O’C’D’，
∴设△OCD向右平移t个单位，再向上平移t个单位得到△O'C'D'，
∵C(-1，3)， D(4，3)， 0(0，0)，
∴O'(t，t)，C'(-1+t，3+t)，D'(4+t，3+t)，
∵四边形C'D'O'Q是平行四边形，
∴O'Q//C'D'，O'Q=C'D’，
∵点C'是点D'向左平移5个单位得到的，
∴点Q向左平移5个单位，得到点Q，
∴Q(-5，t)，
∴点Q在反比例函数的图象上，
∴(t-5)·t=12，
解得：或（不合题意，舍去）；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移；等积变换
【解析】【分析】(1)待定系数法求出直线的解析式，进而求出A点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；先求出D，E的坐标，进而求出OD，OE的长，设G(n，3)，作GH⊥OD于点H，连接OH，进而得到GH=|n|，DG=|4-n|，根据等积法，列出方程进行求解即可；
(2)先确定平移规则，设△OCD向右平移t个单位，再向上平移t个单位得到△O'C'D'，求出O'(t，t)，C'(-1+t，3+t)，D'(4+t，3+t)，根据平行四边形的性质和平移思想，求出Q点坐标，再代入到反比例函数解析式，进行求解即可.
4．（2025·文化月考）如图1，已知直线/：y=k+b(K≠0）交x，y轴于点A(-2，0），B(0，4）两点，正比例函数y=x的图象与直线AB交于点C。
（1）y轴负半轴上有一动点E，连接EC。点F是x轴上有一动点，当SBCE=12时，求FC+FE的最小值：
（2）如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线y=×交于点M，点P在X轴上。当∠MGO=∠MPO时，请直接写出点P的坐标。
【答案】（1）解：将点 A(-2，0)，B(0，4) 带入 中得
，则
∴直线 AB 的解析式为：
∵ 点 C 是正比例函数 和直线 AB 的交点，
∴，解得：
∵，
∵
设
∴，
过点 C 作 CD 垂直 y 轴交于点 D
解得：或（舍去），
当 时，则 E(0，-2)，作点 E 关于 x 轴的对称点 E'(0，2)，
，
连接 CE'，则与 x 轴交点 G 是使得 的值最小；
在 中，根据勾股定理可得
的值最小是 ；
综上所述： 的最小值是：；
（2）解：∵直线I：y=2x+4向下平移7个单位长度后，则直线MG的解析式为：y=2x-3
∴G(0， -3)
当∠MGO=∠MPO时，
①如图；在x轴上取点P，连接PM
与MG关于直线对称，
，，
②如图，过点 M 的垂直于 x 轴的直线 ME，点 P 关于直线 ME 的对称点 P'，连接 P'M
∵ 直线 与 交于点 M
∴，解得
∵点P是关于直线ME为对称轴的点P(-3，0)的对称点
∴P'(9，0)
综上所述：P的坐标为(-3，0)或(9，0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象的平移变换；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)根据A(-2，0)，B(0，4)，带入y=kx+b(k≠0)可得解析式；点C是正比例函数y=x和直线AB的交点，联立方程组可得点C的坐标；设E(0，a)，可得BE=|4-a|，由面积可得a=-2或a=10，然后再求解论即可；
(2)由平移得直线MG的解析式为：y=2x-3，可得G(0，-3)，接着分类讨论即可，①然后可知PM与MG关于直线y=x对称，②点P关于直线ME的对称点P'.
5．（2025·文化月考）如图，正方形ABCD的边长为2，直线l分别交AD，BC于点M，N。A，B关于直线l的对称点为A'，B'，且点A'恰好在CD上，连接A'B'，交BC于点E，连接AA'，交MN于点P。
（1）连接AE，求证；
（2）已知的面积为，求A'E的长。
【答案】（1）证明：如图所示，过点A作于点K，
，，
折叠，
，
在正方形ABCD中，，
，
，
在， 中，
，
，，
，，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2）解：根据上述证明得到 ，
∴A'D+BE=A'E，
设，，则，，
，
∵ 的面积为 ，
∴， 则 ，
在中，，
∴，整理得，，
设，
∴，整理得，，
解得，，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)如图所示，过点A作AK⊥A'E于点K，可证Rt△ADA'≌Rt△AKA'(AAS)，得AK=AB，，再证Rt△ABE≌Rt△AKE(HL)，得，由∠BAD=∠BAK+∠DAK=90°，即可求解；
(2)根据题意得到A'D+BE=A'E，设A'C=x，CE=y，则A'D=CD-A'C=2-x，BE=BC-CE=2-y，A'E=2-x+2-y=4-(x+y)，由勾股定理即可求解.
6．（2025·文化月考）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O作MN⊥AC，分别交AD，BC于M，N。
（1）如图2，作∠CAD的平分线分别交CD，OM，于E，F，点P在ON上连接PE交AC于点G，若PF=CE，求证：∠AEP=2∠CAE：
（2）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥PE，垂足为H，若EH=5，PG=8，求EF的长。
【答案】（1）证明：过点F作FH⊥AD于点H，延长FH，使FO=PF，连接AP、CP、CF/EO，AQ，CF交PE于点J，如图所示：
则∠AHQ= ∠AHF =90°，
∴∠AHF =∠ADC，
∴FQ//CE，
∵PF=CE， FQ=PF，
∴FQ=CE，
∴四边形CFQE为平行四边形，
∴EQ=CF，
∵AE平分∠CAD，FO⊥AO，FH⊥AD，
∴FO=FH， ∠OAF=∠HAF，
∵AF =AF，
∴Rt△AFH≌Rt△AFO(HL)，
∴AH=AO，
∵FQ-FH=PF-FO，
∴OP=HQ，
∵∠AHQ=∠AOP=90°，
∴△HOB≌△AOP(SAS)，
∴∠HAQ=∠PAO，
∵∠OAF =∠HAF，
∴∠FAO+∠PAO= ∠FAH+∠HAQ，
即∠PAF=∠QAF，
∵AP=AQ， AE=AE，
∴△EQE≌△AEP(SAS)，
∴EQ=EP，
∴CF =PE，
∵PF=CE， PC=PC，
∴△PEC≌△CFP(SSS)，
，
，
即JE=JF，
∴∠JFE=∠JEF，
∵∠PJC=∠EJF，
∴∠PCJ=∠CPJ=∠JEF=∠JFE，
∴PC//EF，
∴∠OAF= ∠OCP，∠AFO=∠CPO，
∵MN 垂直平分 AC，
∴AO=CO，AP=CP，
∴△AOF≌△COP(AAS)，
∴AF=CP，
∴四边形APCF为平行四边形，
∵AP=CP，
∴四边形APCF为菱形，
∴∠PAC= ∠FAC， AP=CP=CF = AF，
∴∠PAO= ∠FAO=∠FAH=∠QAH， AP=PE=CF，
∴∠AEP= ∠PAE，
∵∠PAE= ∠PAO+∠FAO=2∠CAE，
∴∠AEP =2∠CAE：
（2）解：连接FG，过点F作FI⊥PE于点I，过点P作PK⊥AE于点K，过点E作EL⊥PC于点L，如图所示：
则∠PKE=∠PLE=90°，
设PF=CE=4x，GI=M，IH=n，
根据解析（2）可知：，，
∴，
∴，
∴ 四边形PKEL为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
根据解析（2）可知：，
，
，
垂直平分
，
根据勾股定理得：，
，
，
，
整理得：，
根据勾股定理得：，，
，
即，
整理得：，
把代入得：，
整理得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
整理得：，
解得或
当时，，不符合题意舍去，
当时，，即
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)过点F作FH⊥AD于点H，延长FH，使FQ=PF，连接AP， CP，CF，EQ，AQ，CF交PE于点J，证明四边形CFQE为平行四边形，得出EQ=CF，证明Rt△AFH≌Rt△AFO(HL)，得出AH=AO，证明△AHQ≌△AOP(SAS)，得出∠HAQ=∠PAO，证明△AEQ≌△AEP(SAS)，得出EQ=EP，证明△PEC≌△CFP(SSS)，得出∠CPJ=∠PCJ，证明△AOF≌△COP(AAS)，得出AF=CP，证明四边形APCF为菱形，得出∠PAC=∠FAC，AP=CP=CF=AF，证明∠AEP=∠PAE，根据∠PAE=∠PAO+∠FAO=2∠CAE，即可证明结论；
(2)连接FG，过点F作FI⊥PE于点I，过点P作PK⊥AE于点K，过点E作EL⊥PC于点L，设PF=CE=4x，GI=m，IH=n，证明四边形PKEL为矩形，得出KE=PL，PK=EL，证明Rt△PFK≌Rt△ECL(HL)，得出FK=CL，求出KE=PL=13+m+n-5=8+m+n， EF=KE-KF=8+m+n-5=3+m+n，根据勾股定理得出PF2-PI2=FG2-GI2，即(4x)2-(8+m)2=82-m2，求出m=x2-8，根据勾股定理得出PE2-PL2=CE2-CL2，即(13+m+n)2-(8+m+n)2=(4x)2-52，求出，得出，根据勾股定理求出EF2-I
E2=GF2-IG2，得出，求出或，最后代入求出结果即可.
1 / 12025年8月第十四届海峡两岸青少年文化交流活动（全国总决赛）八年级数学二试试题
1．（2025·文化月考）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为。例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为。请解答下列问题：
（1）若无理数（a为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值；
（2）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“整数区间”。
2．（2025·文化月考）如图，在中，点D是BC边上一点，，连接AD，点E是AD上一点，，连接CE，点F是CE上一点，连接BF交AD于点G，若，，求四边形FGDC的面积。
3．（2025·文化月考）如图1，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点C(-1，3）是直线AB上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接OC、OD。
（1）若直线CD上存在点G，它到直线OD的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标；
（2）将沿射线BA方向平移一定的距离后，得到，点Q是反比例函数上一点，连接QC'，QO'，若四边形C'D'O'Q是平行四边形，求点Q的坐标。
4．（2025·文化月考）如图1，已知直线/：y=k+b(K≠0）交x，y轴于点A(-2，0），B(0，4）两点，正比例函数y=x的图象与直线AB交于点C。
（1）y轴负半轴上有一动点E，连接EC。点F是x轴上有一动点，当SBCE=12时，求FC+FE的最小值：
（2）如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线y=×交于点M，点P在X轴上。当∠MGO=∠MPO时，请直接写出点P的坐标。
5．（2025·文化月考）如图，正方形ABCD的边长为2，直线l分别交AD，BC于点M，N。A，B关于直线l的对称点为A'，B'，且点A'恰好在CD上，连接A'B'，交BC于点E，连接AA'，交MN于点P。
（1）连接AE，求证；
（2）已知的面积为，求A'E的长。
6．（2025·文化月考）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O作MN⊥AC，分别交AD，BC于M，N。
（1）如图2，作∠CAD的平分线分别交CD，OM，于E，F，点P在ON上连接PE交AC于点G，若PF=CE，求证：∠AEP=2∠CAE：
（2）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥PE，垂足为H，若EH=5，PG=8，求EF的长。
答案解析部分
1．【答案】（1）解：无理数 的“整数区间”为 ，
，
，即 ，
的“整数区间”为 ，
，
，即 ，
，
，
为正整数，
或 ，
当 时，；
当 时，。
的值为 2 或 。
（2）解：∵，
∴、，
∴，
∴，
∴、，
两式相减，得，即，
∴的算术平方根为，
∵，
∴，
∴M的算术平方根的“整数区间”是(45，46)。
【知识点】无理数的估值；算术平方根的概念与表示
【解析】【分析】(1)先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可；
(2)由题意可得x+y-2026≥0、2026-x-y≥0，得出x+y=2026，进而得出2x+3y-m=0、3x+4y-2m=0，两式相减可得m=x+y=2026，再根据“整数区间”的定义求解即可.
2．【答案】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如图，连接BE，DF，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
，
解得：，
∴四边形FGDC的面积是：。
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题；等分面积模型
【解析】【分析】先依次求解，，，，，设，则，可得，，结合，可得，再建立方程求解即可.
3．【答案】（1）解：把C(-1，3)代入，得：，解得，
，
当x=2时，y=2+4=6，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，
，
把点A的坐标代入反比例函数解析式中，得，
，
；
轴，与y轴交于点E，C(-1，3)，
，，
当 时，，
，
，
点G在直线CD上，
设G(n，3)，则：DG=|n-4|，GH=GE=|n|，
作 于点H，则：，
，解得：或，
或 ；
（2）解：，设直线 交 y 轴与点 F，
∴当y=x+4=0时，x=-4，当x=0时，y=4，
∴B(-4，0)，F(0，4)，
∴OB=OF=4，
∴△BOF为等腰直角三角形，
∵将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O’C’D’，
∴设△OCD向右平移t个单位，再向上平移t个单位得到△O'C'D'，
∵C(-1，3)， D(4，3)， 0(0，0)，
∴O'(t，t)，C'(-1+t，3+t)，D'(4+t，3+t)，
∵四边形C'D'O'Q是平行四边形，
∴O'Q//C'D'，O'Q=C'D’，
∵点C'是点D'向左平移5个单位得到的，
∴点Q向左平移5个单位，得到点Q，
∴Q(-5，t)，
∴点Q在反比例函数的图象上，
∴(t-5)·t=12，
解得：或（不合题意，舍去）；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移；等积变换
【解析】【分析】(1)待定系数法求出直线的解析式，进而求出A点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；先求出D，E的坐标，进而求出OD，OE的长，设G(n，3)，作GH⊥OD于点H，连接OH，进而得到GH=|n|，DG=|4-n|，根据等积法，列出方程进行求解即可；
(2)先确定平移规则，设△OCD向右平移t个单位，再向上平移t个单位得到△O'C'D'，求出O'(t，t)，C'(-1+t，3+t)，D'(4+t，3+t)，根据平行四边形的性质和平移思想，求出Q点坐标，再代入到反比例函数解析式，进行求解即可.
4．【答案】（1）解：将点 A(-2，0)，B(0，4) 带入 中得
，则
∴直线 AB 的解析式为：
∵ 点 C 是正比例函数 和直线 AB 的交点，
∴，解得：
∵，
∵
设
∴，
过点 C 作 CD 垂直 y 轴交于点 D
解得：或（舍去），
当 时，则 E(0，-2)，作点 E 关于 x 轴的对称点 E'(0，2)，
，
连接 CE'，则与 x 轴交点 G 是使得 的值最小；
在 中，根据勾股定理可得
的值最小是 ；
综上所述： 的最小值是：；
（2）解：∵直线I：y=2x+4向下平移7个单位长度后，则直线MG的解析式为：y=2x-3
∴G(0， -3)
当∠MGO=∠MPO时，
①如图；在x轴上取点P，连接PM
与MG关于直线对称，
，，
②如图，过点 M 的垂直于 x 轴的直线 ME，点 P 关于直线 ME 的对称点 P'，连接 P'M
∵ 直线 与 交于点 M
∴，解得
∵点P是关于直线ME为对称轴的点P(-3，0)的对称点
∴P'(9，0)
综上所述：P的坐标为(-3，0)或(9，0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象的平移变换；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)根据A(-2，0)，B(0，4)，带入y=kx+b(k≠0)可得解析式；点C是正比例函数y=x和直线AB的交点，联立方程组可得点C的坐标；设E(0，a)，可得BE=|4-a|，由面积可得a=-2或a=10，然后再求解论即可；
(2)由平移得直线MG的解析式为：y=2x-3，可得G(0，-3)，接着分类讨论即可，①然后可知PM与MG关于直线y=x对称，②点P关于直线ME的对称点P'.
5．【答案】（1）证明：如图所示，过点A作于点K，
，，
折叠，
，
在正方形ABCD中，，
，
，
在， 中，
，
，，
，，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2）解：根据上述证明得到 ，
∴A'D+BE=A'E，
设，，则，，
，
∵ 的面积为 ，
∴， 则 ，
在中，，
∴，整理得，，
设，
∴，整理得，，
解得，，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)如图所示，过点A作AK⊥A'E于点K，可证Rt△ADA'≌Rt△AKA'(AAS)，得AK=AB，，再证Rt△ABE≌Rt△AKE(HL)，得，由∠BAD=∠BAK+∠DAK=90°，即可求解；
(2)根据题意得到A'D+BE=A'E，设A'C=x，CE=y，则A'D=CD-A'C=2-x，BE=BC-CE=2-y，A'E=2-x+2-y=4-(x+y)，由勾股定理即可求解.
6．【答案】（1）证明：过点F作FH⊥AD于点H，延长FH，使FO=PF，连接AP、CP、CF/EO，AQ，CF交PE于点J，如图所示：
则∠AHQ= ∠AHF =90°，
∴∠AHF =∠ADC，
∴FQ//CE，
∵PF=CE， FQ=PF，
∴FQ=CE，
∴四边形CFQE为平行四边形，
∴EQ=CF，
∵AE平分∠CAD，FO⊥AO，FH⊥AD，
∴FO=FH， ∠OAF=∠HAF，
∵AF =AF，
∴Rt△AFH≌Rt△AFO(HL)，
∴AH=AO，
∵FQ-FH=PF-FO，
∴OP=HQ，
∵∠AHQ=∠AOP=90°，
∴△HOB≌△AOP(SAS)，
∴∠HAQ=∠PAO，
∵∠OAF =∠HAF，
∴∠FAO+∠PAO= ∠FAH+∠HAQ，
即∠PAF=∠QAF，
∵AP=AQ， AE=AE，
∴△EQE≌△AEP(SAS)，
∴EQ=EP，
∴CF =PE，
∵PF=CE， PC=PC，
∴△PEC≌△CFP(SSS)，
，
，
即JE=JF，
∴∠JFE=∠JEF，
∵∠PJC=∠EJF，
∴∠PCJ=∠CPJ=∠JEF=∠JFE，
∴PC//EF，
∴∠OAF= ∠OCP，∠AFO=∠CPO，
∵MN 垂直平分 AC，
∴AO=CO，AP=CP，
∴△AOF≌△COP(AAS)，
∴AF=CP，
∴四边形APCF为平行四边形，
∵AP=CP，
∴四边形APCF为菱形，
∴∠PAC= ∠FAC， AP=CP=CF = AF，
∴∠PAO= ∠FAO=∠FAH=∠QAH， AP=PE=CF，
∴∠AEP= ∠PAE，
∵∠PAE= ∠PAO+∠FAO=2∠CAE，
∴∠AEP =2∠CAE：
（2）解：连接FG，过点F作FI⊥PE于点I，过点P作PK⊥AE于点K，过点E作EL⊥PC于点L，如图所示：
则∠PKE=∠PLE=90°，
设PF=CE=4x，GI=M，IH=n，
根据解析（2）可知：，，
∴，
∴，
∴ 四边形PKEL为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
根据解析（2）可知：，
，
，
垂直平分
，
根据勾股定理得：，
，
，
，
整理得：，
根据勾股定理得：，，
，
即，
整理得：，
把代入得：，
整理得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
整理得：，
解得或
当时，，不符合题意舍去，
当时，，即
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)过点F作FH⊥AD于点H，延长FH，使FQ=PF，连接AP， CP，CF，EQ，AQ，CF交PE于点J，证明四边形CFQE为平行四边形，得出EQ=CF，证明Rt△AFH≌Rt△AFO(HL)，得出AH=AO，证明△AHQ≌△AOP(SAS)，得出∠HAQ=∠PAO，证明△AEQ≌△AEP(SAS)，得出EQ=EP，证明△PEC≌△CFP(SSS)，得出∠CPJ=∠PCJ，证明△AOF≌△COP(AAS)，得出AF=CP，证明四边形APCF为菱形，得出∠PAC=∠FAC，AP=CP=CF=AF，证明∠AEP=∠PAE，根据∠PAE=∠PAO+∠FAO=2∠CAE，即可证明结论；
(2)连接FG，过点F作FI⊥PE于点I，过点P作PK⊥AE于点K，过点E作EL⊥PC于点L，设PF=CE=4x，GI=m，IH=n，证明四边形PKEL为矩形，得出KE=PL，PK=EL，证明Rt△PFK≌Rt△ECL(HL)，得出FK=CL，求出KE=PL=13+m+n-5=8+m+n， EF=KE-KF=8+m+n-5=3+m+n，根据勾股定理得出PF2-PI2=FG2-GI2，即(4x)2-(8+m)2=82-m2，求出m=x2-8，根据勾股定理得出PE2-PL2=CE2-CL2，即(13+m+n)2-(8+m+n)2=(4x)2-52，求出，得出，根据勾股定理求出EF2-I
E2=GF2-IG2，得出，求出或，最后代入求出结果即可.
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