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(共17张PPT)
第一部分　教材同步复习
第二章　方程(组)与不等式(组)
第6讲　一元二次方程及其应用
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
一
元
二
次
方
程
及
其
应
用
一
元
二
次
方
程
及
其
应
用
一
元
二
次
方
程
及
其
应
用
1．(浙教八下P28课内练习第3题改编)若关于x的一元二次方程(a－3)x2－x＋a2－9＝0的一个根是x＝0，则a的值为( )
A．3 B．－3 C．3或－3 D．
2．一元二次方程(x＋1)2＝2(x＋1)的解为( )
A．x＝2
B．x＝－1
C．x＝2或x＝－1
D．x＝1或x＝－1
D
基础小测
B
3．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为( )
A．x2＝111 B．1＋x2＝111
C．1＋x＋x2＝111 D．(1＋x)2＝111
C
4．若关于x的方程x2－x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
5．若x1，x2是一元二次方程x2－x－1＝0的两根，则x1＋x2＋x1x2＝ ．
0
重难点1
例1
重点难点突破
一元二次方程的解法
用适当的方法解下列方程．
(1)(一题多解)1＋x＋x(1＋x)＝25．
【解答】解法一：原方程化为一般式为x2＋2x－24＝0，
因式分解，得(x＋6)(x－4)＝0，
则x＋6＝0或x－4＝0，
∴x1＝－6，x2＝4．
解法二：原方程可化为(1＋x)(1＋x)＝25，
∴(1＋x)2＝25，
∴1＋x＝±5，
∴x1＝－6，x2＝4．
(2)9 000(1－x)2＝4 000．
【解答】方程两边同时除以9 000，得(1－x)2＝，
两边直接开方，得1－x＝±，
∴x1＝，x2＝．
(3)(10－15x)(14－21x)＝×15×21．
【解答】原方程可化为5(2－3x)×7(2－3x)＝×15×21，
整理，得(2－3x)2＝，
两边直接开方，得2－3x＝±，
∴x1＝，x2＝．
重难点2
例2
一元二次方程根的判别式
已知关于x的一元二次方程 kx2＋3x－1＝0．
(1)若此方程有两个相等的实数根，则k的值是 ；
(2)若此方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ；
(3)若此方程没有实数根，则k的取值范围是 ．
－
k＞－且k≠0
k＜－
(2023·湖州8题3分)某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为x，那么可列出方程是( )
A．20(1＋2x)＝31.2
B．20(1＋2x)－20＝31.2
C．20(1＋x)2＝31.2
D．20(1＋x)2－20＝31.2
例3
D
重难点3
一元二次方程的应用
【变式3－1】(2023·衢州8题3分)某人患了流感，经过两轮传染后共有 36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程( )
A．x＋(1＋x)＝36
B．2(1＋x)＝36
C．1＋x＋x(1＋x)＝36
D．1＋x＋x2＝36
C
【变式3－2】(数学文化)(2025·衢州三模)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步”．意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步 设长为x步，则可列方程为( )
A．x(x－12)＝864
B．x(x＋12)＝864
C．x(12－x)＝864
D．2(2x－12)＝864
A
题图
如图，在长为30 m，宽为20 m的矩形田地中开辟三条宽度相等的道路．已知剩余田地的面积为468 m2，求道路的宽度．设道路的宽度为x m，则可列方程为 ．　
随堂训练
(30－2x)(20－x)＝468(共18张PPT)
第一部分　教材同步复习
第二章　方程(组)与不等式(组)
第7讲　一元一次不等式(组)及其应用
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
不等式
的基本
性质
一元
一次
不等
式(组)
及其
应用
中考知识归纳
>
一元
一次
不等
式(组)
及其
应用
一元一
次不等
式的解
法及解
集在数
轴上的
表示
左
右
不等式
组的解
集及解
集的表
示
一元
一次
不等
式(组)
及其
应用
x>a
xb无解
规范答题 解：解不等式a，得① ， （2分） 解不等式b，得② ， （4分） 所以原不等式组的解集是③ . （6分） 评分标准
→第一个不等式求解正确，得2分.
→第二个不等式求解正确，得2分.
→写出正确的解集，得2分.
-1x<2
一元
一次
不等
式(组)
及其
应用
x>-1
【答题模板】　　
【例】（2023·湖州18题6分）解一元一次不等式组
不等式的应用题的解题步骤：1.审题；2.设未知数；3.列不等式；
4.解不等式；5.检验并写出答案
1．已知实数a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．a－3＜b－3 B．－4a＞－4b
C． D．a＋2＞b＋2
2．(浙教八上P101课内练习改编)不等式＞x的解集为( )
A．x＜1 B．x＜－1
C．x＞1 D．x＞－1
A
基础小测
D
A B C D
3．(2023·台州5题4分)不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为( )
B
A B C D
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
C
5. 4月底时，小健的存款为50元，小康的存款为80元．从5月开始，小健每个月存18元零花钱，小康每个月存12元零花钱．设经过x个月后，小健的存款超过小康，则可列不等式为 ．
50＋18x＞80＋12x
西西的解答过程中有 处错误，错误原因是 _
_
．请你写出正确的解答过程．
改变
②系数化为1时，不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向没有
去分母时，没有给－1乘2；
(1)下面是西西解不等式－1＜的过程：
2
重难点1
一元一次不等式(组)的解法及其解集的表示
例1
重点难点突破
解：去分母，得x＋5－1＜3x＋2，········································第一步
移项、合并同类项，得－2x＜－2，·······································第二步
系数化为1，得x＜1．·························································第三步
【解答】去分母，得x＋5－2＜3x＋2，
移项、合并同类项，得－2x＜－1，
系数化为1，得x＞．
(4)写出(2)中不等式组的所有整数解： ．
例1(3)题图
－2，－1，0，1，2，3
(2)(2025·浙江12题3分)不等式组的解集是 ．
(3)将(2)中的解集在如图所示的数轴上表示出来．
－2≤x＜4
【解答】将(2)中的解集在数轴上表示出来如答图．
例1(3)题答图
重难点2
例2
不等式的应用
甲、乙两家商店，以同样的价格出售同样的商品，并且各自又推出不同的优惠方案：在甲商店购物花费超过100元，超出100元的部分按90%收费；在乙商店购物花费超过50元，超出50元的部分按95%收费．若顾客在同一商店购物花费x(x＞100)元，则顾客到哪家商店购物花费少
【解答】由题意，得当x＞100时，
顾客在甲商店的购物花费为100＋90%(x－100)＝0.9x＋10，
在乙商店的购物花费为50＋95%(x－50)＝0.95x＋2.5．
①若到甲商店购物花费少，则0.9x＋10＜0.95x＋2.5，解得x＞150；
②若到两家商店购物花费一样，则0.9x＋10＝0.95x＋2.5，解得x＝150；
③若到乙商店购物花费少，则0.9x＋10＞0.95x＋2.5，解得x＜150．
综上所述，当x＞150时，顾客到甲商店购物花费少；当x＝150时，顾客到甲、乙两家商店购物花费相同；当100＜x＜150时，顾客到乙商店购物花费少．
【变式】为了丰富学生课余生活，增强学生身体素质，某校积极开展阳光体育活动．学校准备一次性购买排球和足球共50个，且支出不超过3 120元．已知一个排球的价格为68元，一个足球的价格为40元．该校最多能购买多少个排球
【解答】设该校购买x个排球，则购买(50－x)个足球．
根据题意，得68x＋40(50－x)≤3 120，
解得x≤40，
∴x的最大值为40．
答：该校最多能购买40个排球．
1．若不等式组有解，则m的取值范围是( )
A．m≤3 B．m≤6
C．m≥－3 D．m＞－6
2．不等式3x＋7＜2(4x＋5)的解集是 ．
3．不等式组的解集为 ．
－1≤x＜
x＞－
随堂训练
B
第5题图
4．某商品的进价是4元/个，以标价5元/个出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 折．
5．用长为40 m的栅栏围成如图所示的一边靠墙，中间隔有一道栅栏的矩形．已知墙的长度AC＝30 m，要使平行于墙的一边长不小于 25 m，
那么与墙垂直的一边长x(m)的取值范围为 ．
八八(或8.8)
≤x≤5(共13张PPT)
第一部分　教材同步复习
第二章　方程(组)与不等式(组)
第4讲　一次方程(组)及其应用
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
中考知识归纳
一
次
方
程
(组)
及
其
应
用
一
次
方
程
(组)
及
其
应
用
规范答题 解： a×3+b，得① ，解得② .（3分） 把③ 代入a，得④ ， 解得⑤ ， （6分） 所以方程组的解为⑥ . （8分） 评分标准
→第一个未知数求解正确，得3分.
→第二个未知数求解正确，得3分.
→正确写出方程组的解，得2分.
y=-4
一
次
方
程
(组)
及
其
应
用
10x=5
【答题模板】
【例】（2024·浙江18题8分）解方程组：
x=
x=
2×-y=5
1．(浙教新教材七上P132做一做改编)根据等式的性质，下列各式变形正确的是( )
A．若，则a＝b
B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b
D．若－x＝6，则x＝－2
基础小测
A
2．若关于x的方程2x－1＝ax＋3的解为x＝1，则a的值是( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．4
3．若二元一次方程组的解满足x＋y＝10，则m的值为
．
4．(数学文化)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”则鸡有 只，兔有 只．
12
23
17
B
重难点1
例1
重点难点突破
一次方程(组)的解法
(1)解方程：2－＝－．
【解答】去分母，得20－5(3x－1)＝－2(2x＋4)，
去括号，得20－15x＋5＝－4x－8，
移项，得－15x＋4x＝－8－20－5，
合并同类项，得－11x＝－33，
系数化为1，得x＝3．
(2)(一题多解)解方程组：
【解答】解法一：代入消元法．
由①，得y＝2x－5，③
将③代入②，得x＋4(2x－5)＝－2，
解得x＝2．
将x＝2代入③，得y＝2×2－5＝－1，
∴原方程组的解为
解法二：加减消元法．
②×2，得2x＋8y＝－4，③
③－①，得9y＝－9，解得y＝－1．
将y＝－1代入①，解得x＝2，
∴原方程组的解为
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个 设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是( )
A． B． C． D．
(2025·浙江7题3分)手工社团的同学制作手工艺品A和手工艺品B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
C
例2
重难点2
一次方程(组)的应用　
类别 材料
彩色纸/张 细木条/捆
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
【变式2－1】(数学文化)(2025·嘉兴平湖二模)我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何 ”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木为多少尺 设长木为x尺，绳长为y尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是( )
A．y－x＝4.5 B．y＝x＋1
C．＝x－1 D．y＝y－4.5－1
B
【变式2－2】甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，若甲给乙10枚纪念币，则乙的纪念币数量是甲的纪念币数量的3倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币 设甲原来有x枚纪念币，乙原来有y枚纪念币，则可列方
程组为( )
A． B．
C． D．
A
1．在解方程－1＝时，去分母正确的是( )
A．2(x＋1)－1＝2－x
B．2x＋1－4＝x－2
C．2x＋2－1＝x－2
D．2(x＋1)－4＝2－x
2．(开放性试题)已知二元一次方程x＋3y＝14，请写出该方程的一组整
数解： ．
(答案不唯一)
随堂训练
D(共14张PPT)
第一部分　教材同步复习
第二章　方程(组)与不等式(组)
第5讲　分式方程及其应用
2021[文件：中教联标彩.]
目
录
中考知识归纳
重点难点突破
x=a② 原方程的根
x=a是原方程的根
分
式
方
程
及
其
应
用
不是
解法
主要思想方法:通过去分母把分式方程化为整式方程求解
步骤:分式方程整式方程x=a
中考知识归纳
口诀:一化、二解、三检验、四写根
增根
使分式方程的分母为零的根是增根;
无解不一定产生增根,产生增根也不一定无解
用分式方程解实际问题的一般步骤:
【温馨提示】双检验:(1)检验是否为分式方程的解;(2)检验是否符合实际情况
1．分式方程＝1的解是 ．
2．若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为 ．
3．(人教八上P154练习第2题改编)甲、乙两人做机械零件，已知甲每小时比乙每小时多做6个零件，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件．小杭同学所列方程中的x表示 ．
乙每小时做零件的个数
－3
基础小测
x＝3
4．(人教八上P154练习第1题改编)如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过路段AC，其中通过路段BC的速度是通过路段AB速度的1.2倍，求小明通过路段AB时的速度．设小明通过路段AB时的速度是x米/秒，根据题意
可列方程为 ．
＝11
(1)将方程－2＝去分母，化成整式方程为
．
x－3－2(x－2)＝－3
例1
重点难点突破
重难点1
分式方程及其解法
【解答】方程两边同乘(x＋1)(x－1)，
得3(x－1)－(x＋1)＝0，
去括号，得3x－3－x－1＝0，
移项、合并同类项，得2x＝4，
系数化为1，得x＝2．
检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0，
∴原分式方程的解是x＝2．
(2)(2025·浙江18题8分)解分式方程：＝0．
【变式1－1】解方程：．　
【解答】方程两边同乘(x＋2)(x－2)，
得x＋2(x－2)＝x＋2，
解得x＝3．
检验：当x＝3时，(x＋2)(x－2)≠0，
∴原分式方程的解是x＝3．
【变式1－2】若关于x的方程＝1无解，则k的值为 ．
2或－1
重难点2
例2
分式方程的应用
(购买问题)教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地每捆A种菜苗价格的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
【解答】设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则市场上每捆A种菜苗的价格是x元．
根据题意，得＝3，
解得x＝20．
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意．
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元．
【变式2－1】(行程问题)随着多条新线路开通，中国“八纵八横”高铁网越织越密，让更多地区紧密连接在一起．甲、乙两城相距720 km，从甲城到乙城乘坐高铁所需时间比乘坐某型号快速列车所需时间短3.6 h，高铁的平均速度是该型号快速列车平均速度的2.5倍，求高铁的平均速度．
【解答】设该型号快速列车的平均速度是x km/h，则高铁的平均速度是 2.5x km/h．
根据题意，得＝3.6，解得x＝120．
经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意，
∴2.5x＝300．
答：高铁的平均速度是300 km/h．
【变式2－2】(工程问题)某服装厂准备生产400套运动装．在加工完160套后，采用了新技术，使工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，求采用新技术后每天生产运动装多少套．
【解答】设原来每天生产运动装x套，则采用新技术后每天生产运动装(1＋20%)x套．
根据题意，得＝18，解得x＝20．
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴(1＋20%)x＝(1＋20%)×20＝24．
答：采用新技术后每天生产运动装24套．
1．若分式互为相反数，则x的值为( )
A．1 B．－1 C．－2 D．－3
2．新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车每千米行驶的费用比新能源车每千米行驶的费用多0.54元．已知燃油车的油箱容积为40升，油价为 9元/升，新能源车的电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松的爸爸选择的两台汽车的续航里程是( )
A．600千米 B．500千米 C．450千米 D．400千米
A
随堂训练
C

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