资源简介

浙江省杭州二中白马湖学校2025-2026学年八年级上学期数学期末校考卷
1．（2026八上·杭州期末）若点A的坐标为(3，-2)，则点A所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2026八上·杭州期末）若一个三角形三边长分别为3，7，a，则a的值可以是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2026八上·杭州期末）下列四个不等式中，一定可以推出的是
A． B． C． D．
4．（2026八上·杭州期末） 将一副三角板按照如图方式摆放， 点C、 B、E共线， ∠FEB=63°， 则∠EDB的度数为(　　)
A．12° B．15° C．18° D．22°
5．（2026八上·杭州期末）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若 ，则 B．等边三角形是锐角三角形
C．相等的角是对顶角 D．全等三角形的面积相等
6．（2026八上·杭州期末）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)
A．∠A+∠B=∠ACB
B．∠A=2∠B=3∠C
C．∠A-∠B=∠C
D．AB： BC： AC=5： 12： 13
7．（2026八上·杭州期末） 如图， 已知等腰△ABO的底边BO在x轴上， 且BO=8， AB=AO=5， 点A的坐标是(　　)
A．(-3，4) B．(3， - 4) C．(-4， 3) D．(4， - 3)
8．（2026八上·杭州期末）不等式组 有3个整数解，则a的取值范围是(　　)
A．4≤a<5 B．49．（2026八上·杭州期末） 已知(x1， y1)，(x2，y2)， (x3， y3) 为直线y=-2x+1上的三个点， 且， 则以下判断正确的是(　　)
A．若y1y3<0， 则x1x2>0 B．若y1y2>0， 则x2x3>0
C．若y2y3<0， 则x1 x3>0 D．若y2y3<0， 则x1x2>0
10．（2026八上·杭州期末） 如图， △ABC中， ∠BAC=60°， ∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD 相交于D. DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD； ③DM平分∠EDF； ④AB+AC= AD；正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
11．（2026八上·杭州期末）直角三角形斜边上的中线长是5，则斜边长度为　 　.
12．（2026八上·杭州期末）若一个等腰三角形中有两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为　 　．
13．（2026八上·杭州期末）已知点M(-2，m)，把点M向下平移6个单位得到点K.若点M和K关于x轴对称，则m的值为 　 　．
14．（2026八上·杭州期末）已知每本笔记本2元，每支钢笔5元.若小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，则小聪最多能买的钢笔支数是 .
15．（2026八上·杭州期末）函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A (1， 2)， B(3， 0)， 则不等式0< kx+b<2x的解集为　 　.
16．（2026八上·杭州期末）如图， 在△ABC中， 点D， E， F分别在边AB，BC， AC上， 连接DE， DF， EF.点B和点F关于直线DE对称，设 若AD=BD，则 　 　(结果用含k的代数式表示).
17．（2026八上·杭州期末） 解不等式（组）：
（1）；
（2）．
18．（2026八上·杭州期末）把 放置在如图的网格纸中，已知每个小正方形的边长都为1.
（1）请在网格纸中建立合适的平面直角坐标系，使点 A，B的坐标分别为(-3，-1)，(-1，-2)；
（2） 画出 关于y轴的对称图形 并写出点 的坐标；
（3）已知点 P 是线段上任意一点，用恰当的方式表示点 P 的坐标.
19．（2026八上·杭州期末）如图1， 在 中．过点C作CD∥AB， 且CD=BC，小滨与小江尝试用尺规作E为边BC上一点.
小滨：如图2，以点C为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则
小江：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点 E.
连结DE，则
小滨：小江，你的作法有问题．
小江：哦……我明白了！
（1） 证明：
（2）指出小江作法中存在的问题.
20．（2026八上·杭州期末）卫生防疫部门规定游泳池必须定期换水、清洗．我区某游泳池周六早上从8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完.游泳池内的水量Q 和开始排水后的时间s(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）直接写出排水孔的排水速度，并求当 时，Q关于t的函数表达式.
（2）排水多少小时后游泳池内存水量小于300立方米
21．（2026八上·杭州期末）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.其中 连结 AE交BG于点P，连结BE，得到图1若
（1） 求证：EF=DF；
（2） 延长AE， 交BC于点M， 若AB=5，求CM的长.
22．（2026八上·杭州期末） 一次函数y1= ax+b(a≠0) 的图象恒过定点(1， 1).
（1）①若图象还经过(2，3)，求该一次函数的表达式.
②若当-3≤x≤4时，一次函数y1的最大值和最小值的差是6，求b的值.
（2） 对于一次函数y2=2x+a 当x>0时，y123．（2026八上·杭州期末）根据以下素材，探索解决问题．如何剪出直角三角形的完美线
素材：在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角兰角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”.
（1）项目操作：如图，有一张直角三角形纸片，请画出“完美线”示意剪法，并标出两个锐角的度数．
（2）项目探索：如图，在直角三角形纸片中，∠C=90°，过点C剪一刀，剪痕与AB交于点D.你发现CD满足什么条件时．CD是直角三角形的“完美线”并说明理由．
（3） 项目拓展： 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， AB=2， Rt△ABC的“完美线”与AB交于点D， 将△ACD沿“完美线”翻折得到△A'CD， 求A'A的长度．
24．（2026八上·杭州期末） 已知 和 都是等腰直角三角形， 且A，D，E三点在同一条直线上.
（1） 当与 在如图1所示位置时，连接CE，求证：
（2）在(1)的条件下，判断AE，CE，BD之间的数量关系，并说明理由：
（3） 当 与 在如图2所示的位置时，连接CE，若BE平分求 E的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵A的横坐标的符号为正，纵坐标的符号为负，
∴点A(3，-2)第四象限
故选：D.
【分析】先确定点A横、纵坐标的符号，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：7-3∴4∴a的值可以是5.
故选：A.
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到43．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、当ac>bc，且c=0时，判断不了a，b的大小关系，故A不符合题意；
B、 由a-b>0可得a>b，故B符合题意；
C、由a+c> b-c，不能得出a>b，故C不符合题意；
D、由 得，当a 故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质逐个分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠FEB=63°，∠FED=45°，
∴∠DEB=∠FEB-∠FED=63°-45°=18°
又∵∠ABC是△BDE的外角，
∴∠EDB=∠ABC-∠DEB=30°-18°=12°.
故选：A.
【分析】由∠FEB=63°，∠FED=45°，结合∠DEB=∠FEB-∠FED，可求出∠DEB的度数，由∠ABC是△BDE的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出∠EDB的度数.
5．【答案】C
【知识点】平方根；三角形全等的判定；等边三角形的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、若a=b，则a2=b2，逆命题为：若a2=b2，则a=b，a不一定等于b，故此逆命题是假命题，故A不符合题意；
B、等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，故B不符合题意；
C、相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，此命题是真命题，故C符合题意；
D、全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形全等，此命题是假命题，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别写出各个选项中的逆命题，再利用相关的知识对逆命题的真假作出判断。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
B、由∠A=2∠B=3∠C，设∠A=6k， ∠B=3k，∠C=2k，根据∠A+∠B+∠C=180°，可得6k+3k+2k=180°，解得，最大角，△ABC不是直角三角形，故符合题意；
C、由∠A-∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠A=90°，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由AB：BC：AC=5：12：13，设AB=5k，BC=12k，AC=13k，
∴AB2+BC2=25k2+144k2=169k2，AC2=169k2，故AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形，故不符合题意.
故选：B.
【分析】根据∠A+∠B=∠C得到∠C=90°，得到具备条件A的△ABC是直角三角形；根据三角形内角和等于180°，∠A=2∠B=3∠C，得到，得到具备条件B的△ABC不是直角三角形；根据∠A-∠B=∠C，得到∠A=90°，得到具备条件C的△ABC是直角三角形；根据AB：BC：AC=5：12：13，设AB=5k，BC=12k，AC=13k，根据勾股定理的逆定理，得到具备条件D的△ABC是直角三角形.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A作AC⊥OB于C，
∵AB=AO，
∴，
∴，
∴A(-4，3)，
故选：C.
【分析】过A作AC⊥OB于C，若求顶点A的坐标则求出AC和OC的长即可.
8．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组有3个整数解，
解不等式组，得2∵不等式组有3个整数解，
∴整数解为3，4，5，
∴5≤a+1<6，
解得4≤a<5，
故选：A.
【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a的取值范围.
9．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由k=-2<0可知y随x增大而减小，
∵y1∴x1>x2>x3，
A、由条件可知y1<0，y3>0，对于y=-2x+1，当y=0时，，当y<0时，，当y>0时，，
∴，，而x2的符号不能确定，
∴不能判定x1x2>0，故A错误，不符合题意；
B、由条件可知y1与y2同号，若同为负数时，
∵y1∴y1<0，y2<0，同理，，而x3的符号不能确定，
∴不能判定x2x3>0，
若同为正数时，当0此时x1=0.25，x2=0.1，x3=-1，满足x1>x2>x3， 但x2x3<0，
综上，B错误，不符合题意；
C、由条件可知y3与y2异号，
∵y1∴y2<0，y3>0，同理，，而x1>x2，
∴，
∴不能判定x1x3>0，故C错误，不符合题意；
D、由条件可知y3与y2异号，
∵y1∴y2<0，y3>0，同理，，而x1>x2，
∴，
∴能判定x1x2>0，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数y=-2x+1的增减性，逐项分析判断即可解答.
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF，
∴①正确；
∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠FAD=30°，
∵DE⊥AB，∠EAD=30°
∴
同理：
∴DE+DF =AD，
∴②正确；
∵ED=DF
∴若DM平分∠EDF，则DM⊥EF，与MD⊥BC矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接BD、DC，
∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BEDRt△CFD(HL)，
∴BE=FC
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC=AE+AF，
∵Rt△AED中，，Rt△AFD中，，
∴
∴
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选：D.
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知，，从而可证明②正确；若DM平分∠EDF，则DM⊥EF，与MD⊥BC矛盾，可得③错误；连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，AB+AC=AE+AF=3AD，从而证明④.
11．【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而中线长是5，所以斜边为10.
故答案为：10.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质解答即可.
12．【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，∵，∴不能构成三角形，故舍去，
故填：15
【分析】分两种情况，当3为底时或者是当3为腰时，分别求解即可.
13．【答案】3
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意，点M(-2，m)向下平移6个单位得到点K，
则点K(-2，m-6)，
又∵点M和K关于x轴对称，
∴m+m-6=0，
解得：m=3
故答案为：3.
【分析】首先根据点的平移确定点K的坐标，在结合关于x轴对称的点的坐标特征为"横坐标相等，纵坐标互为相反数"列出关于m的一元一次方程，求解即可获得答案.
14．【答案】13
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小聪买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，
根据题意得：5x+2(30-x)≤100，
解得：
∵x为整数，
∴x≤13
故答案为：13.
【分析】设小聪买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，根据总价=单价×购买数量结合总价不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其内的最大整数即可得出结论.
15．【答案】1【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由条件可知
解得
∴函数解析式为y=-x+3，
∴不等式0由0<-x+3得x<3，
由-x+3<2x得x>1，
∴不等式0故答案为：1【分析】将点A(1，2)和点B(3，0)代入y=kx+b，可得k，b，代入不等式，分别解不等式0<-x+3和-x+3<2x，取公共部分即可.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BF，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB=DF
∵AD=BD
∴DA=DB=DF
∴∠DBF=∠DFB， ∠A=∠DFA，
∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°，
∴∠DBF+∠DFB+∠A+∠DFA=180°，
∴∠DFA+∠DFB=90°，
∴∠AFB=90°， 即BF⊥AC，
∵，
∴设AB=AC=1， 则BC=k
设CF=x，AF=1-x，
∵AB2-AF2=BF2=BC2-CF2，
∴1-(1-x)2=k2-x2，
解得，
∴
故答案为：.
【分析】先证明BF⊥AC，然后设AB=AC=1，则BC=k，设CF=x，AF=1-x，由"双勾股"可得AB2-
AF2=BF2=BC2-CF2，求解x，即可求解.
17．【答案】（1）解：去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得，
∴不等式的解解集为；
（2）解：
解①得：
解②得：
∴不等式组得解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解不等式的解法：去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（2）先解得每个不等式的解集，再求得两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
18．【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示.
（2）解：如图， 即为所求.
由图可得，点 的坐标为(2，2).
（3）解：点P 的坐标为
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）作出点A，B，C三点关于y轴的对称点A1，B1，C1，然后依次连接各点得到即可；
（3）根据线段上点的坐标特点解答即可.
19．【答案】（1）证明：如图2中，∵AB//CD，
∴∠B=∠ECD，
在△ECD和△ABC中，
∴△ECD≌△ABC(SAS)
（2）解：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，
此时点E的位置可能有两个，SSA不能判定两个三角形全等.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)根据SSA不能判定三角形全等可得结论.
20．【答案】（1）解：Q=-300t+1050
（2）解：由(1)t=2时，Q=450，
∴由题意得，-300t+1050<300，
解得t>2.5，
∴排水2.5小时后游泳池内存水量小于300立方米.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：(1)∵排水时间为：3.5-0.5=3(小时)，一共排水900m3，
∴排水孔排水速度是：900÷3=300(m3/h)；
当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+6，图象过点(3.5，0)，
∵t=1.5时，排水300×1.5=450，此时Q=900-450=450，
∴(2，450)在直线Q=kt+b上；
由条件可得
解得
∴Q=-300t+1050(2≤t≤3.5)；
故答案为：Q=-300t+1050.
【分析】(1)先求出当2≤t≤3.5时，函数图象经过点(3.5，0)，(2，450)，再由待定系数法求解函数表达
式；
(2)由题意得，-300t+1050<300，再解不等式即可.
21．【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF
（2）解：如图，
由(1)知AE=AD
∵∠DFA=90°
∴∠1=∠3
∵△AFD≌△CHB，
∴∠1=∠2
∵∠AGB=∠BHC=90°，
∴∠AGB=∠GHC=90°，
∴AF//CH
∴∠3=∠4=∠5，
∴∠2=∠5
∴ME=MC，设ME=MC=x.
∴AM=AE+EM=5+x，
∵△BGA≌△CHB，
∴AB=BC=5，∠ABG=∠BCH，
∴BM=BC-CM=5-x
∵∠BHC=90°=∠BCH+∠HBC
∴∠ABG+∠HBC=∠ABC=90°，
∴AB2+BM2=AM2，
∴52+(5-x)2=(5+x)2，
解得
∴
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据等角对等边得出AB=AE，进而可得AD=AE，根据三线合一，即可得证；
(2)先证明ME=MC，设ME=MC=x，则AM=AE+EM=5+x， 由△BGA≌△CHB，得到AB=BC=5，∠ABG=∠BCH，则BM=BC-CM=5-x，继而可得∠ABG+∠HBC=∠ABC=90°，再对Rt△ABM运用勾股定理求解即可.
22．【答案】（1）解：①∵该一次函数的表达式为y1=ax+b，图象恒过定点(1，1)，还经过(2，3)，
∴
解得
∴该一次函数的表达式为y1=2x-1.
②∵图象恒过定点(1，1)，
∴a+b=1，即b=1-a，
∴y1=ax+1-a，
当-3≤x≤4时，分两种情况讨论：
当a>0时，y1随x的增大而增大，
当x=4时，y1有最大值为4a+1-a=3a+1，
当x=-3时，y1有最小值为-3a+1-a=-4a+1，
由题意得(3a+1)-(-4a+1)=6，
解得，此时；
当a<0时，y1随x的增大而减小，
当x=-3时，y1有最大值为-3a+1-a=-4a+1，
当x=4时，y1有最小值为4a+1-a=3a+1，
由题意得(-4a+1)-(3a+1)=6，
解得，此时；
故b的值为或；
（2）解：∵图象恒过定点(1，1)，
∴a+b=1，即b=1-a，
∴y1=ax+1-a，
当x>0时，y1即ax+1-a<2x+a，整理得(a-2)x+(1-2a)<0，
设f(x)=(a-2)x+(1-2a)，需f(x)<0对x>0恒成立
分情况讨论：
当a-2=0，即a=2时，
f(x)=-3<0，满足条件；
当a-2≠0时：
若a-2>0，即a>2，则f(x)随x的增大而增大，不满足条件；
若a-2<0，即a<2，则f(x)随x的增大而减小，
此时f(x)要使f(x)<0恒成立，
∴1-2a≤0，解得
∴，
综上，a的取值范围为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法求解即可；
②求得y1=ax+1-a，分当a>0和a<0时两种情况讨论，利用最大值和最小值的差是6，列式求解即可；
(2)根据当x>0时，y10恒成立，分情况讨论即可求解.
23．【答案】（1）解：如图，过点C作CD⊥AB，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-50°=40°，
∠BCD=90°-40°=50°，
∴CD为Rt△ABC的"完美线"；
如图，作AB的垂直平分线，交AB于点E，连接CE，
∵△ABC为直角三角形，CE为斜边上的中线，
∴，
∴∠ACE=∠A=50°， ∠ECB=∠B=40°，
∴CE为Rt△ABC的"完美线"
（2）解：当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，如图所示：
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°， ∠ACD=∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
同理可得：∠B=∠ACD
∴CD为Rt△ABC的"完美线"；
当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，如图所示：
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴，
∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠B
∴CD为Rt△ABC的"完美线"；
综上分析可知，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，或CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，CD为Rt△ABC的"完美线".
（3）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，
∴，，∠A=90°-30°=60°，
当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，如图所示：
∵∠ADC=90°， ∠ACD=∠B=30°，
∴
根据折叠可知，∠A'DC=∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠A'DC=180°，
∴A、D、A'三点共线，
∴AA'=AD+A'D=1；
当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，如图所示：
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴，
∵∠CAD=60°
∴△ACD为等边三角形，
∴AC=CD=AD=1，
根据折叠可知，AC=A'C，AD=A'D，
∴AC=A'C=A'D=AD.
∴四边形ACA'D为菱形，
∴，AA'⊥CD，，
∴
∴；
综上分析可知，或1.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据完美线的定义作图即可；
(2)根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可；
(3)分两种情况，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可.
24．【答案】（1）证明：∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴∠BEA=∠BCA=45°
如图1，记BC与AE相交于点O，
则∠BOE=∠AOC，
∴在△BEO和△ACO中，
∠OBE+∠BOE+∠OEB=180°，∠OAC+∠AOC+∠ OCA=180°，
∵∠BOE=∠AOC
∴∠OBE=∠OAC
即∠EBC=∠EAC
（2）解：
理由如下：
如图1，过点C作CF⊥AE于点F，
∵∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠EBC=45°
∴∠ABD=∠EBC
由(1)知，∠EBC=∠EAC
∴∠ABD=∠EAC，
即∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF(AAS)
∴BD=AF，AD=CF
在等腰直角△BDE中，BD=DE，
∴AF=DE，
∴AD+DF =DF+EF
∴AD=EF，
∴EF=CF，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴
∴
即
（3）解：如图2，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，
∵∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF(AAS)
∴BD=AF，AD=CF
∵BD=DE
∴DE=AF，
∴AD+AE=AE+EF
∴AD=EF，
∴EF=CF，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴∠BEC=180°-∠BED-∠CEF=90°
∵BE平分∠ABC，而在等腰直角△BAC中，∠ABC=45°，
∴∠CBE=∠ABE=22.5°
∴∠ABD=∠DBE-∠ABE=22.5°，
∴∠CAF=22.5°，
∴∠ACE=∠CEF-∠CAF =22.5°，
∴∠ACE=∠CAF
∴AE=CE
∵AD=1，
∴，
∴
在Rt△BDE中，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得∠BEA=∠BCA=45°，再根据三角形内角和定理得和对顶角性质即可得出结论；
(2)过点C作CF⊥AE于点F，证明△ABD≌△CAF(AAS)，得BD=AF，AD=CF.再根据等腰直角△BDE，得BD=DE，从而得出AF=DE，继而得到AD=EF， EF=CF，得到△CFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求得，最后由即可求解；
(3)过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F.证明△ABD≌△CAF(AAS)，得出BD=AF，AD=CF，进而证明AE=CE，从而求得，，，最后由求解即可.
1 / 1浙江省杭州二中白马湖学校2025-2026学年八年级上学期数学期末校考卷
1．（2026八上·杭州期末）若点A的坐标为(3，-2)，则点A所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵A的横坐标的符号为正，纵坐标的符号为负，
∴点A(3，-2)第四象限
故选：D.
【分析】先确定点A横、纵坐标的符号，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限.
2．（2026八上·杭州期末）若一个三角形三边长分别为3，7，a，则a的值可以是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：7-3∴4∴a的值可以是5.
故选：A.
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到43．（2026八上·杭州期末）下列四个不等式中，一定可以推出的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、当ac>bc，且c=0时，判断不了a，b的大小关系，故A不符合题意；
B、 由a-b>0可得a>b，故B符合题意；
C、由a+c> b-c，不能得出a>b，故C不符合题意；
D、由 得，当a 故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质逐个分析判断即可.
4．（2026八上·杭州期末） 将一副三角板按照如图方式摆放， 点C、 B、E共线， ∠FEB=63°， 则∠EDB的度数为(　　)
A．12° B．15° C．18° D．22°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠FEB=63°，∠FED=45°，
∴∠DEB=∠FEB-∠FED=63°-45°=18°
又∵∠ABC是△BDE的外角，
∴∠EDB=∠ABC-∠DEB=30°-18°=12°.
故选：A.
【分析】由∠FEB=63°，∠FED=45°，结合∠DEB=∠FEB-∠FED，可求出∠DEB的度数，由∠ABC是△BDE的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出∠EDB的度数.
5．（2026八上·杭州期末）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若 ，则 B．等边三角形是锐角三角形
C．相等的角是对顶角 D．全等三角形的面积相等
【答案】C
【知识点】平方根；三角形全等的判定；等边三角形的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、若a=b，则a2=b2，逆命题为：若a2=b2，则a=b，a不一定等于b，故此逆命题是假命题，故A不符合题意；
B、等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，故B不符合题意；
C、相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，此命题是真命题，故C符合题意；
D、全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形全等，此命题是假命题，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别写出各个选项中的逆命题，再利用相关的知识对逆命题的真假作出判断。
6．（2026八上·杭州期末）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)
A．∠A+∠B=∠ACB
B．∠A=2∠B=3∠C
C．∠A-∠B=∠C
D．AB： BC： AC=5： 12： 13
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
B、由∠A=2∠B=3∠C，设∠A=6k， ∠B=3k，∠C=2k，根据∠A+∠B+∠C=180°，可得6k+3k+2k=180°，解得，最大角，△ABC不是直角三角形，故符合题意；
C、由∠A-∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠A=90°，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由AB：BC：AC=5：12：13，设AB=5k，BC=12k，AC=13k，
∴AB2+BC2=25k2+144k2=169k2，AC2=169k2，故AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形，故不符合题意.
故选：B.
【分析】根据∠A+∠B=∠C得到∠C=90°，得到具备条件A的△ABC是直角三角形；根据三角形内角和等于180°，∠A=2∠B=3∠C，得到，得到具备条件B的△ABC不是直角三角形；根据∠A-∠B=∠C，得到∠A=90°，得到具备条件C的△ABC是直角三角形；根据AB：BC：AC=5：12：13，设AB=5k，BC=12k，AC=13k，根据勾股定理的逆定理，得到具备条件D的△ABC是直角三角形.
7．（2026八上·杭州期末） 如图， 已知等腰△ABO的底边BO在x轴上， 且BO=8， AB=AO=5， 点A的坐标是(　　)
A．(-3，4) B．(3， - 4) C．(-4， 3) D．(4， - 3)
【答案】C
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A作AC⊥OB于C，
∵AB=AO，
∴，
∴，
∴A(-4，3)，
故选：C.
【分析】过A作AC⊥OB于C，若求顶点A的坐标则求出AC和OC的长即可.
8．（2026八上·杭州期末）不等式组 有3个整数解，则a的取值范围是(　　)
A．4≤a<5 B．4【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组有3个整数解，
解不等式组，得2∵不等式组有3个整数解，
∴整数解为3，4，5，
∴5≤a+1<6，
解得4≤a<5，
故选：A.
【分析】先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定a的取值范围.
9．（2026八上·杭州期末） 已知(x1， y1)，(x2，y2)， (x3， y3) 为直线y=-2x+1上的三个点， 且， 则以下判断正确的是(　　)
A．若y1y3<0， 则x1x2>0 B．若y1y2>0， 则x2x3>0
C．若y2y3<0， 则x1 x3>0 D．若y2y3<0， 则x1x2>0
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由k=-2<0可知y随x增大而减小，
∵y1∴x1>x2>x3，
A、由条件可知y1<0，y3>0，对于y=-2x+1，当y=0时，，当y<0时，，当y>0时，，
∴，，而x2的符号不能确定，
∴不能判定x1x2>0，故A错误，不符合题意；
B、由条件可知y1与y2同号，若同为负数时，
∵y1∴y1<0，y2<0，同理，，而x3的符号不能确定，
∴不能判定x2x3>0，
若同为正数时，当0此时x1=0.25，x2=0.1，x3=-1，满足x1>x2>x3， 但x2x3<0，
综上，B错误，不符合题意；
C、由条件可知y3与y2异号，
∵y1∴y2<0，y3>0，同理，，而x1>x2，
∴，
∴不能判定x1x3>0，故C错误，不符合题意；
D、由条件可知y3与y2异号，
∵y1∴y2<0，y3>0，同理，，而x1>x2，
∴，
∴能判定x1x2>0，故D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数y=-2x+1的增减性，逐项分析判断即可解答.
10．（2026八上·杭州期末） 如图， △ABC中， ∠BAC=60°， ∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD 相交于D. DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD； ③DM平分∠EDF； ④AB+AC= AD；正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF，
∴①正确；
∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠FAD=30°，
∵DE⊥AB，∠EAD=30°
∴
同理：
∴DE+DF =AD，
∴②正确；
∵ED=DF
∴若DM平分∠EDF，则DM⊥EF，与MD⊥BC矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接BD、DC，
∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BEDRt△CFD(HL)，
∴BE=FC
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC=AE+AF，
∵Rt△AED中，，Rt△AFD中，，
∴
∴
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选：D.
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知，，从而可证明②正确；若DM平分∠EDF，则DM⊥EF，与MD⊥BC矛盾，可得③错误；连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，AB+AC=AE+AF=3AD，从而证明④.
11．（2026八上·杭州期末）直角三角形斜边上的中线长是5，则斜边长度为　 　.
【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而中线长是5，所以斜边为10.
故答案为：10.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质解答即可.
12．（2026八上·杭州期末）若一个等腰三角形中有两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为　 　．
【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，∵，∴不能构成三角形，故舍去，
故填：15
【分析】分两种情况，当3为底时或者是当3为腰时，分别求解即可.
13．（2026八上·杭州期末）已知点M(-2，m)，把点M向下平移6个单位得到点K.若点M和K关于x轴对称，则m的值为 　 　．
【答案】3
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据题意，点M(-2，m)向下平移6个单位得到点K，
则点K(-2，m-6)，
又∵点M和K关于x轴对称，
∴m+m-6=0，
解得：m=3
故答案为：3.
【分析】首先根据点的平移确定点K的坐标，在结合关于x轴对称的点的坐标特征为"横坐标相等，纵坐标互为相反数"列出关于m的一元一次方程，求解即可获得答案.
14．（2026八上·杭州期末）已知每本笔记本2元，每支钢笔5元.若小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，则小聪最多能买的钢笔支数是 .
【答案】13
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小聪买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，
根据题意得：5x+2(30-x)≤100，
解得：
∵x为整数，
∴x≤13
故答案为：13.
【分析】设小聪买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，根据总价=单价×购买数量结合总价不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其内的最大整数即可得出结论.
15．（2026八上·杭州期末）函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A (1， 2)， B(3， 0)， 则不等式0< kx+b<2x的解集为　 　.
【答案】1【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由条件可知
解得
∴函数解析式为y=-x+3，
∴不等式0由0<-x+3得x<3，
由-x+3<2x得x>1，
∴不等式0故答案为：1【分析】将点A(1，2)和点B(3，0)代入y=kx+b，可得k，b，代入不等式，分别解不等式0<-x+3和-x+3<2x，取公共部分即可.
16．（2026八上·杭州期末）如图， 在△ABC中， 点D， E， F分别在边AB，BC， AC上， 连接DE， DF， EF.点B和点F关于直线DE对称，设 若AD=BD，则 　 　(结果用含k的代数式表示).
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BF，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB=DF
∵AD=BD
∴DA=DB=DF
∴∠DBF=∠DFB， ∠A=∠DFA，
∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°，
∴∠DBF+∠DFB+∠A+∠DFA=180°，
∴∠DFA+∠DFB=90°，
∴∠AFB=90°， 即BF⊥AC，
∵，
∴设AB=AC=1， 则BC=k
设CF=x，AF=1-x，
∵AB2-AF2=BF2=BC2-CF2，
∴1-(1-x)2=k2-x2，
解得，
∴
故答案为：.
【分析】先证明BF⊥AC，然后设AB=AC=1，则BC=k，设CF=x，AF=1-x，由"双勾股"可得AB2-
AF2=BF2=BC2-CF2，求解x，即可求解.
17．（2026八上·杭州期末） 解不等式（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得，
∴不等式的解解集为；
（2）解：
解①得：
解②得：
∴不等式组得解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解不等式的解法：去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可；
（2）先解得每个不等式的解集，再求得两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
18．（2026八上·杭州期末）把 放置在如图的网格纸中，已知每个小正方形的边长都为1.
（1）请在网格纸中建立合适的平面直角坐标系，使点 A，B的坐标分别为(-3，-1)，(-1，-2)；
（2） 画出 关于y轴的对称图形 并写出点 的坐标；
（3）已知点 P 是线段上任意一点，用恰当的方式表示点 P 的坐标.
【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示.
（2）解：如图， 即为所求.
由图可得，点 的坐标为(2，2).
（3）解：点P 的坐标为
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）作出点A，B，C三点关于y轴的对称点A1，B1，C1，然后依次连接各点得到即可；
（3）根据线段上点的坐标特点解答即可.
19．（2026八上·杭州期末）如图1， 在 中．过点C作CD∥AB， 且CD=BC，小滨与小江尝试用尺规作E为边BC上一点.
小滨：如图2，以点C为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，则
小江：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点 E.
连结DE，则
小滨：小江，你的作法有问题．
小江：哦……我明白了！
（1） 证明：
（2）指出小江作法中存在的问题.
【答案】（1）证明：如图2中，∵AB//CD，
∴∠B=∠ECD，
在△ECD和△ABC中，
∴△ECD≌△ABC(SAS)
（2）解：以点D为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点E，连结DE，
此时点E的位置可能有两个，SSA不能判定两个三角形全等.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)根据SSA不能判定三角形全等可得结论.
20．（2026八上·杭州期末）卫生防疫部门规定游泳池必须定期换水、清洗．我区某游泳池周六早上从8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完.游泳池内的水量Q 和开始排水后的时间s(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）直接写出排水孔的排水速度，并求当 时，Q关于t的函数表达式.
（2）排水多少小时后游泳池内存水量小于300立方米
【答案】（1）解：Q=-300t+1050
（2）解：由(1)t=2时，Q=450，
∴由题意得，-300t+1050<300，
解得t>2.5，
∴排水2.5小时后游泳池内存水量小于300立方米.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：(1)∵排水时间为：3.5-0.5=3(小时)，一共排水900m3，
∴排水孔排水速度是：900÷3=300(m3/h)；
当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数表达式为Q=kt+6，图象过点(3.5，0)，
∵t=1.5时，排水300×1.5=450，此时Q=900-450=450，
∴(2，450)在直线Q=kt+b上；
由条件可得
解得
∴Q=-300t+1050(2≤t≤3.5)；
故答案为：Q=-300t+1050.
【分析】(1)先求出当2≤t≤3.5时，函数图象经过点(3.5，0)，(2，450)，再由待定系数法求解函数表达
式；
(2)由题意得，-300t+1050<300，再解不等式即可.
21．（2026八上·杭州期末）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.其中 连结 AE交BG于点P，连结BE，得到图1若
（1） 求证：EF=DF；
（2） 延长AE， 交BC于点M， 若AB=5，求CM的长.
【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF
（2）解：如图，
由(1)知AE=AD
∵∠DFA=90°
∴∠1=∠3
∵△AFD≌△CHB，
∴∠1=∠2
∵∠AGB=∠BHC=90°，
∴∠AGB=∠GHC=90°，
∴AF//CH
∴∠3=∠4=∠5，
∴∠2=∠5
∴ME=MC，设ME=MC=x.
∴AM=AE+EM=5+x，
∵△BGA≌△CHB，
∴AB=BC=5，∠ABG=∠BCH，
∴BM=BC-CM=5-x
∵∠BHC=90°=∠BCH+∠HBC
∴∠ABG+∠HBC=∠ABC=90°，
∴AB2+BM2=AM2，
∴52+(5-x)2=(5+x)2，
解得
∴
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据等角对等边得出AB=AE，进而可得AD=AE，根据三线合一，即可得证；
(2)先证明ME=MC，设ME=MC=x，则AM=AE+EM=5+x， 由△BGA≌△CHB，得到AB=BC=5，∠ABG=∠BCH，则BM=BC-CM=5-x，继而可得∠ABG+∠HBC=∠ABC=90°，再对Rt△ABM运用勾股定理求解即可.
22．（2026八上·杭州期末） 一次函数y1= ax+b(a≠0) 的图象恒过定点(1， 1).
（1）①若图象还经过(2，3)，求该一次函数的表达式.
②若当-3≤x≤4时，一次函数y1的最大值和最小值的差是6，求b的值.
（2） 对于一次函数y2=2x+a 当x>0时，y1【答案】（1）解：①∵该一次函数的表达式为y1=ax+b，图象恒过定点(1，1)，还经过(2，3)，
∴
解得
∴该一次函数的表达式为y1=2x-1.
②∵图象恒过定点(1，1)，
∴a+b=1，即b=1-a，
∴y1=ax+1-a，
当-3≤x≤4时，分两种情况讨论：
当a>0时，y1随x的增大而增大，
当x=4时，y1有最大值为4a+1-a=3a+1，
当x=-3时，y1有最小值为-3a+1-a=-4a+1，
由题意得(3a+1)-(-4a+1)=6，
解得，此时；
当a<0时，y1随x的增大而减小，
当x=-3时，y1有最大值为-3a+1-a=-4a+1，
当x=4时，y1有最小值为4a+1-a=3a+1，
由题意得(-4a+1)-(3a+1)=6，
解得，此时；
故b的值为或；
（2）解：∵图象恒过定点(1，1)，
∴a+b=1，即b=1-a，
∴y1=ax+1-a，
当x>0时，y1即ax+1-a<2x+a，整理得(a-2)x+(1-2a)<0，
设f(x)=(a-2)x+(1-2a)，需f(x)<0对x>0恒成立
分情况讨论：
当a-2=0，即a=2时，
f(x)=-3<0，满足条件；
当a-2≠0时：
若a-2>0，即a>2，则f(x)随x的增大而增大，不满足条件；
若a-2<0，即a<2，则f(x)随x的增大而减小，
此时f(x)要使f(x)<0恒成立，
∴1-2a≤0，解得
∴，
综上，a的取值范围为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法求解即可；
②求得y1=ax+1-a，分当a>0和a<0时两种情况讨论，利用最大值和最小值的差是6，列式求解即可；
(2)根据当x>0时，y10恒成立，分情况讨论即可求解.
23．（2026八上·杭州期末）根据以下素材，探索解决问题．如何剪出直角三角形的完美线
素材：在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角兰角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”.
（1）项目操作：如图，有一张直角三角形纸片，请画出“完美线”示意剪法，并标出两个锐角的度数．
（2）项目探索：如图，在直角三角形纸片中，∠C=90°，过点C剪一刀，剪痕与AB交于点D.你发现CD满足什么条件时．CD是直角三角形的“完美线”并说明理由．
（3） 项目拓展： 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， AB=2， Rt△ABC的“完美线”与AB交于点D， 将△ACD沿“完美线”翻折得到△A'CD， 求A'A的长度．
【答案】（1）解：如图，过点C作CD⊥AB，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-50°=40°，
∠BCD=90°-40°=50°，
∴CD为Rt△ABC的"完美线"；
如图，作AB的垂直平分线，交AB于点E，连接CE，
∵△ABC为直角三角形，CE为斜边上的中线，
∴，
∴∠ACE=∠A=50°， ∠ECB=∠B=40°，
∴CE为Rt△ABC的"完美线"
（2）解：当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，如图所示：
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°， ∠ACD=∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
同理可得：∠B=∠ACD
∴CD为Rt△ABC的"完美线"；
当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，如图所示：
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴，
∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠B
∴CD为Rt△ABC的"完美线"；
综上分析可知，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，或CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，CD为Rt△ABC的"完美线".
（3）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，
∴，，∠A=90°-30°=60°，
当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，如图所示：
∵∠ADC=90°， ∠ACD=∠B=30°，
∴
根据折叠可知，∠A'DC=∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠A'DC=180°，
∴A、D、A'三点共线，
∴AA'=AD+A'D=1；
当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，如图所示：
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴，
∵∠CAD=60°
∴△ACD为等边三角形，
∴AC=CD=AD=1，
根据折叠可知，AC=A'C，AD=A'D，
∴AC=A'C=A'D=AD.
∴四边形ACA'D为菱形，
∴，AA'⊥CD，，
∴
∴；
综上分析可知，或1.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据完美线的定义作图即可；
(2)根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可；
(3)分两种情况，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可.
24．（2026八上·杭州期末） 已知 和 都是等腰直角三角形， 且A，D，E三点在同一条直线上.
（1） 当与 在如图1所示位置时，连接CE，求证：
（2）在(1)的条件下，判断AE，CE，BD之间的数量关系，并说明理由：
（3） 当 与 在如图2所示的位置时，连接CE，若BE平分求 E的面积.
【答案】（1）证明：∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴∠BEA=∠BCA=45°
如图1，记BC与AE相交于点O，
则∠BOE=∠AOC，
∴在△BEO和△ACO中，
∠OBE+∠BOE+∠OEB=180°，∠OAC+∠AOC+∠ OCA=180°，
∵∠BOE=∠AOC
∴∠OBE=∠OAC
即∠EBC=∠EAC
（2）解：
理由如下：
如图1，过点C作CF⊥AE于点F，
∵∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠EBC=45°
∴∠ABD=∠EBC
由(1)知，∠EBC=∠EAC
∴∠ABD=∠EAC，
即∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF(AAS)
∴BD=AF，AD=CF
在等腰直角△BDE中，BD=DE，
∴AF=DE，
∴AD+DF =DF+EF
∴AD=EF，
∴EF=CF，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴
∴
即
（3）解：如图2，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，
∵∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF(AAS)
∴BD=AF，AD=CF
∵BD=DE
∴DE=AF，
∴AD+AE=AE+EF
∴AD=EF，
∴EF=CF，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴∠BEC=180°-∠BED-∠CEF=90°
∵BE平分∠ABC，而在等腰直角△BAC中，∠ABC=45°，
∴∠CBE=∠ABE=22.5°
∴∠ABD=∠DBE-∠ABE=22.5°，
∴∠CAF=22.5°，
∴∠ACE=∠CEF-∠CAF =22.5°，
∴∠ACE=∠CAF
∴AE=CE
∵AD=1，
∴，
∴
在Rt△BDE中，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得∠BEA=∠BCA=45°，再根据三角形内角和定理得和对顶角性质即可得出结论；
(2)过点C作CF⊥AE于点F，证明△ABD≌△CAF(AAS)，得BD=AF，AD=CF.再根据等腰直角△BDE，得BD=DE，从而得出AF=DE，继而得到AD=EF， EF=CF，得到△CFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求得，最后由即可求解；
(3)过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F.证明△ABD≌△CAF(AAS)，得出BD=AF，AD=CF，进而证明AE=CE，从而求得，，，最后由求解即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑