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浙江省杭州市拱墅区华东师大附属杭州学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．（2025九上·拱墅期中）下列选项中的事件，属于必然事件的是(　　)
A．任意掷一枚硬币，正面朝上
B．若a、b是实数. 则|a-b|≥0
C．两数相乘，积为正数
D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐
2．（2025九上·拱墅期中）若⊙O的半径是3，点P在圆外，则OP 的长可能是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2025九上·拱墅期中）如果，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·拱墅期中）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F. 若DE=3，EF=6，AB=4，则AC的长为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
5．（2025九上·拱墅期中）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(　　)
A．1米 B．2米 C．(3- )米 D．米
6．（2025九上·拱墅期中）如图，已知四边形ABCD是OO的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于(　　)
A．64° B．60° C．54° D．52°
7．（2025九上·拱墅期中）已知二次函数图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下，则关于x的方程bx=15的解为(　　)
x … -3 0 2 …
y 　 15 0 0 …
A． B． C． D．
8．（2025九上·拱墅期中）如图，已知等边△ABC，以BC为直径的圆分别交边AB，AC于点D，E，若BC=2，则弧DE的长为(　　)
A． B． C． D．
9．（2025九上·拱墅期中）如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足 设弦AB=x， y关于x的函数图象如图2所示，当CD=2AB时，求CD的长(　　)
A． B． C． D．
10．（2025九上·拱墅期中） 已知二次函数y=a(x+m-4)(x-m)(a≠0，a，m是常数)的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
11．（2025九上·拱墅期中）一个口袋装有红球、黄球共50枚，“若从中任取一球，是红球”的概率为 ，则这个口袋中有　 　个红球.
12．（2025九上·拱墅期中） 已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数是　 　.
13．（2025九上·拱墅期中） 如图，在△ABC中，∠C=34°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到△AB'C'. 若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠B'AB=　 　.
14．（2025九上·拱墅期中） 如图，扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，半径OA=6，点D是AB上一点. AE⊥AO交OD的延长线于点E，BG⊥OB交OE于点G. 若DE=4，则BG=　 　.
15．（2025九上·拱墅期中） 如图，二次函数 的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为-3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=-1.下列结论：①abc>0；②当-3≤x≤2时，mx+n≥ax2+bx+c；③a-b+c<0；④3a+c>0.其中正确的是　 　.(只填写序号)
16．（2025九上·拱墅期中） 如图，扇形AOB的圆心角∠AOB>60°，点C在OB上，将△AOC沿AC折叠得到 CD交弧AB于点E，连结AE，恰有AE=AD，若CE=DE=2，则⊙O的半径长是　 　.
17．（2025九上·拱墅期中） 小明和小亮用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成五个面积相等的扇形)做游戏，转动两个转盘各一次.
（1）转动A盘，指针指向的数字大于3 的概率是　 　，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是　 　；
（2）若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平 并说明理由.
18．（2025九上·拱墅期中） 如图，平面直角坐标系中有一个△ABC.
（1）利用网格，只用无刻度的直尺作出△ABC的外接圆的圆心点O；
（2）的外接圆的圆心坐标是　 　；外接圆半径为　 　；
（3）该圆圆心到弦AC的距离为　 　；
19．（2025九上·拱墅期中） 已知二次函数. 的图象如图所示.
（1）该抛物线与y轴的交点坐标是　 　；
（2）当x　 　时，y的值随x的值增大而减小；
（3）当020．（2025九上·拱墅期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长.
21．（2025九上·拱墅期中） 如图，AB是OO的直径，D是⊙O上一点，连接AD和BD，C是BD的中点，连接OC和AC，分别交BD于点E和F.
（1）证明：AD∥OC；
（2）若BO=5，BE=4，求DF的长.
22．（2025九上·拱墅期中） 2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线 向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高OA为2.44m.
（1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；
（2）梅西的射门，足球能否射进球门(不考虑其他影响因素)
（3）守门员站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止梅西的此次射门吗 如果不能，需要至少后退几米
23．（2025九上·拱墅期中） 已知抛物线
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式.
（2）直线y=kx(k≠0)与该抛物线相交于两点.
①若k=1，求a的值.
②点C(x3，y3)在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时， 求a的取值范围.
24．（2025九上·拱墅期中）如图1，已知ABCD内接于⊙O，连接BD，BD平分∠ABC，点P是BC的中点，连接AP分别交BD，BC于点E，F.
（1）如图2，若AB为⊙O的直径，求∠AEB的度数.
（2）求证：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷硬币正面朝上是随机事件，不一定发生，A错误；
B、若a，b是实数，根据绝对值的性质，∣a-b∣≥0恒成立，故该事件必然发生，B正确；
C、两数相乘积为正数是随机事件（如异号两数相乘为负数），C错误；
D、运动员连续两次投进篮筐是随机事件，不一定发生，D错误．
故答案为：B.
【分析】必然事件：在一定条件下必然会发生的事件．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是3，点P在圆外，
∴OP的长大于3.
故选：A.
【分析】根据点在圆外时，点与圆心的距离大于半径即可确定.
3．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴或．
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
4．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1//l2//l3，
∴
即
∴AC=12.
故答案为：D.
【分析】先利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，然后把DE=3，EF=6，AB=4，代入计算即可得到AC的长.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接OC，交AB于D，
由题意得：OA=OC=3米，OC⊥AB，
∴米，∠ADO=90°，
在Rt△ODA中
米，
∴米，
即点C到弦4B所在直线的距离是米，
故选：C.
【分析】连接OC，交AB于D，由垂径定理得(米)，再由勾股定理得(米)，然后求出CD的长即可.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠AOC=128°，
∴∠ABC=64°，
∵四边形ABCD是O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-64°=116°，
∴∠CDE=180°-∠ADC=64°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理先求出∠ABC=64°，再根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx图象的对称轴为直线，图象经过点(-3，15)，
∴二次函数y=ax2+bx的图象经过点(5，15)，
∴关于x的方程ax2+bx=15的解为x1=-3，x2=5.
故选：A.
【分析】由表格可知，二次函数y=ax2+bx图象的对称轴为直线，图象经过点(-3，15)，结合抛物线的对称性可得二次函数y=ax2+bx的图象经过点(5，15)，则可得关于x的方程ax2+bx=15的解.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，OE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°
∵BC为直径，BC=2，
∴OD=OB=OC=OE=1
∴△OBD，△OCE均为等边三角形，
∴∠BOD=∠COE=60°
∴∠DOE=180°-60-60°=60°，
∴弧DE的长为
故选：B.
【分析】根据等边三角形的性质，得到△OBD，△OCE均为等边三角形，进而求出∠DOE的度数，利用弧长公式进行求解即可.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥CD、 OF⊥AB，
则： OA=OB=OC=OD，，，，
∵AB+CD=180°，
∴∠COD+∠AOB=180°，
∴∠DOE+∠AOF=90°，
∵∠AOF+∠FAO=90°，
∴∠FAO=∠DOE，
∵∠DEO=∠AFO=90°， OD=OA，
∴△OED≌△AFO，
∴，
∵CD=2AB，
∴
由图象可知，当x=0时，y=4，此时CD为直径，
∴圆O的直径为，
∴OD=1
在Rt△OED中，设OE=x，则DE=2x，
由勾股定理，得
∴
∴
故选：D.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥CD、 OF⊥AB，则，，证明△OED≌△AFO，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设OE=x，得到DE=2x，利用勾股定理列出方程进行求解即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵y=a(x+m-4)(x-m)(a≠0，0，m是常数)，
∴y=0时，x1=4-m，x2=m，
∴二次函数y=a(x+m-4)(x-m)(a≠0，a，m是常数)的对称轴为直线
当a>0时，当x1+x2<5时，
当x1+x2=4，即时，y1=y2，则a(y1-y2)=0
故A选项错误，不合题意；
当a>0时，当x1+x2<3时，
∴
∴y1>y2
∴y1=y2>0
∴a(y1-y2)>0；故B选项正确，符合题意；
当a<0时，当x1+x2>3时，
∴当时，y1则a(y1-y2)>0；故选项C错误，不合题意；
当a<0时，当x1+x2>5时，
∴
∴y1>y2
则a(y1-y2)<0；故选项D错误，不合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质，可知对称轴为x=2，当a>0时，抛物线开口向上，当x1+x2<5时，取x1+x2=4，此时y1=y2，即可判断A；当x1+x2<3时，，此时y1>y2，即可判断B；当a<0时，抛物线开口向下，当x1+x2>3时，取，此时y15时，，此时y1>y2，即可判断D.
11．【答案】15
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵"若从中任取一球，是红球"的概率为，
∴摸到红球的个数(个).
故答案为：15.
【分析】利用古典概型公式求解即可.
12．【答案】十
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：360°÷36°=10，
∴这个正多边形是正十边形.
故答案为：十.
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案.
13．【答案】44°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AB'=CB'
∴∠C=∠CAB'=34°，
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C=∠C'， AB=AB'，
∴∠B=∠AB'B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=34°
∴∠CAB=180°-3×34°=78°，
∴旋转角的度数=∠BAB'=∠BAC-∠CAB'=78°-34°=44°，
故答案为：44°.
【分析】由旋转的性质可得∠C=∠C'，AB=AB'，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB'，∠B=∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵扇形AOB的圆心角∠AOB=90°，半径OA=6
∴OD=OB=OA=6，
∵DE=4，
∴OE=OD+DE=6+4=10，
∵AE⊥AO，
∴∠A=90°，
∴，
∵BG⊥OB，
∴∠B=∠A=90°
∵∠A+∠AOB=180°，
∴OB//AE.
∴∠BOG=∠E，
∴△BOG~△AEO
∴
∴
故答案为：.
【分析】因为扇形AOB的半径OA=6，所以OD=OB=OA=6，而DE=4，所以OE=10，由AE⊥AO，得∠A=90°，则，再证明△BOG~△AEO，则，进而即可求解.
15．【答案】②③
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，所以①错误；
∵抛物线与一次函数y=mx+n的图象相交于A，B两点，
点A的横坐标为-3，点B的横坐标为2，
∴当-3≤x≤2时， mx+n≥ax2+bx+c，
所以②正确；
∵x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，所以③正确；
∴x=-3时，y<0，
∴9a-3b+c<0
∵b=2a，
∴9a-6a+c<0
即3a+c<0，所以④错误；
故答案为：②③.
【分析】先利用抛物线开口方向得到a>0，利用抛物线的对称性方程得到b=2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0，则可对①进行判断；利用一次函数图象不在二次函数图象的下方所对应的自变量的范围可对②进行判断；由于x=-1时，y<0，则可对③进行判断；由于x=-3时，y<0，则9a-3b+c<0，然后把b=2a代入可对④进行判断.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接EO，作AF⊥CD于点F，则EO=AO，∠AFC=90°，
∵将△AOC沿AC折叠得到△ADC，CD交弧AB于点E，
∴AD=AO，∠ACD=∠ACO， ∠D=∠AOC，
∵AE=AD
∴AE=AO=EO，EF=DF，∠D=∠AED，
∴△AOE是等边三角形，∠AOC=∠AED，
∴∠OAE=60°，∠AOC+∠AEC=∠AED+∠AEC=180°，
∵∠OCD+∠OAE=360°-(∠AOC+∠AEC)=180°，
∴∠OCD=180°-∠OAE=120°，
∴，
∴∠CAN=90°-∠ACD=30°.
∵CE=DE=2，
∴，
∴CF=CE+EF=3，
∴AC=2CF=6.
∴，
∴，
∴⊙O的半径长是，
故答案为：.
【分析】连接EO，作AF⊥CD于点F，则EO=AO，∠AFC=90°，由折叠得AD=AO，∠ACD=∠ACO， ∠D=∠AOC，而AE=AD，可证明△AOE是等边三角形，∠AOC=∠AED，则∠OAE=60°，推导出∠AOC+∠AEC=180°，进而证明∠OCD+∠OAE=180°，则∠OCD=120°，求得，所以∠CAN=30°，因为CE=DE=2，所以EF=DF=1， 则CF=3，AC=2CF=6， 求得， 进而即可求解.
17．【答案】（1）；
（2）解：如图所示：
由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶
数的情况12种，
∴小亮胜的概率为：；
小明胜的概率为：；
两人获胜概率不相等
∴该游戏不公平.
【知识点】几何概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：(1)PA盘数字大于3；
PB盘数字小于5.
故答案为：；.
【分析】(1)根据概率的概念进行求值即可；
(2)先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可.
18．【答案】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）(5，2)；
（3）
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-作三角形的外接圆；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：(2)点O的坐标为(5，2)，外接圆的半径.
故答案为：(5，2)，.
(3)取AC的中点H，连接OH.
∵OA=OC，AH=CH，
∴OH⊥AC，
∴该圆圆心到弦AC的距离为.
故答案为：.
【分析】(1)根据三角形外心的性质，分别作AB与BC的垂直平分线，两直线相交于点O，则O点即是△ABC的外接圆的圆心；
(2)根据点的位置判断即可，利用勾股定理求出半径；
(3)取AC的中点H，连接OH，根据等腰三角形三线合一可知OH⊥AC，利用勾股定理求出OH即可.
19．【答案】（1）(0，4)
（2）>1
（3）解：∵二次函数解析式中的a=-1<0，顶点坐标为(1，5)，
∴二次函数的开口方向向下，最大值为5，
当x=0时，y=4，
当x=3时，y=1，
∴当0【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：(1)∵当x=0时，y=4，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为(0，4)，
故答案为：(0，4).
(2)∵二次函数解析式中的a=-1<0，
∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线x=1
∴当x>1时，y的值随x的值增大而减小，
故答案为：>1.
【分析】(1)求出当x=0时，y的值，即可得到答案；
(2)根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可；
(3)根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可.
20．【答案】（1）证明：∵ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°
∴∠BAD+ADB=120°
∵∠ADE=60°
∴∠ADB+EDC=120°
∴∠DAB=∠EDC
∵∠B=∠C=60°
∴△ABD∽△DCE
（2）解：∵△ABD∽△DCE
∴
∵BD=3，CE=2，
∴
解得AB=9
∴△ABC的边长为9.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；
(2)可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长.
21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
∵C是BD的中点，
∴OC垂直平分BD
∴∠OEB=90°
∴∠ADB=∠OEB
∴ADIIOC
（2）解：由(1)∠OEB=90°，AD//OC
∵BO=5，BE=4
∴
∵CO=BO=5，
∴CE=CO-OE=5-3=2，
∵AD//CE
∴△BOE∽△BAD∽△CEF
∴，
∴AD=2OE=2×3=6
∴
∴
∵DE =BE=4
∴
∴DF=3
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的性质-对应边；同位角相等，两直线平行；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据题意得到∠ADB=90°，根据垂径定理得到∠OEB=90°，即可得到结论；(2)∠OEB=90°，AD//OC，根据勾股定理求出OE=3，继而得到CE=2，可得到是△BOE∽△BAD∽△CEF，得出AD=6，，计算即可得到答案.
22．【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标是(4，3)，
设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+3，
把(10，0)代入，得，36a+3=0
解得
则抛物线解析式为：
（2）解：当x=0时，，
故：能射进球门.
（3）解：当x=2时，，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当y=2.52时，，
解得：x1=1.6，x2=6.4(舍去)，
∴2-1.6=0.4(m)，
答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
(2)令x=0时，求出y值与2.44米作比较解题；
(3)求出x=2时的函数值可得不能阻止此次射门，然后把 y=2.52代入求出x值解题即可.
23．【答案】（1）解：抛物线y=ax2+4x+3(a>0)的顶点在x轴上，
∴Δ=42-4a×3=0，
∴
∴该抛物线的函数表达式为.
（2）解：①若k=1，则y=x，
∵为直线y=x(k≠0)与抛物线y=ax2+4x+3(a>0)的交点，
∴
∴
∴若k=1，a的值为
②抛物线y=ax2+4x+3的对称轴为直线
∵B(x2，y2)，C(x3，y3)两点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，y2=y3，
∴B，C两点关于对称轴直线对称，
∴
∴
∵直线y=kx(k≠0)与该抛物线相交于，B(x2，y2)两点，
∴
∴x1，x2是方程ax2+(4-k)x+3=0(a>0)的两个根.
∴
∵
∴x2=-3.
∴ ，
∴，
∵a>0，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论；
②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得x2，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论.
24．【答案】（1）解：如图，连接OD、OP，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵点P是的中点，
∴
又∵AB为直径，
∴，即∠POD=90°，∠ADB=90°，
∴∠PAD=45°，
∴∠AED=90°-45°=45°，
∴∠AEB=135°
（2）证明：①连接AC，
由(1)得，，
∴∠DAC=∠ABD， ∠PAC=∠PAB，DA=DC，
∴∠PAD=∠DAC+∠PAC=∠ABD+∠PAB，即∠PAD=∠DEA，
∴DA=DE，
∵DA=DC，
∴DE=DC；
②连结PB，
由①得∠PAD=∠DEA，
∴∠PEB=∠PBE，
∴PB=PE，
∵，
∴∠PBF=∠PAB， ∠P=∠P，
∴△PBF~△PAB，
∴，即PF·AP=PB2=PE2，
∵AP-PF=AF，
∴PF·AP-PF2=PF·AF，即PE2-PF2=PF·AF.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由题易得，∠ADB=90°，进而可知∠PAD=45°=∠AED，最后即可得解；
(2)①通过导角可得∠PAD=∠DEA，所以DA=DE=DC；
②证△PBF~△PAB，可得PF·AP=PB2=PE2，再利用AP-PF=AF，代入即可得证.
1 / 1浙江省杭州市拱墅区华东师大附属杭州学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．（2025九上·拱墅期中）下列选项中的事件，属于必然事件的是(　　)
A．任意掷一枚硬币，正面朝上
B．若a、b是实数. 则|a-b|≥0
C．两数相乘，积为正数
D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷硬币正面朝上是随机事件，不一定发生，A错误；
B、若a，b是实数，根据绝对值的性质，∣a-b∣≥0恒成立，故该事件必然发生，B正确；
C、两数相乘积为正数是随机事件（如异号两数相乘为负数），C错误；
D、运动员连续两次投进篮筐是随机事件，不一定发生，D错误．
故答案为：B.
【分析】必然事件：在一定条件下必然会发生的事件．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
2．（2025九上·拱墅期中）若⊙O的半径是3，点P在圆外，则OP 的长可能是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是3，点P在圆外，
∴OP的长大于3.
故选：A.
【分析】根据点在圆外时，点与圆心的距离大于半径即可确定.
3．（2025九上·拱墅期中）如果，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴或．
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
4．（2025九上·拱墅期中）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F. 若DE=3，EF=6，AB=4，则AC的长为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1//l2//l3，
∴
即
∴AC=12.
故答案为：D.
【分析】先利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，然后把DE=3，EF=6，AB=4，代入计算即可得到AC的长.
5．（2025九上·拱墅期中）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(　　)
A．1米 B．2米 C．(3- )米 D．米
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接OC，交AB于D，
由题意得：OA=OC=3米，OC⊥AB，
∴米，∠ADO=90°，
在Rt△ODA中
米，
∴米，
即点C到弦4B所在直线的距离是米，
故选：C.
【分析】连接OC，交AB于D，由垂径定理得(米)，再由勾股定理得(米)，然后求出CD的长即可.
6．（2025九上·拱墅期中）如图，已知四边形ABCD是OO的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于(　　)
A．64° B．60° C．54° D．52°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠AOC=128°，
∴∠ABC=64°，
∵四边形ABCD是O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-64°=116°，
∴∠CDE=180°-∠ADC=64°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理先求出∠ABC=64°，再根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案.
7．（2025九上·拱墅期中）已知二次函数图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下，则关于x的方程bx=15的解为(　　)
x … -3 0 2 …
y 　 15 0 0 …
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx图象的对称轴为直线，图象经过点(-3，15)，
∴二次函数y=ax2+bx的图象经过点(5，15)，
∴关于x的方程ax2+bx=15的解为x1=-3，x2=5.
故选：A.
【分析】由表格可知，二次函数y=ax2+bx图象的对称轴为直线，图象经过点(-3，15)，结合抛物线的对称性可得二次函数y=ax2+bx的图象经过点(5，15)，则可得关于x的方程ax2+bx=15的解.
8．（2025九上·拱墅期中）如图，已知等边△ABC，以BC为直径的圆分别交边AB，AC于点D，E，若BC=2，则弧DE的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，OE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°
∵BC为直径，BC=2，
∴OD=OB=OC=OE=1
∴△OBD，△OCE均为等边三角形，
∴∠BOD=∠COE=60°
∴∠DOE=180°-60-60°=60°，
∴弧DE的长为
故选：B.
【分析】根据等边三角形的性质，得到△OBD，△OCE均为等边三角形，进而求出∠DOE的度数，利用弧长公式进行求解即可.
9．（2025九上·拱墅期中）如图1，已知AB，CD是⊙O中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足 设弦AB=x， y关于x的函数图象如图2所示，当CD=2AB时，求CD的长(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥CD、 OF⊥AB，
则： OA=OB=OC=OD，，，，
∵AB+CD=180°，
∴∠COD+∠AOB=180°，
∴∠DOE+∠AOF=90°，
∵∠AOF+∠FAO=90°，
∴∠FAO=∠DOE，
∵∠DEO=∠AFO=90°， OD=OA，
∴△OED≌△AFO，
∴，
∵CD=2AB，
∴
由图象可知，当x=0时，y=4，此时CD为直径，
∴圆O的直径为，
∴OD=1
在Rt△OED中，设OE=x，则DE=2x，
由勾股定理，得
∴
∴
故选：D.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥CD、 OF⊥AB，则，，证明△OED≌△AFO，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设OE=x，得到DE=2x，利用勾股定理列出方程进行求解即可.
10．（2025九上·拱墅期中） 已知二次函数y=a(x+m-4)(x-m)(a≠0，a，m是常数)的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵y=a(x+m-4)(x-m)(a≠0，0，m是常数)，
∴y=0时，x1=4-m，x2=m，
∴二次函数y=a(x+m-4)(x-m)(a≠0，a，m是常数)的对称轴为直线
当a>0时，当x1+x2<5时，
当x1+x2=4，即时，y1=y2，则a(y1-y2)=0
故A选项错误，不合题意；
当a>0时，当x1+x2<3时，
∴
∴y1>y2
∴y1=y2>0
∴a(y1-y2)>0；故B选项正确，符合题意；
当a<0时，当x1+x2>3时，
∴当时，y1则a(y1-y2)>0；故选项C错误，不合题意；
当a<0时，当x1+x2>5时，
∴
∴y1>y2
则a(y1-y2)<0；故选项D错误，不合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质，可知对称轴为x=2，当a>0时，抛物线开口向上，当x1+x2<5时，取x1+x2=4，此时y1=y2，即可判断A；当x1+x2<3时，，此时y1>y2，即可判断B；当a<0时，抛物线开口向下，当x1+x2>3时，取，此时y15时，，此时y1>y2，即可判断D.
11．（2025九上·拱墅期中）一个口袋装有红球、黄球共50枚，“若从中任取一球，是红球”的概率为 ，则这个口袋中有　 　个红球.
【答案】15
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵"若从中任取一球，是红球"的概率为，
∴摸到红球的个数(个).
故答案为：15.
【分析】利用古典概型公式求解即可.
12．（2025九上·拱墅期中） 已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数是　 　.
【答案】十
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：360°÷36°=10，
∴这个正多边形是正十边形.
故答案为：十.
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案.
13．（2025九上·拱墅期中） 如图，在△ABC中，∠C=34°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到△AB'C'. 若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠B'AB=　 　.
【答案】44°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AB'=CB'
∴∠C=∠CAB'=34°，
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C=∠C'， AB=AB'，
∴∠B=∠AB'B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=34°
∴∠CAB=180°-3×34°=78°，
∴旋转角的度数=∠BAB'=∠BAC-∠CAB'=78°-34°=44°，
故答案为：44°.
【分析】由旋转的性质可得∠C=∠C'，AB=AB'，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB'，∠B=∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解.
14．（2025九上·拱墅期中） 如图，扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，半径OA=6，点D是AB上一点. AE⊥AO交OD的延长线于点E，BG⊥OB交OE于点G. 若DE=4，则BG=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵扇形AOB的圆心角∠AOB=90°，半径OA=6
∴OD=OB=OA=6，
∵DE=4，
∴OE=OD+DE=6+4=10，
∵AE⊥AO，
∴∠A=90°，
∴，
∵BG⊥OB，
∴∠B=∠A=90°
∵∠A+∠AOB=180°，
∴OB//AE.
∴∠BOG=∠E，
∴△BOG~△AEO
∴
∴
故答案为：.
【分析】因为扇形AOB的半径OA=6，所以OD=OB=OA=6，而DE=4，所以OE=10，由AE⊥AO，得∠A=90°，则，再证明△BOG~△AEO，则，进而即可求解.
15．（2025九上·拱墅期中） 如图，二次函数 的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为-3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=-1.下列结论：①abc>0；②当-3≤x≤2时，mx+n≥ax2+bx+c；③a-b+c<0；④3a+c>0.其中正确的是　 　.(只填写序号)
【答案】②③
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，所以①错误；
∵抛物线与一次函数y=mx+n的图象相交于A，B两点，
点A的横坐标为-3，点B的横坐标为2，
∴当-3≤x≤2时， mx+n≥ax2+bx+c，
所以②正确；
∵x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，所以③正确；
∴x=-3时，y<0，
∴9a-3b+c<0
∵b=2a，
∴9a-6a+c<0
即3a+c<0，所以④错误；
故答案为：②③.
【分析】先利用抛物线开口方向得到a>0，利用抛物线的对称性方程得到b=2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0，则可对①进行判断；利用一次函数图象不在二次函数图象的下方所对应的自变量的范围可对②进行判断；由于x=-1时，y<0，则可对③进行判断；由于x=-3时，y<0，则9a-3b+c<0，然后把b=2a代入可对④进行判断.
16．（2025九上·拱墅期中） 如图，扇形AOB的圆心角∠AOB>60°，点C在OB上，将△AOC沿AC折叠得到 CD交弧AB于点E，连结AE，恰有AE=AD，若CE=DE=2，则⊙O的半径长是　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接EO，作AF⊥CD于点F，则EO=AO，∠AFC=90°，
∵将△AOC沿AC折叠得到△ADC，CD交弧AB于点E，
∴AD=AO，∠ACD=∠ACO， ∠D=∠AOC，
∵AE=AD
∴AE=AO=EO，EF=DF，∠D=∠AED，
∴△AOE是等边三角形，∠AOC=∠AED，
∴∠OAE=60°，∠AOC+∠AEC=∠AED+∠AEC=180°，
∵∠OCD+∠OAE=360°-(∠AOC+∠AEC)=180°，
∴∠OCD=180°-∠OAE=120°，
∴，
∴∠CAN=90°-∠ACD=30°.
∵CE=DE=2，
∴，
∴CF=CE+EF=3，
∴AC=2CF=6.
∴，
∴，
∴⊙O的半径长是，
故答案为：.
【分析】连接EO，作AF⊥CD于点F，则EO=AO，∠AFC=90°，由折叠得AD=AO，∠ACD=∠ACO， ∠D=∠AOC，而AE=AD，可证明△AOE是等边三角形，∠AOC=∠AED，则∠OAE=60°，推导出∠AOC+∠AEC=180°，进而证明∠OCD+∠OAE=180°，则∠OCD=120°，求得，所以∠CAN=30°，因为CE=DE=2，所以EF=DF=1， 则CF=3，AC=2CF=6， 求得， 进而即可求解.
17．（2025九上·拱墅期中） 小明和小亮用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成五个面积相等的扇形)做游戏，转动两个转盘各一次.
（1）转动A盘，指针指向的数字大于3 的概率是　 　，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是　 　；
（2）若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平 并说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：如图所示：
由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶
数的情况12种，
∴小亮胜的概率为：；
小明胜的概率为：；
两人获胜概率不相等
∴该游戏不公平.
【知识点】几何概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：(1)PA盘数字大于3；
PB盘数字小于5.
故答案为：；.
【分析】(1)根据概率的概念进行求值即可；
(2)先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可.
18．（2025九上·拱墅期中） 如图，平面直角坐标系中有一个△ABC.
（1）利用网格，只用无刻度的直尺作出△ABC的外接圆的圆心点O；
（2）的外接圆的圆心坐标是　 　；外接圆半径为　 　；
（3）该圆圆心到弦AC的距离为　 　；
【答案】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）(5，2)；
（3）
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-作三角形的外接圆；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：(2)点O的坐标为(5，2)，外接圆的半径.
故答案为：(5，2)，.
(3)取AC的中点H，连接OH.
∵OA=OC，AH=CH，
∴OH⊥AC，
∴该圆圆心到弦AC的距离为.
故答案为：.
【分析】(1)根据三角形外心的性质，分别作AB与BC的垂直平分线，两直线相交于点O，则O点即是△ABC的外接圆的圆心；
(2)根据点的位置判断即可，利用勾股定理求出半径；
(3)取AC的中点H，连接OH，根据等腰三角形三线合一可知OH⊥AC，利用勾股定理求出OH即可.
19．（2025九上·拱墅期中） 已知二次函数. 的图象如图所示.
（1）该抛物线与y轴的交点坐标是　 　；
（2）当x　 　时，y的值随x的值增大而减小；
（3）当0【答案】（1）(0，4)
（2）>1
（3）解：∵二次函数解析式中的a=-1<0，顶点坐标为(1，5)，
∴二次函数的开口方向向下，最大值为5，
当x=0时，y=4，
当x=3时，y=1，
∴当0【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：(1)∵当x=0时，y=4，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为(0，4)，
故答案为：(0，4).
(2)∵二次函数解析式中的a=-1<0，
∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线x=1
∴当x>1时，y的值随x的值增大而减小，
故答案为：>1.
【分析】(1)求出当x=0时，y的值，即可得到答案；
(2)根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可；
(3)根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可.
20．（2025九上·拱墅期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长.
【答案】（1）证明：∵ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°
∴∠BAD+ADB=120°
∵∠ADE=60°
∴∠ADB+EDC=120°
∴∠DAB=∠EDC
∵∠B=∠C=60°
∴△ABD∽△DCE
（2）解：∵△ABD∽△DCE
∴
∵BD=3，CE=2，
∴
解得AB=9
∴△ABC的边长为9.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；
(2)可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长.
21．（2025九上·拱墅期中） 如图，AB是OO的直径，D是⊙O上一点，连接AD和BD，C是BD的中点，连接OC和AC，分别交BD于点E和F.
（1）证明：AD∥OC；
（2）若BO=5，BE=4，求DF的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
∵C是BD的中点，
∴OC垂直平分BD
∴∠OEB=90°
∴∠ADB=∠OEB
∴ADIIOC
（2）解：由(1)∠OEB=90°，AD//OC
∵BO=5，BE=4
∴
∵CO=BO=5，
∴CE=CO-OE=5-3=2，
∵AD//CE
∴△BOE∽△BAD∽△CEF
∴，
∴AD=2OE=2×3=6
∴
∴
∵DE =BE=4
∴
∴DF=3
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的性质-对应边；同位角相等，两直线平行；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据题意得到∠ADB=90°，根据垂径定理得到∠OEB=90°，即可得到结论；(2)∠OEB=90°，AD//OC，根据勾股定理求出OE=3，继而得到CE=2，可得到是△BOE∽△BAD∽△CEF，得出AD=6，，计算即可得到答案.
22．（2025九上·拱墅期中） 2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线 向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高OA为2.44m.
（1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；
（2）梅西的射门，足球能否射进球门(不考虑其他影响因素)
（3）守门员站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止梅西的此次射门吗 如果不能，需要至少后退几米
【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标是(4，3)，
设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+3，
把(10，0)代入，得，36a+3=0
解得
则抛物线解析式为：
（2）解：当x=0时，，
故：能射进球门.
（3）解：当x=2时，，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当y=2.52时，，
解得：x1=1.6，x2=6.4(舍去)，
∴2-1.6=0.4(m)，
答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
(2)令x=0时，求出y值与2.44米作比较解题；
(3)求出x=2时的函数值可得不能阻止此次射门，然后把 y=2.52代入求出x值解题即可.
23．（2025九上·拱墅期中） 已知抛物线
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式.
（2）直线y=kx(k≠0)与该抛物线相交于两点.
①若k=1，求a的值.
②点C(x3，y3)在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时， 求a的取值范围.
【答案】（1）解：抛物线y=ax2+4x+3(a>0)的顶点在x轴上，
∴Δ=42-4a×3=0，
∴
∴该抛物线的函数表达式为.
（2）解：①若k=1，则y=x，
∵为直线y=x(k≠0)与抛物线y=ax2+4x+3(a>0)的交点，
∴
∴
∴若k=1，a的值为
②抛物线y=ax2+4x+3的对称轴为直线
∵B(x2，y2)，C(x3，y3)两点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，y2=y3，
∴B，C两点关于对称轴直线对称，
∴
∴
∵直线y=kx(k≠0)与该抛物线相交于，B(x2，y2)两点，
∴
∴x1，x2是方程ax2+(4-k)x+3=0(a>0)的两个根.
∴
∵
∴x2=-3.
∴ ，
∴，
∵a>0，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论；
②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得x2，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论.
24．（2025九上·拱墅期中）如图1，已知ABCD内接于⊙O，连接BD，BD平分∠ABC，点P是BC的中点，连接AP分别交BD，BC于点E，F.
（1）如图2，若AB为⊙O的直径，求∠AEB的度数.
（2）求证：
【答案】（1）解：如图，连接OD、OP，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵点P是的中点，
∴
又∵AB为直径，
∴，即∠POD=90°，∠ADB=90°，
∴∠PAD=45°，
∴∠AED=90°-45°=45°，
∴∠AEB=135°
（2）证明：①连接AC，
由(1)得，，
∴∠DAC=∠ABD， ∠PAC=∠PAB，DA=DC，
∴∠PAD=∠DAC+∠PAC=∠ABD+∠PAB，即∠PAD=∠DEA，
∴DA=DE，
∵DA=DC，
∴DE=DC；
②连结PB，
由①得∠PAD=∠DEA，
∴∠PEB=∠PBE，
∴PB=PE，
∵，
∴∠PBF=∠PAB， ∠P=∠P，
∴△PBF~△PAB，
∴，即PF·AP=PB2=PE2，
∵AP-PF=AF，
∴PF·AP-PF2=PF·AF，即PE2-PF2=PF·AF.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由题易得，∠ADB=90°，进而可知∠PAD=45°=∠AED，最后即可得解；
(2)①通过导角可得∠PAD=∠DEA，所以DA=DE=DC；
②证△PBF~△PAB，可得PF·AP=PB2=PE2，再利用AP-PF=AF，代入即可得证.
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