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浙江省嘉兴北京师范大学南湖附属学校2025-2026学年上学期12月九年级月考数学试卷
1．（2025九上·南湖月考）已知=，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵=，
∴设a=2k，则b=3k，
则原式= ．
故选B．
【分析】根据=，可设a=2k，则b=3k，代入所求的式子即可求解．　
2．（2025九上·南湖月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　）
A．54° B．64° C．27° D．37°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∴∠CDB＝ ∠BOC＝27°
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义得出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半由∠CDB＝ ∠BOC＝27°得出答案.
3．（2025九上·南湖月考）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机擦出一个球，“摸出黄球”的可能性为 ，则袋中绿球的个数是(　　)
A．12 B．5 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋中绿球的个数有x个，根据题意得：
解得：x=5，
经检验x=5是方程的解，
故选： B.
【分析】设袋中绿球的个数有x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案.
4．（2025九上·南湖月考）若抛物线 的顶点在第二象限，则m的取值范围是 (　　)
A．m>1 B．m<2 C．1【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
∴顶点为(m+1，2m+4)，
∵顶点在第二象限，
故选： D.
【分析】求出函数的顶点坐标为(m+1，2m+4)，再由第二象限点的坐标特点得到：m+1<0，2m+4>0即可求解.
5．（2025九上·南湖月考） 如图， 在 ABCD中， 点E在对角线BD上， EM∥AD， 交AB于点M， EN∥AB， 交AD于点 N，则下列式子一定正确的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：A.∵ EN∥AB ，
∴四边形AMEN为平行四边形，
∴
A项错误；
B项错误；
C项错误；
D项正确。
故选：D.
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质.
6．（2025九上·南湖月考） 如图， 点P是等边三角形ABC的重心， AB=3， Q是BC边上一点， 当PQ⊥BP时， 则BQ的长为(　　)
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵点P是等边三角形ABC的重心，
∴DB是的中线，BP：
，
故选D.
【分析】根据重心的性质得到，BP：根据垂直得到PQ∥AC，根据对应边成比例解答即可.
7．（2025九上·南湖月考）若二次函数 的图象经过点(-2，0)，则关于x的方程 的实数根为(　　)
A．x1=0，x2=4 B．x1=-2， x2=6
C． D．x1=-4， x2=0
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点(-2，0)，
解得
∴方程为
解得
故答案为：A.
【分析】把(-2，0)代入，求得代入方程求解即可得到结论.
8．（2025九上·南湖月考）点A (m-1， y1)， B (m， y2) 都在二次函数y=(x-1)"+n的图象上， 若，则m的取值范围为（　　）
A．m>2 B． C．m<1 D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为点都在二次函数的图像上，
所以
因为
所以即
所以-2m+3<0，
解得
故m的取值范围为
故答案为：B.
【分析】把点的坐标代入函数关系式，然后根据，得到-2m+3<0，求出m的取值范围解答即可.
9．（2025九上·南湖月考） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， A (-4， 0)， B(0， 2)， 连结AB 并延长到点C， 连结CO， 若△COB∽△CAO， 则点C的坐标为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
过点C作轴于点D，
轴，∴AO∥CD，
∴点C的坐标为
故选：B.
【分析】根据相似三角形对应边成比例求出CB、AC的关系，从而得到过点C作轴于点D，然后证明和相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD、BD，再求出OD，最后写出点C的坐标即可.
10．（2025九上·南湖月考） 如图， AB 是⊙O的直径， AB=8， 点M在⊙O上，∠MAB=20°， 点N是弧MB 的中点，点P 是直径AB 上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK.
则∠MAB=∠KAB=20°，
∵OA=OM=OK，
∴∠AMO-∠OAM=∠OAK=∠OKA=20°，
∴∠MOB=∠A+∠OMA=40°，∠BOK=∠OAK+∠OKA=40°，
∴∠MON=∠NOB=20°，
∴∠KON=60°，
∵ON=OK，
∴△NKO是等边三角形，
∴NK=ON=4，
∵M，K关于AB对称，
∴PM=PK，
∴PN+PM=PN+PK≥NK=4，
∴PM+PN的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值=PM+PN+MN=4+1=5，
故选：B.
【分析】如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK.证明△ONK是等边三角形，再利用两点之间线段最短即可解决问题.
11．（2025九上·南湖月考）将抛物线 向左平移3个单位、再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是，
将抛物线向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是，
故答案为：.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
12．（2025九上·南湖月考）已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为　 　.
【答案】 πcm
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，
∴ ＝12π，
解得：R＝2 ，
∴弧长为 ＝ π（cm），
故答案为： πcm.
【分析】设扇形的半径为Rcm，利用扇形的面积公式求出半径r值，然后利用弧长公式计算即得.
13．（2025九上·南湖月考）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验后发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有　 　个.
【答案】12
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球约有x个，
则x=0.8(x+3)，
解得x=12，
故答案为：12.
【分析】根据概率公式计算即可.
14．（2025九上·南湖月考） 如图， 在 ABCD中， 点E在边BC上， DE交对角线AC于F， 若CE=2BE，△CEF的面积等于8，那么△AFD 的面积等于　 　.
【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
∴设BE=x，则CE=2x，BC=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
的面积等于8，
故答案为：18.
【分析】根据平行四边形的性质先证明再根据相似三角形的性质求得结果.
15．（2025九上·南湖月考）操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为1m的直立竹竿的影长是1.5m，此时，测得树的影长为16.5m，则树高为　 　m.
【答案】11
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵竹竿的高度：竹竿的长=树的高度：树的影长，
∴树的高度：树的影长=11(m)
故答案为：11.
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比解答即可.
16．（2025九上·南湖月考） 如图1， 将含30°和45°角的两块三角板ABC和DEF叠合在一起， 边BC与EF重合，BC=EF=24cm， 点P为边 BC(EF)的中点， 边 FD 与AB 相交于点H， 此时线段BH的长为　 　；现将三角板ABC绕点P 按逆时针方向旋转角度a(如图2)，设边AB与EF相交于点Q，则当a从0°到90°的变化过程中，点Q移动的路径长为　 　(结果保留根号)
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
如图1中，过点H作于M.设HM=a，则CM=HM=a.
在BC中，BC=24cm，
在HM中，BH=2，HM=2a，BM
当a从到的变化过程中，Q点从E运动到Q(如图2-2中)，
当时，Q点从E点开始向F方向运动，当时，QE的移动到最大距离(如图2-1中)，
此时
在中，
6cm，
6cm；
当
时，Q点E开始离开Q向E点方向运动，
当时，Q点停止运动；
在中，
∴Q点返回运动的路径长为
∴Q点移动的路径为
故答案为
【分析】如图1中，过点H作.于M.设HM=a，则CM=HM=a..构建方程求出a即可解决问题.根据旋转角度画出图形，在α变化的过程中，Q点从E点运动到BD与EF垂直时，AB与EF的交点处；在中，求出即可求EQ长解答即可.
17．（2025九上·南湖月考）已知：线段a、b、c，且 = = ．
（1）求 的值．
（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27．求a、b、c的值．
【答案】（1）解：∵ = ，
∴ = ，
∴ =
（2）解：设 = = =k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b+c=27，
∴2k+3k+4k=27，
∴k=3，
∴a=6，b=9，c=12．
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【分析】（1）根据给出的比值得到，然后根据，代入求值即可；
（2）设，得出a=2k，b=3k，c=4k，然后代入a+b+c=27即可求出k的值，进而得出a、b、c的值.
18．（2025九上·南湖月考） 已知： 二次函数 (a，b，c都是常数，且a≠0)的部分对应值为：
x … -1 0 1 2 　
y … 0 -2 -2 n 　
（1）求n的值和二次函数的解析式.
（2）若点Q(m，4)在该函数图象上，求m的值.
【答案】（1）解：根据图表可知：抛物线的图象过点((0，-2)，(1，-2)，
∴对称轴为直线
的对称点为(2，0)，
设将(-1，0)和(1，-2)代入得：
解得，
（2）解：点Q在该函数图象上，
把y=4代入-2，得
解得x=3或x=-2.
∴m的值是3或-2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)根据表格确定对称轴，由抛物线的对称性得出n，再根据待定系数法求出关系式；
(2)令y=4，求出一元二次方程的解即可.
19．（2025九上·南湖月考）江西省教育厅发出通告宣布中考体育改革，男生的项目改为：1000米为必测项目；另在跳绳，50米，立定跳远和俯卧撑四项中自愿选择其中两项进行测试.例，1000米，跳绳和50米为一种测试方案.
（1）每位考生有　 　种测试方案；
（2）用画树状图或列表的方法求出班上小明和小刚两位男同学正好选中同种方案的相率.(友情提醒：各种方案可以用字母或者数字来代替以简化解答过程)
【答案】（1）6
（2）解：设6中测试方案为A、B、C、D、E、F，画树状图为：
班上小明和小刚两位男同学正好选中同种方案的情况6种，
∴班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用列举法求概率
【解析】【解答】解：(1)由题意可得，每个考生的测试方案为：(1000米，跳绳和50米)、(1000米，跳绳和立定跳远)、(1000米，跳绳和俯卧撑)，(1000米，50米，立定跳远)、(1000米，50米，俯卧撑)、(1000米，立定跳远和俯卧撑)。
故答案为：6；
【分析】(1)根据题意可以写出每个考生的测试方案，从而可以解答本题；
(2)根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的概率.
20．（2025九上·南湖月考） 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， 点D是AB上一点， DE∥BC， BE⊥AB.
（1）求证： △DEB∽△BAC；
（2） 若BE=2， AC=3，△BDE的面积为1， 求△ABC的面积.
【答案】（1）证明：
（2）解：由(1)可得
解得：
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)根据可得即可证明两三角形相似
(2)先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
21．（2025九上·南湖月考）在平面直角坐标系中，点(-3，m)在抛物线y=-x2+ kx(k为常数）上.
（1）当k=4 时， 求m 的值；
（2）若点(1，n)也在该抛物线上，且m，n均为负数，求k的取值范围；
（3）当-3≤x≤2 时，若该抛物线对应的函数最大值是6，求k 的值
【答案】（1）解：当k=4时，抛物线方程为
因为点((-3，m))在抛物线上，
所以；
（2）解：因为点(-3，m)和(1，n)在抛物线上，
所以
由于m、n均为负数，则可得不等式组
解得k>-3。
解不等式--1+k<0，移项可得k<1。
综合两个不等式的解，可得-3（3）解：对于抛物线其对称轴为x=-
当即k≤-6时：
在-3≤x≤2这个区间内，y随x的增大而减小，
所以当x=-3时，y有最大值6。
将x=-3代入可得(-3)=6，
解得k=-5，
但-5>-6，不满足k≤-6，舍去。
当即-6当时，y有最大值6。
将代入可得
解得k=±
因为-6所以
当即k≥4时：
在-3≤x≤2这个区间内，y随x的增大而增大，所以当x=2时，y有最大值6。
将x=2代入可得6，
解得k=5，
满足k≥4，
综上，k的值为或5。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)将k的值代入抛物线方程，再把点((-3，m)代入求解m；
(2)先将点((-3，m)和(1，n)代入抛物线方程，根据m、n均为负数列出不等式组求解k的取值范围；
(3)先求出抛物线的对称轴，再根据对称轴与给定取值范围 -3≤x≤2 的位置关系分情况讨论，结合函数最大值为6，求出k的值.
22．（2025九上·南湖月考）如图，一组等距的平行线上有一个圆，点O为圆心，AB为直径，点A，B，C是圆与平行线的交点，只用无刻度的直尺，根据要求作图．(保留作图痕迹)
（1） 在图1中， 过点O作OD⊥AC， 垂足为点D， 并计算 　 　．
（2） 在图2中， 作△ABC中BC边上的中线AE.
（3）在图3中， 作∠ABC的角平分线BF， 与圆O交于点F.
【答案】（1）
（2）解：如图2中，根据等距平行线可得BG的中点E，线段AE即为所求；
（3）解：如图3中，延长OD交弧AG于点F，射线BF即为所求.
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理；圆周角定理的推论；三角形的中线
【解析】【解答】(1)解：如图1中，根据等距平行线可得AG的中点D，线段OD即为所求，
∴点O是AC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OD是的中位线，
故答案为：
【分析】(1)根据垂径定理可知点D是AC的中点，AC与中间的横线交点为D，连接OD可得再运用垂径定理和三角形中位线定理即可得出答案；
(2)BC与B、C之间最中间的横线的交点即BC的中点E，连接AE，线段AE为中BC边上的中线AE；
(3)连接OD并延长交⊙O于F，连接BF，则射线BF为的平分线.
23．（2025九上·南湖月考） 已知二次函数y=(x-a)(x-a+4)(a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于 A，B两点，且点B的横坐标为a+1、求AB 的长：
（3）若1n.
【答案】（1）解：当a=1时，二次函数为y=(x-1)(x-1+4)=(x-1)(x+3)。
所以顶点坐标为(-1，-4)；
（2）解：二次函数y=(x-a)(x-a+4)的对称轴为x=，
因为点B的横坐标为a+1，且A、B关于对称轴x=a-2对称，
所以点A的横坐标为a-2-(a+1-a+2)=a-5，
所以AB=(a+1)-(a-5)=6；
（3）证明：也为对称轴为x=a-2。
∴点(2a﹣7，m)到对称轴的距离为|2a﹣7﹣(a﹣2)|=|a-5|，
点(4a﹣9，n)到对称轴的距离为|4a﹣9﹣(a﹣2)|=|3a-7|，
∵1∴|a﹣5|>|3a﹣7|，
∵二次函数y=(x-a)(x-a+4)的二次项系数为1，大于0，所以函数图象开口向上，
∴m>n.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)先将a=1代入函数，再将函数化为顶点式，即可得到顶点坐标。
(2)先求出二次函数的对称轴，再根据对称轴和点B的横坐标求出点A的横坐标，最后计算AB的长。
(3)先判断点(2a-7，m)和(4a-9，n)与对称轴的位置关系，再根据二次函数的单调性比较m和n的大小。
24．（2025九上·南湖月考） 如图， AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB 于点E， 已知AB=10， AE=8， 点P为AB 上任意一点，(点P不与A、B重合)， 连结CP并延长与⊙O交于点Q， 连接QD， PD，AD.
（1）求CD的长；
（2）若点P在A，E之间(点P不与点E重合)， 求证： ∠ADP=∠ADQ；
（3）若点P 在B，E之间(点P不与点E 重合)， 求∠ADP与∠ADQ满足的关系.
【答案】（1）解：如图1，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦
由勾股定理得
（2）证明：如图连接AC，
（3）解：如图3，连接AC，
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SSS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)如图1，连接OC，由AB是⊙O的直径，弦AB，可得利用勾股定理可得CE然后求解即可；
(2)连接AC，由题意知，AB垂直平分CD，证明△则，由可得，进而结论得证；
(3)连接AC，同理(2)可得，由圆内接四边形ACQD可得，进而可得结论.
1 / 1浙江省嘉兴北京师范大学南湖附属学校2025-2026学年上学期12月九年级月考数学试卷
1．（2025九上·南湖月考）已知=，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·南湖月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　）
A．54° B．64° C．27° D．37°
3．（2025九上·南湖月考）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机擦出一个球，“摸出黄球”的可能性为 ，则袋中绿球的个数是(　　)
A．12 B．5 C．4 D．2
4．（2025九上·南湖月考）若抛物线 的顶点在第二象限，则m的取值范围是 (　　)
A．m>1 B．m<2 C．15．（2025九上·南湖月考） 如图， 在 ABCD中， 点E在对角线BD上， EM∥AD， 交AB于点M， EN∥AB， 交AD于点 N，则下列式子一定正确的是 (　　)
A． B． C． D．
6．（2025九上·南湖月考） 如图， 点P是等边三角形ABC的重心， AB=3， Q是BC边上一点， 当PQ⊥BP时， 则BQ的长为(　　)
A．1 B． C． D．2
7．（2025九上·南湖月考）若二次函数 的图象经过点(-2，0)，则关于x的方程 的实数根为(　　)
A．x1=0，x2=4 B．x1=-2， x2=6
C． D．x1=-4， x2=0
8．（2025九上·南湖月考）点A (m-1， y1)， B (m， y2) 都在二次函数y=(x-1)"+n的图象上， 若，则m的取值范围为（　　）
A．m>2 B． C．m<1 D．
9．（2025九上·南湖月考） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， A (-4， 0)， B(0， 2)， 连结AB 并延长到点C， 连结CO， 若△COB∽△CAO， 则点C的坐标为 (　　)
A． B． C． D．
10．（2025九上·南湖月考） 如图， AB 是⊙O的直径， AB=8， 点M在⊙O上，∠MAB=20°， 点N是弧MB 的中点，点P 是直径AB 上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
11．（2025九上·南湖月考）将抛物线 向左平移3个单位、再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是　 　.
12．（2025九上·南湖月考）已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为　 　.
13．（2025九上·南湖月考）在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验后发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有　 　个.
14．（2025九上·南湖月考） 如图， 在 ABCD中， 点E在边BC上， DE交对角线AC于F， 若CE=2BE，△CEF的面积等于8，那么△AFD 的面积等于　 　.
15．（2025九上·南湖月考）操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为1m的直立竹竿的影长是1.5m，此时，测得树的影长为16.5m，则树高为　 　m.
16．（2025九上·南湖月考） 如图1， 将含30°和45°角的两块三角板ABC和DEF叠合在一起， 边BC与EF重合，BC=EF=24cm， 点P为边 BC(EF)的中点， 边 FD 与AB 相交于点H， 此时线段BH的长为　 　；现将三角板ABC绕点P 按逆时针方向旋转角度a(如图2)，设边AB与EF相交于点Q，则当a从0°到90°的变化过程中，点Q移动的路径长为　 　(结果保留根号)
17．（2025九上·南湖月考）已知：线段a、b、c，且 = = ．
（1）求 的值．
（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27．求a、b、c的值．
18．（2025九上·南湖月考） 已知： 二次函数 (a，b，c都是常数，且a≠0)的部分对应值为：
x … -1 0 1 2 　
y … 0 -2 -2 n 　
（1）求n的值和二次函数的解析式.
（2）若点Q(m，4)在该函数图象上，求m的值.
19．（2025九上·南湖月考）江西省教育厅发出通告宣布中考体育改革，男生的项目改为：1000米为必测项目；另在跳绳，50米，立定跳远和俯卧撑四项中自愿选择其中两项进行测试.例，1000米，跳绳和50米为一种测试方案.
（1）每位考生有　 　种测试方案；
（2）用画树状图或列表的方法求出班上小明和小刚两位男同学正好选中同种方案的相率.(友情提醒：各种方案可以用字母或者数字来代替以简化解答过程)
20．（2025九上·南湖月考） 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， 点D是AB上一点， DE∥BC， BE⊥AB.
（1）求证： △DEB∽△BAC；
（2） 若BE=2， AC=3，△BDE的面积为1， 求△ABC的面积.
21．（2025九上·南湖月考）在平面直角坐标系中，点(-3，m)在抛物线y=-x2+ kx(k为常数）上.
（1）当k=4 时， 求m 的值；
（2）若点(1，n)也在该抛物线上，且m，n均为负数，求k的取值范围；
（3）当-3≤x≤2 时，若该抛物线对应的函数最大值是6，求k 的值
22．（2025九上·南湖月考）如图，一组等距的平行线上有一个圆，点O为圆心，AB为直径，点A，B，C是圆与平行线的交点，只用无刻度的直尺，根据要求作图．(保留作图痕迹)
（1） 在图1中， 过点O作OD⊥AC， 垂足为点D， 并计算 　 　．
（2） 在图2中， 作△ABC中BC边上的中线AE.
（3）在图3中， 作∠ABC的角平分线BF， 与圆O交于点F.
23．（2025九上·南湖月考） 已知二次函数y=(x-a)(x-a+4)(a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）与x轴平行的直线交该二次函数图象于 A，B两点，且点B的横坐标为a+1、求AB 的长：
（3）若1n.
24．（2025九上·南湖月考） 如图， AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB 于点E， 已知AB=10， AE=8， 点P为AB 上任意一点，(点P不与A、B重合)， 连结CP并延长与⊙O交于点Q， 连接QD， PD，AD.
（1）求CD的长；
（2）若点P在A，E之间(点P不与点E重合)， 求证： ∠ADP=∠ADQ；
（3）若点P 在B，E之间(点P不与点E 重合)， 求∠ADP与∠ADQ满足的关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵=，
∴设a=2k，则b=3k，
则原式= ．
故选B．
【分析】根据=，可设a=2k，则b=3k，代入所求的式子即可求解．　
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∴∠CDB＝ ∠BOC＝27°
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义得出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半由∠CDB＝ ∠BOC＝27°得出答案.
3．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋中绿球的个数有x个，根据题意得：
解得：x=5，
经检验x=5是方程的解，
故选： B.
【分析】设袋中绿球的个数有x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
∴顶点为(m+1，2m+4)，
∵顶点在第二象限，
故选： D.
【分析】求出函数的顶点坐标为(m+1，2m+4)，再由第二象限点的坐标特点得到：m+1<0，2m+4>0即可求解.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：A.∵ EN∥AB ，
∴四边形AMEN为平行四边形，
∴
A项错误；
B项错误；
C项错误；
D项正确。
故选：D.
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质.
6．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵点P是等边三角形ABC的重心，
∴DB是的中线，BP：
，
故选D.
【分析】根据重心的性质得到，BP：根据垂直得到PQ∥AC，根据对应边成比例解答即可.
7．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点(-2，0)，
解得
∴方程为
解得
故答案为：A.
【分析】把(-2，0)代入，求得代入方程求解即可得到结论.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为点都在二次函数的图像上，
所以
因为
所以即
所以-2m+3<0，
解得
故m的取值范围为
故答案为：B.
【分析】把点的坐标代入函数关系式，然后根据，得到-2m+3<0，求出m的取值范围解答即可.
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
过点C作轴于点D，
轴，∴AO∥CD，
∴点C的坐标为
故选：B.
【分析】根据相似三角形对应边成比例求出CB、AC的关系，从而得到过点C作轴于点D，然后证明和相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD、BD，再求出OD，最后写出点C的坐标即可.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK.
则∠MAB=∠KAB=20°，
∵OA=OM=OK，
∴∠AMO-∠OAM=∠OAK=∠OKA=20°，
∴∠MOB=∠A+∠OMA=40°，∠BOK=∠OAK+∠OKA=40°，
∴∠MON=∠NOB=20°，
∴∠KON=60°，
∵ON=OK，
∴△NKO是等边三角形，
∴NK=ON=4，
∵M，K关于AB对称，
∴PM=PK，
∴PN+PM=PN+PK≥NK=4，
∴PM+PN的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值=PM+PN+MN=4+1=5，
故选：B.
【分析】如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK.证明△ONK是等边三角形，再利用两点之间线段最短即可解决问题.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是，
将抛物线向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是，
故答案为：.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
12．【答案】 πcm
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，
∴ ＝12π，
解得：R＝2 ，
∴弧长为 ＝ π（cm），
故答案为： πcm.
【分析】设扇形的半径为Rcm，利用扇形的面积公式求出半径r值，然后利用弧长公式计算即得.
13．【答案】12
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球约有x个，
则x=0.8(x+3)，
解得x=12，
故答案为：12.
【分析】根据概率公式计算即可.
14．【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
∴设BE=x，则CE=2x，BC=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
的面积等于8，
故答案为：18.
【分析】根据平行四边形的性质先证明再根据相似三角形的性质求得结果.
15．【答案】11
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵竹竿的高度：竹竿的长=树的高度：树的影长，
∴树的高度：树的影长=11(m)
故答案为：11.
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比解答即可.
16．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
如图1中，过点H作于M.设HM=a，则CM=HM=a.
在BC中，BC=24cm，
在HM中，BH=2，HM=2a，BM
当a从到的变化过程中，Q点从E运动到Q(如图2-2中)，
当时，Q点从E点开始向F方向运动，当时，QE的移动到最大距离(如图2-1中)，
此时
在中，
6cm，
6cm；
当
时，Q点E开始离开Q向E点方向运动，
当时，Q点停止运动；
在中，
∴Q点返回运动的路径长为
∴Q点移动的路径为
故答案为
【分析】如图1中，过点H作.于M.设HM=a，则CM=HM=a..构建方程求出a即可解决问题.根据旋转角度画出图形，在α变化的过程中，Q点从E点运动到BD与EF垂直时，AB与EF的交点处；在中，求出即可求EQ长解答即可.
17．【答案】（1）解：∵ = ，
∴ = ，
∴ =
（2）解：设 = = =k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b+c=27，
∴2k+3k+4k=27，
∴k=3，
∴a=6，b=9，c=12．
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【分析】（1）根据给出的比值得到，然后根据，代入求值即可；
（2）设，得出a=2k，b=3k，c=4k，然后代入a+b+c=27即可求出k的值，进而得出a、b、c的值.
18．【答案】（1）解：根据图表可知：抛物线的图象过点((0，-2)，(1，-2)，
∴对称轴为直线
的对称点为(2，0)，
设将(-1，0)和(1，-2)代入得：
解得，
（2）解：点Q在该函数图象上，
把y=4代入-2，得
解得x=3或x=-2.
∴m的值是3或-2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)根据表格确定对称轴，由抛物线的对称性得出n，再根据待定系数法求出关系式；
(2)令y=4，求出一元二次方程的解即可.
19．【答案】（1）6
（2）解：设6中测试方案为A、B、C、D、E、F，画树状图为：
班上小明和小刚两位男同学正好选中同种方案的情况6种，
∴班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用列举法求概率
【解析】【解答】解：(1)由题意可得，每个考生的测试方案为：(1000米，跳绳和50米)、(1000米，跳绳和立定跳远)、(1000米，跳绳和俯卧撑)，(1000米，50米，立定跳远)、(1000米，50米，俯卧撑)、(1000米，立定跳远和俯卧撑)。
故答案为：6；
【分析】(1)根据题意可以写出每个考生的测试方案，从而可以解答本题；
(2)根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得班上小明和小刚两位男同学正好抽中同种方案的概率.
20．【答案】（1）证明：
（2）解：由(1)可得
解得：
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)根据可得即可证明两三角形相似
(2)先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
21．【答案】（1）解：当k=4时，抛物线方程为
因为点((-3，m))在抛物线上，
所以；
（2）解：因为点(-3，m)和(1，n)在抛物线上，
所以
由于m、n均为负数，则可得不等式组
解得k>-3。
解不等式--1+k<0，移项可得k<1。
综合两个不等式的解，可得-3（3）解：对于抛物线其对称轴为x=-
当即k≤-6时：
在-3≤x≤2这个区间内，y随x的增大而减小，
所以当x=-3时，y有最大值6。
将x=-3代入可得(-3)=6，
解得k=-5，
但-5>-6，不满足k≤-6，舍去。
当即-6当时，y有最大值6。
将代入可得
解得k=±
因为-6所以
当即k≥4时：
在-3≤x≤2这个区间内，y随x的增大而增大，所以当x=2时，y有最大值6。
将x=2代入可得6，
解得k=5，
满足k≥4，
综上，k的值为或5。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)将k的值代入抛物线方程，再把点((-3，m)代入求解m；
(2)先将点((-3，m)和(1，n)代入抛物线方程，根据m、n均为负数列出不等式组求解k的取值范围；
(3)先求出抛物线的对称轴，再根据对称轴与给定取值范围 -3≤x≤2 的位置关系分情况讨论，结合函数最大值为6，求出k的值.
22．【答案】（1）
（2）解：如图2中，根据等距平行线可得BG的中点E，线段AE即为所求；
（3）解：如图3中，延长OD交弧AG于点F，射线BF即为所求.
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理；圆周角定理的推论；三角形的中线
【解析】【解答】(1)解：如图1中，根据等距平行线可得AG的中点D，线段OD即为所求，
∴点O是AC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OD是的中位线，
故答案为：
【分析】(1)根据垂径定理可知点D是AC的中点，AC与中间的横线交点为D，连接OD可得再运用垂径定理和三角形中位线定理即可得出答案；
(2)BC与B、C之间最中间的横线的交点即BC的中点E，连接AE，线段AE为中BC边上的中线AE；
(3)连接OD并延长交⊙O于F，连接BF，则射线BF为的平分线.
23．【答案】（1）解：当a=1时，二次函数为y=(x-1)(x-1+4)=(x-1)(x+3)。
所以顶点坐标为(-1，-4)；
（2）解：二次函数y=(x-a)(x-a+4)的对称轴为x=，
因为点B的横坐标为a+1，且A、B关于对称轴x=a-2对称，
所以点A的横坐标为a-2-(a+1-a+2)=a-5，
所以AB=(a+1)-(a-5)=6；
（3）证明：也为对称轴为x=a-2。
∴点(2a﹣7，m)到对称轴的距离为|2a﹣7﹣(a﹣2)|=|a-5|，
点(4a﹣9，n)到对称轴的距离为|4a﹣9﹣(a﹣2)|=|3a-7|，
∵1∴|a﹣5|>|3a﹣7|，
∵二次函数y=(x-a)(x-a+4)的二次项系数为1，大于0，所以函数图象开口向上，
∴m>n.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)先将a=1代入函数，再将函数化为顶点式，即可得到顶点坐标。
(2)先求出二次函数的对称轴，再根据对称轴和点B的横坐标求出点A的横坐标，最后计算AB的长。
(3)先判断点(2a-7，m)和(4a-9，n)与对称轴的位置关系，再根据二次函数的单调性比较m和n的大小。
24．【答案】（1）解：如图1，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦
由勾股定理得
（2）证明：如图连接AC，
（3）解：如图3，连接AC，
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SSS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)如图1，连接OC，由AB是⊙O的直径，弦AB，可得利用勾股定理可得CE然后求解即可；
(2)连接AC，由题意知，AB垂直平分CD，证明△则，由可得，进而结论得证；
(3)连接AC，同理(2)可得，由圆内接四边形ACQD可得，进而可得结论.
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